Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" - Seite 12

Neue Frage »

21.02.2013, 22:51

shipwater

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@ Che: Viereck statt Dreieck.

Gruß Shipwater

21.02.2013, 22:53

Che Netzer

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Stimmt, da war ich auf etwas anderes aus smile

22.02.2013, 23:17

Che Netzer

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@omegalambda:
Ja, so geht es auch.
Etwas elementarer folgert man aus den Strahlensätzen, dass die Verbindungsstrecken die halbe Länge der "entsprechenden" Diagonalen haben.

22.02.2013, 23:57

omegalambda

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Zur Frage 91

Vollständige Induktion wäre auch eine Möglichkeit

23.02.2013, 08:21

Mystic

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Auch noch zu Frage 91 (Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ):

Die Lösung von Cheftheoretiker ist natürlich korrekt und m.E. auch die beste, nur würde das in einem Lehrbuch der Analysis nie und nimmer so "ausgewalzt" da stehen, sondern z.B. so

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^n-x^n}h=\lim_{h \to 0} \frac {(x^n+nx^{n-1}h+o(h))-x^n}h= nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

wobei das Landau-Symbol $\begin{eqnarray*} o(h) \end{eqnarray*}$ in der Mathematik für etwas steht, was selbst bei Division durch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ noch für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht (das sind hier die Terme, die mindestens den Faktor $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ beinhalten)...

Wie man sieht, braucht man also nicht einmal den binomischen Lehrsatz dafür, sondern nur die ersten 2 Terme beim Ausmultiplizieren von

$\begin{eqnarray*} (x+h)^n =x^n+nx^{n-1}h+h^2(...) \end{eqnarray*}$

welche man ja rein durch Überlegung auch noch ohne ihn bekommen kann... Augenzwinkern

23.02.2013, 13:13

weißnichtmehrweiter

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edit von sulo: Ich habe die Lösung aus dem Marathon-Thread hierher verschoben.
Da sie chronologisch eingeordnet wird, steht sie vor der Diskussion zu diesem Beitrag, die erst weiter unten im Thread beginnt.

************************************************************************

Zitat:

Original von omegalambda

Zitat:

Aufgabe 94

43 Touristen besuchen eine Stadt mit 3 Sehenswürdigkeiten (Schloß, Museum und Park)

Bei der Rückfahrt stellt der Reiseleiter folgendes fest

37 Personen waren im Park, 32 im Museum und 27 im Schloß

Gesucht wird die Mindestanzahl von Personen, die alle 3 Orte besucht haben

Na mindestens einer, nicht? geschockt

23.02.2013, 13:30

Che Netzer

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Zur neuen Aufgabe 94:
Null, denn es wurde nicht gesagt, dass die Personen alle zu den 43 Touristen gehören Lehrer

Und wieso hat eigentlich eine Stadt mit einem eigenen Schloss und einem Museum keine weiteren Sehenswürdigkeiten als einen Park? Gibt es sowas? verwirrt

23.02.2013, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Che Netzer
Null, denn es wurde nicht gesagt, dass die Personen alle zu den 43 Touristen gehören

Ein wenig spitzfindig. Mit der Ergänzung

Zitat:

Von seiner Reisegruppe waren 37 Personen im Park, 32 im Museum und 27 im Schloß.

sollte dieses Schlupfloch geschlossen sein. Augenzwinkern

Nette Aufgabe. Ich befürchte fast, dass sich wieder die Kritikergemeinde "zu schwer für Schule" meldet. Teufel

23.02.2013, 14:21

Cheftheoretiker

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Ne, das nicht aber die Lösung als auch die nächste Aufgabe sollte noch ordentlich formatiert werden. Big Laugh

23.02.2013, 14:25

HAL 9000

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Aufgabe 94 ist doch noch gar nicht gelöst:

Wenn man von Mindestanzahl spricht, dann meint man u.a. auch damit, dass genau diese Anzahl auch erreichbar ist. Und das trifft auf Anzahl 1 nicht zu - es sind schon deutlich mehr. unglücklich

23.02.2013, 14:28

weißnichtmehrweiter

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Mir erschien es einfach als logisch. Es ist doch nach der Mindestanzahl gefragt und mindestens einer hat doch alle 3 Orte besucht. Nach oben hin ist das doch offen???!!!

verwirrt

23.02.2013, 14:28

Cheftheoretiker

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Ja, dann sollte weißnichtmehrweiter entweder eine vollständige Lösung nun nachliefern oder die gestellte Aufgabe 95 kann gelöscht werden. Außerdem das Zitieren von Aufgaben in dem Thread führt zu Verwirrungen und das sollte auch mal ein Mod ändern. unglücklich

23.02.2013, 14:32

weißnichtmehrweiter

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Gut dann wird meine Aufgabe gelöscht. Ich bin an die Aufgabe nur logisch rangegangen, weil nämlich vorher keine weiteren mathematischen Lösungsansätze kamen! Augenzwinkern

23.02.2013, 14:37

HAL 9000

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Du hast die Aufgabe offenbar nicht richtig verstanden:

Die 43 Leute der Reisegruppe lassen sich in 8 Kategorien eingruppieren:

0 - die keine der drei Sehenswürdigkeiten besuchen
$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ - nur Park
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ - nur Museum
$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ - nur Schloss
$\begin{eqnarray*} PM \end{eqnarray*}$ - nur Park und Museum
$\begin{eqnarray*} PS \end{eqnarray*}$ - nur Park und Schloss
$\begin{eqnarray*} MS \end{eqnarray*}$ - nur Museum und Schloss
$\begin{eqnarray*} PMS \end{eqnarray*}$ - alle drei Sehenswürdigkeiten

Die Angaben der Aufgabe

Zitat:

Original von omegalambda
37 Personen waren im Park, 32 im Museum und 27 im Schloß

lassen keine eindeutige Lösung für alle 8 Kategorien zu, aber zu jeder Lösung gehört eine Anzahl Leute der letzten Kategorie $\begin{eqnarray*} PMS \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist hier nun das Minimum aller dieser denkbaren Anzahlen. Wirklich das Minimum, also nicht nur eine untere Schranke (was 1 zweifelsohne ist)!

23.02.2013, 14:44

weißnichtmehrweiter

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Okay, so weit habe ich nicht gedacht verwirrt

Nun, was ist denn dann die Lösung, wenn die unterste untere Schranke 1 nicht ausreichend bzw. nicht richtig ist?

23.02.2013, 14:52

HAL 9000

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Du wirst dich gedulden müssen, als 40+ werde ich bestimmt nicht lösen. Augenzwinkern

24.02.2013, 19:45

Che Netzer

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Ich verweise dann mal auf meine Bemerkung im Diskussionsthread zum Uni-Marathon, die nach einer Aufgabenverwechslung entstanden ist – hier geht es ja anscheinend kaum voran.

24.02.2013, 21:12

omegalambda

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10 stimmt

so vielleicht?
37+32+27-2*43=10

@Che
vielleicht überlässt du es ja "weißnichtmehrweiter" die nächste Frage zu stellen

24.02.2013, 21:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von omegalambda
so vielleicht?
37+32+27-2*43=10

Bei mir sah es eher wie
$\begin{eqnarray*} 43-37-32-27+26+16+21=10 \end{eqnarray*}$
aus.

Zitat:

@Che
vielleicht überlässt du es ja "weißnichtmehrweiter" die nächste Frage zu stellen

Eigentlich hatte ich ja noch gar nicht aufgelöst, nur das Ergebnis mit Tipp verraten Augenzwinkern

12.03.2013, 21:37

Cheftheoretiker

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Ich denke die aktuelle Aufgabe sollte aufgelöst werden.

13.03.2013, 18:45

omegalambda

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Che hatte doch mit der Formel von Sylvester die Lösung gefunden

Ich hab mal meine "Lösung" hingeschrieben

Für den Maximalwert gibt es auch eine Formel

$\begin{eqnarray*} Max(abc)=\ ? \end{eqnarray*}$

13.03.2013, 18:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von omegalambda
Che hatte doch mit der Formel von Sylvester die Lösung gefunden

Schon, aber irgendjemand hätte da erläutern können/müssen, wie die eingesetzten Zahlen zustande kamen.

13.03.2013, 21:53

sulo

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von omegalambda
Che hatte doch mit der Formel von Sylvester die Lösung gefunden

Schon, aber irgendjemand hätte da erläutern können/müssen, wie die eingesetzten Zahlen zustande kamen.

Das ist natürlich die Aufgabe von omegalambda, der das Rätsel eingestellt hat. Augenzwinkern

13.03.2013, 22:03

Che Netzer

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Nein, ich meinte, irgendjemand hätte erläutern müssen, wieso ich z.B. die $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$ in die Formel eingesetzt habe – d.h. wieso diese Aneinanderreihung von Zahlen auch die Lösung ergibt; nicht wieso es gerade 43 Touristen sind (und nicht 42 Augenzwinkern

13.03.2013, 23:32

omegalambda

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@Che

$\begin{eqnarray*} 43-37-32-27+26+16+21=10 \end{eqnarray*}$

Die Zahlen sind bei der Lösung die Schnittmengen

$\begin{eqnarray*} P\cap M=26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\cap S=21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S\cap M=16 \end{eqnarray*}$

Wie geht`s denn weiter?
Ich würde sagen, daß "weißnichtmehrweiter" eine Aufgabe reinstellen kann.
Sie hat Zeit bis morgen abend

15.03.2013, 14:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von omegalambda
Die Zahlen sind bei der Lösung die Schnittmengen

Die untere Grenze für die Kardinalität der Schnittmengen.

Naja...
Ich verwende die Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ für die Mengen an Touristen, die im Park, Museum oder im Schloss waren.

Die Formel von Sylvester lautet dann
$\begin{eqnarray*} \lvert P\cup M\cup S\rvert-\lvert P\rvert-\lvert M\rvert-\lvert S\rvert+\lvert P\cap M\rvert+\lvert P\cap S\rvert+\lvert M\cap S\rvert=\lvert P\cap M\cap S\rvert\,, \end{eqnarray*}$
wobei die rechte Seite natürlich gesucht ist.
Die linke Seite wird minimal, wenn wir $\begin{eqnarray*} \lvert P\cup M\cup S\rvert=43 \end{eqnarray*}$ annehmen, da dann die Kardinalitäten der Schnittmengen auf der linken Seite nach unten durch (z.B.) $\begin{eqnarray*} \lvert P\cap M\rvert=\lvert P\rvert+\lvert M\rvert-\lvert P\cup M\rvert\geq\lvert P\rvert+\lvert M\rvert-\lvert P\cup M\cup S\rvert=26 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden können.
Oder anders:
$\begin{eqnarray*} \lvert P\cup M\cup S\rvert-\lvert P\rvert-\lvert M\rvert-\lvert S\rvert+\lvert P\cap M\rvert+\lvert P\cap S\rvert+\lvert M\cap S\rvert\geq\lvert P\rvert+\lvert M\rvert+\lvert S\rvert-2\lvert P\cup M\cup S\rvert\,, \end{eqnarray*}$
wie bei omegalambda.
Hier kann dann $\begin{eqnarray*} \lvert P\cup M\cup S\rvert \end{eqnarray*}$ nach oben durch $\begin{eqnarray*} 43 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden, um die linke Seite zu minimieren.

22.03.2013, 16:40

Cheftheoretiker

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Die Lösung muss noch bestätigt werden damit der Betrieb wieder aufgenommen werden kann.

23.03.2013, 13:24

Che Netzer

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Naja, omegalambda wollte ja schon wieder eine neue Aufgabe stellen lassen.

Eine nützliche Aufgabe wie die 92 habe ich gerade nicht parat, aber wenn sonst niemand möchte, könnte ich doch etwas halbwegs interessantes anbieten.

23.03.2013, 17:11

10001000Nick1

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Von mir aus kannst du eine neue Aufgabe stellen.

23.03.2013, 17:27

Che Netzer

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Ah, es gab ja mittlerweile schon eine neue Frage von omegalambda geschockt

Naja, er wird wohl nichts dagegen haben, dass es trotzdem wieder eine neue Aufgabe gibt.

Ich dachte zwar, der Thread stünde immer noch nach der Frage mit den Touristen still, aber da er nun einfach an einer anderen Stelle stillsteht, gebe ich also trotzdem eine Aufgabe.

23.03.2013, 18:00

tmo

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@Che Netzer: Bei der c. muss man natürlich noch $\begin{eqnarray*} x_0 \neq - x_1 \end{eqnarray*}$ fordern. Oder man verlangt einfach $\begin{eqnarray*} 0 < x_0 < x_1 \end{eqnarray*}$ .

23.03.2013, 18:02

Che Netzer

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Habe jetzt beide Zahlen positiv sein lassen Freude

24.03.2013, 15:34

10001000Nick1

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Graphisch gesehen hat gerade und ungerade was mit Symmetrie zu tun, oder? Die Graphen von geraden Funktionen sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse und die Graphen von ungeraden Funktionen sind punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Und noch eine Frage: Was sind gerade bzw. ungerade Nullstellen?

24.03.2013, 15:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Graphisch gesehen hat gerade und ungerade was mit Symmetrie zu tun, oder? Die Graphen von geraden Funktionen sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse und die Graphen von ungeraden Funktionen sind punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Ja, genau.

Zitat:

Und noch eine Frage: Was sind gerade bzw. ungerade Nullstellen?

Etwas wie $\begin{eqnarray*} (x-3)^2(x+2)^4x \end{eqnarray*}$ hat eine einfache Nullstelle in Null, eine zweifache in Drei und eine vierfache in Minus Zwei.
D.h. Null ist hier die einzige Nullstelle ungerader Ordnung.

Allgemein: $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k} \end{eqnarray*}$ keine Polstelle in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hat, $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{(x-x_0)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ aber schon.
Oder wenn die ersten $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ Ableitungen auch Nullstellen in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hat.

Dann kann jetzt die nächste Aufgabe gestellt werden.
Vielleicht kümmerst du dich aber noch kurz um die Überbreite in deiner Antwort Augenzwinkern

24.03.2013, 15:57

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Che Netzer
Vielleicht kümmerst du dich aber noch kurz um die Überbreite in deiner Antwort Augenzwinkern

Jetzt besser? Wink

24.03.2013, 16:00

tmo

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Natürlich sollte man hier auch noch die "schöne" Lösung erwähnen:

Man betrachtet $\begin{eqnarray*} p(x) = f(x) - f(-x) \end{eqnarray*}$ , welches dann ein Polynom höchstens zweiten Grades mit 3 Nullstellen ( $\begin{eqnarray*} 0,x_0,-x_0 \end{eqnarray*}$ ) ist...

24.03.2013, 18:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Jetzt besser? Wink

Nein, es ist immer noch viel zu breit.
Genau die Zeilen, die mit $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ beginnen.

24.03.2013, 18:40

10001000Nick1

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Jetzt müsste es aber passen.

24.03.2013, 18:45

Che Netzer