Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" - Seite 17

19.09.2014, 22:16

Nofeykx

Ich finde es übrigens ziemlich gut, dass du noch gezeigt hast, dass keiner der Faktoren 1 ist. Das gehört der Vollständigkeithalber dazu und zeigt dein Auge fürs Detail.

19.09.2014, 22:25

tmo

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Zitat:

Original von Nofeykx
Ich finde es übrigens ziemlich gut, dass du noch gezeigt hast, dass keiner der Faktoren 1 ist.

Bin ich der einzige, der der Meinung ist, das genau das zwar versucht wurde, aber nirgends tatsächlich gezeigt wurde? verwirrt

Es wird nirgends $\begin{align*} n^2-2n+2 > 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} n \geq 2 \end{align*}$ gezeigt.

19.09.2014, 22:28

Nofeykx

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Ich muss zugeben, dass ich mir das nicht genau durchgelesen habe Big Laugh

Ich habe nur die Intention gesehen und dachte mir: schön, dass er daran denkt.

Jetzt wo du es sagst, ja ..

19.09.2014, 22:39

Bonheur

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Naja. Ein Versuch war es wert.

Ich dachte, wenn die Gleichheit nicht da ist, dass man das damit nachgewiesen hat.
also wenn man die Faktoren gleich eins setzt und guckt, ob n>1 ist. Big Laugh

19.09.2014, 22:42

tmo

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Ja, natürlich reicht auch $\begin{align*} n^2+-2n+2\neq 1 \end{align*}$ zu zeigen (Der andere Faktor ist ja offenbar positiv, d.h. -1 kommt erst gar nicht in Frage). Aber auch das hast du nicht getan.

Aber wie schon gesagt: Mach trotzdem gerne weiter. Das war nur nochmal ein kleiner Hinweis.

20.09.2014, 10:33

Mathema

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Nur eine Frage: Gehört diese Kategorie eher unter Wettbewerb, oder soll das für Schüler eine Art "Rätsel" (schwierige Aufgabe) darstellen? Bei letzteren ist es doch eher unglücklich, wenn eine Aufgabe Freitag Abend um 23:08 gestellt wird und nachts um 2 denn eine Lösung präsentiert wird, finde ich. Wenn es ein Wettbewerb ist, ist natürlich nichts dagegen zu sagen.

Wink

20.09.2014, 12:06

10001000Nick1

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Im Uni-Marathon gibt's die Regel, dass man ca. 24 Stunden warten sollte, bevor man die Aufgabe löst, damit jeder mal drüber nachdenken kann.
Das sollte hier vielleicht auch so gemacht werden.

20.09.2014, 12:28

Mathema

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Ich denke dieses wäre auch im Interesse des Fragestellers. Bonheur wird sich ja auch Gedanken macht haben, als er diese Aufgabe ausgewählt hat. Da ist es doch schöner, wenn sich mehr Leute mit der Aufgabe beschäftigen. Und das ist wohl Freitag Nacht von 11 bis 2 nicht der Fall.
Da meine Schulzeit aber schon etwas her ist, sollen das andere Leute entscheiden. smile

20.09.2014, 14:50

Tesserakt

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Nun gut. Auf Grund unsportlichen Verhalten ( Augenzwinkern

) meinerseits, überlasse ich es Bonheur, eine weitere Aufgabe zu stellen.

20.09.2014, 17:41

Bjoern1982

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Deine Lösung sieht ja eher wie aus nem Skript "rauskopiert" aus.
Ich will dir damit nichts unterstellen, vielleicht hast du dir ja wirklich diese Arbeit gemacht.
Ich will damit nur sagen, dass ein Schüler wohl nie in seiner Lösung etwas mit "o.B.d.A" oder "Lemma" u.a. drin haben wird.
Sprich: Man kann die Aufgabe ja so stehen lassen und das dann einen Schüler mal lösen lassen, denn es geht bestimmt zum einen kürzer und zum anderen naja halt weniger Uni-Mathesprache. Augenzwinkern

20.09.2014, 19:08

Bonheur

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Ich muss auch zugeben, dass ich diese Schreibweise noch nie gesehen habe. Big Laugh

Die Lösung, die ich gemacht habe, ist nicht so lang. smile

Ich habe diese Aufgabe bloß reingestellt, weil einige die Linearkombination, Vektorprodukt nicht so richtig verstehen.
Und in meiner Klasse wurde das Verständnis auf einmal viel größer, weil sie sich damit auseinandergesetzt haben.

Diese Aufgabe kann man eigentlich lösen, wenn man sich zwei Fälle betrachtet.

20.09.2014, 22:33

Tesserakt

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Deine Lösung sieht ja eher wie aus nem Skript "rauskopiert" aus.
Ich will dir damit nichts unterstellen, vielleicht hast du dir ja wirklich diese Arbeit gemacht.
Ich will damit nur sagen, dass ein Schüler wohl nie in seiner Lösung etwas mit "o.B.d.A" oder "Lemma" u.a. drin haben wird.
Sprich: Man kann die Aufgabe ja so stehen lassen und das dann einen Schüler mal lösen lassen, denn es geht bestimmt zum einen kürzer und zum anderen naja halt weniger Uni-Mathesprache. Augenzwinkern

Um all die haltlosen Anschuldigen entkräften zu können: Ich bin Schüler der gymnasialen Oberstufe. Ich habe allerdings eine Facharbeit in Mathematik geschrieben und weiß insofern, was es heißt, mit mathematischer Strenge mathematische Probleme zu behandeln.

21.09.2014, 21:51

Gast11022013

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Wer stellt hier nun eigentlich die nächste Aufgabe?

03.10.2014, 20:59

Gast11022013

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Wie geht es hier nun weiter?

03.10.2014, 22:10

Guppi12

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Irgendwie habe ich das Gefühl, dass der nicht nochmal vorbeschaut. Er war ja nur an einem Tag hier im Forum aktiv. Vielleicht können wir ja nochmal bis morgen warten und dann stellt jemand anderes eine Aufgabe?

04.10.2014, 00:04

Gast11022013

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Hättest du was passendes?

04.10.2014, 00:08

Guppi12

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Nein, zur Zeit nicht. Würde aber mal überlegen, ob mir noch was einfällt. Eigentlich hat unser Mathelehrer immer gute Aufgaben gestellt, das ist aber schon etwas her Augenzwinkern

04.10.2014, 00:17

Gast11022013

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Ich hätte ein LGS anzubieten was in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/7 \end{eqnarray*}$ gelöst werden soll.
Das finde ich eigentlich ganz nett für den Thread, weil es nicht zu schwer ist und halt was anderes. Auch wenn der Unterschied zu einem normalen LGS nicht so groß ist.

Würde dann im Diskussionsthread kurz umreißen wie man damit zu rechnen hat.

04.10.2014, 00:32

Guppi12

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Ja, ist doch 'ne gute Idee. Ich empfand im 1. Semester das Rechnen in endlichen Körpern immer als viel schöner, als in den Oberkörpern von Q. Vielleicht lässt sich ja der eine oder andere Schüler dafür begeistern.

04.10.2014, 02:56

Gast11022013

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Hier mal eine kurze Erklärung für die Aufgabe 124:

Wichtig zu wissen sind erstmal nur zwei Dinge.

1. Von der Aufgabenstellung nicht irritieren lassen. Das dürfte vom formalismus komplizierter aussehen als es ist. Es geht lediglich darum folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$\begin{eqnarray*} x+2y=4 4x+\lambda\cdot y=4 \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung kann man dann eigentlich "ausblenden".

Und als 2. sollte man wissen was hier nun das besondere wäre.
Wir befinden uns hier im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/5 \end{eqnarray*}$ also im Restklassenkörper modulo 5.
Alles was man hier zu wissen braucht ist, dass man eigentlich nur 5 "Zahlen" hat mit denen man rechnet. Nämlich die 0, 1, 2, 3, 4
Das sind alle Zahlen die man bei der Division durch 5 so als Rest erhalten kann.
Als nächstes muss man dann wissen wie man damit rechnet. Dies ist glücklicherweise ziemlich einfach. Die Addition wäre zum Beispiel so:

3+4=7=2

Denn die 7 lässt den Rest 2 wenn man sie durch 5 teilt.
Genau so funktioniert die Subtraktion.

Und wie multipliziert man? Naja, ihr werdet es euch wohl schon denken.

$\begin{eqnarray*} 3\cdot 4=12=2 \end{eqnarray*}$

Denn die 12 lässt bei der Division durch 5 wieder den Rest 2.
Ihr seht, das ist eigentlich ganz leicht.

Wenn man etwas dividieren möchte, dann muss man vielleicht ein wenig mehr überlegen. Zum Beispiel wenn sowas auftaucht:

4x=2

Hier würde man nun bei "normalen" Gleichungssystemen durch 4 teilen.
Hier überlegt man es sich vielleicht eher so:

Mit welcher Zahl muss ich die 4 multiplizieren, damit bei der Division durch 5 der Rest 1 rauskommt.
Dazu probiert man dann einfach aus:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot 1=4 4\cdot 2=8=3 4\cdot 3=12=2 4\cdot 4=16=1 \end{eqnarray*}$

Man hat also das Inverse der 4 gefunden und würde dann die Gleichung damit multiplizieren.

Man löst das LGS genau so wie man es gewohnt ist.

Was den Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ angeht, der ja ebenfalls die Werte von 0 bis 4 annehmen kann, da macht man sich am besten Gedanken wie man es am besten löst. Natürlich kann man das LGS auch 5 mal hintereinander lösen und jedesmal für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ etwas anderes einsetzen. Das wäre aber ein wenig viel. Naja, ihr werdet schon wissen wie man das geschickter lösen kann...

Das sollte als naive Erklärung erstmal alles notwendige für die Lösung der Aufgabe vermitteln denke ich.

04.10.2014, 09:34

Iorek

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Zumindest mir ist die Notation $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 5 \end{eqnarray*}$ unbekannt, wo kommt diese Notation her? Ich denke $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ wäre da gebräuchlicher.

04.10.2014, 13:06

Gast11022013

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Mag sein, dass es gebräuchlicher ist. Ich habe die Aufgabe jedenfalls so von einem alten Übungszettel von mir übernommen.

Das extra Z kann ja jemand aus dem Matheboard Team dazu editieren, wenn es zu sehr stört.

14.10.2014, 07:37

Gast11022013

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Ich gehe mal davon aus, dass an der jetzigen Aufgabe kein Interesse besteht?
Dann würde ich demnächst auflösen.
Ihr könnt euch ja schon mal eine Aufgabe ausdenken.

20.10.2014, 22:37

Mathema

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Ein Bild zu Aufgabe 125. Aber das reicht wohl nicht als Lösung...

20.10.2014, 23:49

Guppi12

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Ja, da hast du wohl Recht Augenzwinkern

An dieser Stelle einen schönen Gruß aus Kiel smile

Freut mich, noch jemanden aus der Gegend an Board zu haben Wink

21.10.2014, 10:52

Mathema

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Hmm - dann werde ich doch mal gucken, ob die Additionstheoreme noch etwas hergeben...

Vielen Dank, einen Gruß aus der Hauptstadt hört man doch immer gerne!
Die Westküste grüßt herzlich zurück.

Wink

21.10.2014, 17:29

reeleZahl

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Was hier manche in der Schule hatten - echt beeindruckend. Wir machen irgendwie viel weniger traurig

21.10.2014, 18:13

Guppi12

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Ja, da würde ich mal sagen Freude

Du kannst gerne eine neue Aufgabe stellen.

Ich muss zugeben, ich habe mir den Schritt hier

$\begin{eqnarray*} cos(sin(x)) + cos(\frac{\pi}{2}+cos(x)) = 2 \cdot cos(\frac{\frac{\pi}{2}+cos(x)+sin(x)}{2})\cdot cos(\frac{\frac{\pi}{2}+cos(x)-sin(x)}{2}) \end{eqnarray*}$

von Wolfram Alpha bestätigen lassen. Hatte keine Lust, das nachzurechnen Big Laugh

Oder sieht man das irgendwie so auf die schnelle?

@reelleZahl: Vieleicht kommt das ja noch!

Hier noch meine Lösung, weil sie doch ein wenig anders ist:

Vorweg eine Bemerkung: Ich schreibe meine Lösung falsch herum auf, weil das für Schüler intuitiver ist und der Marathon hier ja an Schüler gerichtet ist:

$\begin{eqnarray*} \sin(\cos(x)) < \cos(\sin(x)) \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \cos(x) < \arcsin(\cos(\sin(x))) \end{eqnarray*}$ .

Nun nutzen wir $\begin{eqnarray*} \arcsin(\cos(z)) = \frac{\pi}{2}-|z| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z| < \pi \end{eqnarray*}$ (denn es gilt ja $\begin{eqnarray*} |\sin(x)| \leq 1 < \pi \end{eqnarray*}$ ). Ich weiß nicht, ob diese Identität aus der Schule bekannt ist, man kann sie sich aber mit Schulmitteln schnell herleiten.

Es ist also $\begin{eqnarray*} \cos(x) < \frac{\pi}{2}-|\sin(x)| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos(x)+|\sin(x)| < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Wegen $\begin{eqnarray*} \cos(x)+\sin(x) = \sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(x)-sin(x) = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ folgt diese Aussage wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

21.10.2014, 18:22

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} cos(sin(x)) + cos(\frac{\pi}{2}+cos(x)) = 2 \cdot cos(\frac{\frac{\pi}{2}+cos(x)+sin(x)}{2})\cdot cos(\frac{\frac{\pi}{2}+cos(x)-sin(x)}{2}) \end{eqnarray*}$

von Wolfram Alpha bestätigen lassen. Hatte keine Lust, das nachzurechnen Big Laugh

Oder sieht man das irgendwie so auf die schnelle?

Das kann man z.B. nachlesen bei Wikipedia unter dem Stichwort "Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)" (Formelsammlung Trigonometrie)

Wink

24.10.2014, 10:54

Mathema

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Möchte niemand die aktuelle Aufgabe lösen? traurig

Oder sitzt jemand dran und benötigt vielleicht noch einen Tipp. Dann wäre das hier ja der richtige Thread um nachzufragen.

Wink

25.10.2014, 16:09

reeleZahl

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Also ich sitze gerade an der aktuellen Aufgabe. Würde es noch eine Weile selber probieren Big Laugh

25.10.2014, 16:19

Mathema

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Das freut mich zu hören Tanzen

Schön, dass sich jemand mit der Aufgabe beschäftigt Freude

25.10.2014, 17:04

reeleZahl

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Ich komme leider auf keinen Lösungsweg unglücklich

. Könntest du einen Tipp geben?

25.10.2014, 17:10

Mathema

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Wie weit bist du denn? Hast du das Pyramidenvolumen in Abhängigkeit von h bestimmen können?

25.10.2014, 17:11

reeleZahl

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Nein, habe ich nicht gemacht. Also kann ich "h" einfach als Variable behalten?

25.10.2014, 17:15

Mathema

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Ja - das musst du gerne. Drücke also aus dem Verhältnis von Höhe und Seitenkante die Seitenkante durch h aus und berechne anschließend die Grundkante in Abhängigkeit von h.
Anschließend musst du dann nur noch die Kantenlänge des Würfels in Abhängigkeit von h ausdrücken. Tipp: Strahlensatz benutzen Augenzwinkern

25.10.2014, 17:23

reeleZahl

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Also beim Volumen der Pyramide komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{8h^4}{248} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

25.10.2014, 17:29

Mathema

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Das kann wohl nicht stimmen. Wenn du nur h als Variable im Volumen hast, muss dieses wohl gerne in der dritten Potenz vorkommen. Was hast du dir denn als Grundkante berechnet?

25.10.2014, 17:34

reeleZahl

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Mein Lösungsweg bisher:
$\begin{eqnarray*} V &=& \frac{1}{3} A \cdot h \\ &=& \frac{1}{3} a^2 \cdot h \\ &=& \frac{1}{3} \left( \sqrt(\frac{(2d)^2}{2}) \right) \cdot h \\ &=& \frac{1}{3} \left( \sqrt(\frac{\left( 2 \cdot \frac{2h^2}{9} \right)^2}{2}) \right) \cdot h \\ &=& \frac{8h^4}{248} \end{eqnarray*}$

Ich habe eigentlich nur den Satz des Pythagoras angewendet. d steht dabei für die halbe Diagonale.

25.10.2014, 17:39

reeleZahl

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Ah, ich glaube ich habe meinen Fehler.
Kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{2h^3}{27} \end{eqnarray*}$

raus?

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