Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" - Seite 19

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Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Auch Mittelstufenschüler sollten sich von dieser Aufgabe und deinem Tipp nicht entmutigen lassen, sofern sie den Satz von Pythagoras schon kennen. Augenzwinkern
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathema

Du hast recht. Tut mir leid, habe vergessen, dass Mittelstufenschüler miträtseln. unglücklich


@leoclid

Stimmt alles.


Edit1:
Noch mal nachgedacht.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du meinen Hinweis glaube ich falsch verstanden. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass diese Aufgabe auch mit Mittelstufenmathematik zu lösen ist, also ohne Wissen von Analytischer Geometrie.
Das sollte keine Kritik sein an deinem Hinweis oder der Aufgabe - im Gegenteil, es ist doch schön, wenn verschiedene Wege möglich sind. Augenzwinkern

Das hier auch Aufgaben gestellt werden können, die auf Oberstufenmathematik basieren, ist doch klar.

Schönen Abend dir.

Wink
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Big Laugh

Vielen Dank.


Wie lang ist eigentlich der Zeitraum bis der, der dir Aufgabe gelöst hast, eine neue postet ?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich auch nicht, ich hätte sonst auch noch eine schöne Analysis-Aufgabe im Angebot. Aber wir können ja mal abwarten, ob leoclid heute noch mal online kommt.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@Bonheur:

Die Richtigkeit deines Ergebnisses hatte ich dir ja schon bestätigt. Aber auch an deiner Notation gibt es nichts auszusetzen.

Gut gemacht!

Du darfst dann die nächste Aufgabe stellen, wenn du möchtest.

Wink
 
 
leoclid Auf diesen Beitrag antworten »

LÖSUNG 1 Aufgeschrieben von Leoclid

Zitat:
Original von Bonheur
Zitat:
Aufgabe 134
In einer großen Urne sind 959 weiße und 95959 schwarze Kugeln. Ein Spieler zieht nacheinander eine
Kugel ohne zurücklegen. Das Spiel ist aus, wenn er eine weiße Kugel zieht oder wenn er
zehnmal gezogen hat. Die Zufallsvariable X steht für die Anzahl der gezogenen schwarzen
Kugeln.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
b) Der Spieleinsatz beträgt 10 €. Der Spieler erhält 30 €, wenn er zehn schwarze Kugeln
gezogen hat. Er erhält 20 €, wenn er neun schwarze Kugeln zieht. In allen anderen Fällen
erhält er nichts. Welchen mittleren Gewinn (oder Verlust) hat der Spieler auf lange Sicht
je Spiel zu erwarten ? Wie hoch müsste der Spieleinsatz ungefähr sein, damit das Spiel
fair ist ?


Zitat:

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.














Edit Guppi12: Von Mathe-Marathon Schule hierher vorschoben. Siehe unten wieso.
Edit opi: Absatz eingefügt, um Überbreite des Threads zu verhindern.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

@leoclid

Ich verstehe ehrlich nicht, was du ausrechnen möchtest.

Bei Aufgabe a) muss du nur diese Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und dann tabellarisch darstellen.

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Lösung von leoclid mal hierher verschoben, bis alle Fragen geklärt sind.
Mindestens bei der Notation gibt es noch Änderungsbedarf (Unterscheiden von großem und kleinem X; P(x) machen keinen Sinn; k und x vertauscht)

Sie kann dann im Marathon Thread erneut gepostet werden.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann vielleicht auch ohne dieses große Brimborium am Anfang.
Es gibt ja extra diesen Diskussionsthread, damit im anderen Thread nur die Aufgabe und danach die Lösung geschrieben wird. Da braucht man kein Zitat mehr. Dieses wurde nun in 133 Aufgaben so gemacht, eine Lösung sogar von dir - wieso nun auf einmal anders?

Und das eine Lösung von dir aufgeschrieben wurde, ist durchaus zu erkennen, wenn man an den linken Rand guckt. Oder weißt du gerade nicht, wer diesen Beitrag hier verfasst hat?
VG Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Rückblick auf die Nr.134

Hier eine Abschätzung

a) hier kann man die Binomialverteilung nehmen p=0.99 q=0.01

b) E=30*(0.99)^10+20*(0.99)^9*0.01-10=17.3 (Gewinn)

fairer Einsatz wäre dann 27.3 Euro
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@DrummerS:

Hast du eine neue Aufgabe? Wäre ja schön, wenn der Marathon mal wieder in Schwung kommt.

Bonheur wird sich sicherlich noch mal zu seiner Aufgabe äußern, wenn er mal wieder online ist.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also ich habe nichts auszusetzen. Meine Lösung sieht ähnlich aus. smile

Tut mir leid. Haben den Internetanbieter gewechselt, weshalb ich kein Internet mehr hatte.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Aufgabe 136:

Ich habe eine Lösung versucht, indem ich vom Höhensatz ausgegangen bin. Dabei komme ich aber zu einem Ergebnis, das sich um den Faktor 1/2 von der angegebenen Lösung unterscheidet.

[attach]40212[/attach]

Meine Überlegung sieht so aus (siehe auch die Skizze): Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe auf Seite c dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte q und p entspricht.



Wenn man x und p vergleicht (siehe die beiden linken Dreiecke), kann man leicht feststellen, dass da ein erheblicher Unterschied besteht.

In der Angabe ist ausdrücklich die Rede von einem Dreieck, in dem die Seite b sehr viel größer als Seite a ist.
Und in so einem Dreieck (die beiden rechten Figuren) nähert sich

- Seite a der Höhe h,
- Hypotenusenabschnitt p dem Teilstück x, und
- Hypotenusenabschnitt q der Seite b an.

Also könnte man in Anlehnung an obige Formel sagen:



... und kommt so zu



verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »



spricht eher für den Rätselverfasser.

ich wünsche ein schönes Feiern Augenzwinkern
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler ist gefunden, er besteht in meiner Fehlannahme, Teilstück x würde sich dem Hypotenusenabschnitt p annähern.
x nähert sich aber p/2 an.

Daher muss man von



ausgehen und kommt so zur Aussage, die zu zeigen war.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Als kleinen physikalischen Zusatz zu Aufgabe 137: Bei welcher Massendichte der Vollkugel stellt sich die beschriebene Endlage als Gleichgewichtszustand ein (d.h. Kugel "schwimmt" statisch in dieser Lage) ? Augenzwinkern
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, das nächste Mal werde ich erst in diesem Thread lesen, bevor ich einfach was in "Mathe-Marathon Schule" poste. Aufgabe 136 wurde hier ja auch schon besprochen. Bitte entschuldigt mein bisheriges Vorgehen.

@ Hal 9000: eine berechtigte Frage. Die Aufgabe ist so gedacht, dass die durchschnittliche Massendichte der Kugel über das Kugelvolumen konstant und größer als die Massendichte des Wassers sein soll, damit die Kugel kein Auftrieb erfährt. Macht es Sinn, diese Information nachträglich hinzuzufügen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DrummerS
Macht es Sinn, diese Information nachträglich hinzuzufügen?

Ist unnötig - irgendwelche physikalischen Erwägungen (wie Auftrieb ja/nein) sind für deine originale Problemstellung unerheblich: Ob irgendeine Kraft notwendig ist, die Kugel auf dieser oder jener Höhe zu halten, darum geht es ja hier nicht. Augenzwinkern
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ist unnötig - irgendwelche physikalischen Erwägungen (wie Auftrieb ja/nein) sind für deine originale Problemstellung unerheblich: Ob irgendeine Kraft notwendig ist, die Kugel auf dieser oder jener Höhe zu halten, darum geht es ja hier nicht. Augenzwinkern


Stimmt, daneben würde der zusätzliche Post die Aufgabe auch unübersichtlicher machen Augenzwinkern .
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Aufgabe (130) zur Kugelkappe wollte ja auch niemand lösen. traurig

Damit der Thread nicht wieder einschläft könnte ich die Lösung bieten.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Damit der Thread nicht wieder einschläft könnte ich die Lösung bieten.

Auf dieses Ergebnis komme ich auch Freude ! Welchen Weg bist du gegangen?

Ich habe ab hier mit Koeffizientenvergleichen gearbeitet:



Ist leider etwas unschön....
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welchen Weg bist du gegangen?


Weiß ich nicht mehr - ist schon so lange her. Big Laugh

Bin über die Feiertage unterwegs, ab morgen wieder zu Hause. Werde dann meine Lösung einstellen (hoffentlich finde ich die noch) und nach einer neuen Aufgabe gucken. Gibt es Themenwünsche?

Hoffe du hattest schöne Ostern!
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, habe erst gestern seit langem mal wieder hier reingeschaut. Big Laugh

Zitat:
Original von Mathema
Hoffe du hattest schöne Ostern!

Danke gleichfalls! Bei mir war es entspannend. Den sonnigen Samstag fand' ich wetterbezogen super smile !
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Als kleinen physikalischen Zusatz zu Aufgabe 137: Bei welcher Massendichte der Vollkugel stellt sich die beschriebene Endlage als Gleichgewichtszustand ein (d.h. Kugel "schwimmt" statisch in dieser Lage) ? Augenzwinkern


Obwohl wir schon bei Aufgabe 138 sind, möchte ich trotzdem noch "schnell" diese interessante Fragestellung zu Aufgabe 137 behandeln, damit diese "Zusatzaufgabe" nicht in Vergessenheit gerät Augenzwinkern .

Behauptung: Wenn Wandreibung außer Acht gelassen wird und die Kugel eine Gegenkraft zu ihrer Gewichtskraft in Form einer durch das Wasser erzeugten Auftriebskraft erfährt, welche betraglich dieser genannten Gewichtskraft entspricht, dann stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein:

.

Das Einsetzen der Höhe , die bereits von Mathema bestimmt wurde, für h in und einige Umformungen führen zu Gleichung 2.




zu Aufgabe 138

a) Enthalten die jeweils als Bruch geschriebenen Vektorelemente der senkrecht zueinander stehenden Vektoren ausschließlich die Zahlen Eins bis Vier Augenzwinkern ?

b) Hat unter der genannten Bedingung nur eine Richtungskomponente Augenzwinkern ?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zu Aufgabe 138

a) Enthalten die jeweils als Bruch geschriebenen Vektorelemente der senkrecht zueinander stehenden Vektoren ausschließlich die Zahlen Eins bis Vier Augenzwinkern ?

b) Hat unter der genannten Bedingung nur eine Richtungskomponente Augenzwinkern ?


Damit sollte man seine Lösung gut vergleichen können! Freude

Die Aufgabe habe ich übrigens aus einer alten Klassenarbeit für die 10. Klasse aus dem Jahre 1989 entnommen. Mittlerweile sind die Vektoren ja dann in die Oberstufe gewandert. So ändern sich die Zeiten.

Wenn du eine neue Aufgabe hast, darfst du natürlich auch lösen. Oder wir warten, ob wir nicht noch mal ein paar Mitstreiter bekommen?!
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@xb:

Für die volle Punktzahl sollte man sich denn doch noch herablassen und die Vektoren angeben, wie es die Aufgabenstellung verlangt. Es war ja nicht Aufgabe x und y zu bestimmen. Das ist aber natürlich nicht schwierig, wenn man sich x und y berechnet hat. Diese Werte stimmen natürlich bei dir.
Wenn du willst kannst du gerne eine neue Aufgabe stellen!
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte eine ziemlich schwere Aufgabe
Wobei ich noch nicht so richtig weiß wie ich die formulieren soll

Es stellt sich allerdings die Frage,ob sich der Schüler Marathon noch lohnt

Es müsste auch noch was editiert werden
Ich hatte geschrieben Lösung Aufgabe 137
aber es ist die 138
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die neue Aufgabe
Ist nicht ganz einfach.Ich hoffe es ist klar worum es geht
XavierNaidoo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Aufgabe nicht.

Am Freitag, 14. Juli 2017, 18:00:00 UTC befindet sich die Sonne (Zenit) auf 21° 34' nördlicher Breite, 88° 31' westlicher Länge

Am Freitag, 14. Juli 2017, 23:00:00 UTC befindet sich die Sonne (Zenit) auf 21° 32' nördlicher Breite, 163° 31' westlicher Länge

(UTC-Zeit)

Und was genau soll man jetzt ausrechnen?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

18 UTC und damit der Sonnenstand ist richtig
Die 23 UTC kann ich jetzt nicht erkennen wo die herkommen

Ausrechnen soll man den Winkel um den die Sonne gegenüber den 2 Standorten verdreht ist.
Oder besser nicht rechnen sondern zeichnen
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 141
Aufgabe 141 ist ja schon mehrfach gelöst worden, und ich möchte dazu auch etwas sagen.
Ich komme ohne Rechnen auf die einfache Formel



Allerdings ist mir die Lösung erst beim exakten Konstruieren mit einem CAD-Programm aufgefallen.

Die beiden Dreiecke M1PA und M1AR sind rechtwinklig und spiegelsymmetrisch und haben beide im Punkt M1 den Winkel 30°.

[attach]50351[/attach]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 143
Für die Interessenten an Aufgabe 143 erlaube ich mir mal noch einen Lösungshinweis anzugeben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Descartes
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe 143
auch ich erlaube mir mal eine Anmerkung:

Sind die gestellten Aufgaben für pensionierte Lehrer/Mathematiker gedacht, oder, wie die Bezeichnung "Mathe-Marathon Schule(!)" suggeriert, für Schüler?

Die gymnasialen Lehrpläne Mathe für Rheinland-Pfalz/Saarland sind mir vertraut, der unterrichtlichen "Schulrealität", so wie ich sie wahrgenommen habe, werden die im Forum gestellten Aufgaben größtenteils nicht gerecht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe 143
Das ist eine gute Frage!

Von der Intention her sind die Aufgaben für interessierte Schüler gedacht. Interessiert bedeutet, dass sie sich auch für Themen interessieren, die einem Schüler zwar zugänglich sind, aber in der heutigen Schulmathematik nur noch ein Randdasein haben. Das gilt insbesondere für die synthetische Geometrie, die, aus meiner Sicht bedauerlicherweise, in der Schule zugunsten der analytischen Geometrie marginalisiert worden ist.

Wenn man sich die Reaktionen auf die Aufgaben anschaut, scheint die Menge der interessierten Schüler in diesem Forum gegen Null zu konvergieren.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 143
Da bin ich ja ganz schön in die Irre gegangen!

[attach]50386[/attach]


Ich habe mich nur darauf versteift, die Mittelpunkte der Kreise zu konstruieren, und zwar als Schnittpunkte
- einerseits der Ellipse (sehr gut gelöst von klauss Freude )
- und andererseits von Kurven, die mMn. Hyperbeln sind (grün markiert).


So sieht die Problemstellung zwischen jeweils einem roten Kreis ab und dem kleineren schwarzen Kreis aus.

Auf der (grünen) Kurve liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die den zwei gegebenen Kreisen tangential anliegen.


[attach]50388[/attach]

Davon kann ich diese Gleichung



ableiten; die wird aber nach zweimaligem Quadrieren ein ziemliches Monstrum.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero
Da bin ich ja ganz schön in die Irre gegangen!

Du meinst: Des Rechenaufwands wegen? Weil an sich ist der Weg "Schnittpunkt Hyperbel mit Ellipse" vom Ansatz her ja richtig.

Ich denke mal, bei der Radienbestimmung ist es auf die eine oder andere Weise unvermeidlich, einen gewissen Umformungsaufwand reinzustecken: Bei meiner Empfehlung oben steckt dieser Aufwand im Beweis des Satzes von Descartes. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zusammenhang mit diesen apollonischen Kreisen scheint übrigens folgende (im ersten Moment erstaunliche) Eigenschaft zu gelten:

Hat man eine Ausgangskonfiguration von vier Kreisen, die sich wechselseitig in paarweise verschiedenen Punkten berühren und die alle vier eine ganzzahlige Krümmung aufweisen, dann besitzen sämtliche Kreise, die man in einem iterativen Prozess jeweils in die Lücken zwischen den Kreisen so platziert, dass sie drei der bisher vorliegenden Kreise berühren, ebenfalls ganzzahlige Krümmungen.

(Kann man letztlich auch mit Descartes nachweisen.)
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Du meinst: Des Rechenaufwands wegen? Weil an sich ist der Weg "Schnittpunkt Hyperbel mit Ellipse" vom Ansatz her ja richtig.


Ja, auch deswegen; aber ein anderer Grund scheint mir, je mehr ich diese Frage überdenke, noch wichtiger: es ist doch unabdingbare Voraussetzung, dass zwei Funktionen im selben Koordinatensystem vorliegen, wenn man die gegenseitigen Schnittpunkte dieser Funktionen sucht.

Für die Hyperbeln habe ich aber jeweils ein eigenes KS. (Das habe ich vergessen, im zweiten Bild anzugeben: Ursprung ist im Schnittpunkt der beiden schwarzen Kreise, die positive y-Achse geht nach oben, die positive x-Achse nach rechts.)

Sinnvoll wäre es, das von klauss definierte zu verwenden - dann sind aber meine Hyperbeln keine Funktionen mehr, da sie radial auf den kleineren, schwarzen Kreis ausgerichtet sind und sich mit jedem neuen mitdrehen und irgendwann ein x-Wert zwei Funktionswerte hat.

Also der Satz von Descartes ist schon eine feine Sache; kannte ihn aber bisher nicht.
seinfeld Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin zwar kein Schüler (aber ein Erwachsener mit Mathekenntnissen auf Schulniveau) und habe mal einen Lösungsvorschlag für Aufgabe 144 gepostet.
Ich weiß nicht genau, ob der Lösungsweg so gedacht und komplett richtig ist.
Falls es Fehler gibt, bitte ich einen Moderator das zu korrigieren, da ich ja als Gast nicht editieren kann.

Ich hätte auch einen Vorschlag (jedoch selbst ausgedacht) für eine neue Aufgabe, bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob und in welchem Umfang ich sie reinstellen soll.

Es geht zum einen darum zu prüfen, ob es möglich ist, dass ein Dreieck seine Umkreisfläche halbiert und dazu bietet es sich ja dann an, auch das maximal mögliche Teilverhältnis (z.B. prozentual) auszurechnen.

Ich hatte es bisher so im Kopf dazu mit allgemeinem Umkreisradius r und Sehnenlänge s (welche man zu einem Dreieck im Umkreis ergänzen kann) als gegebene, feste Größen zu arbeiten.

Als weitere Teilaufgabe schwebt mir noch vor, dass man bei ebenso gegebenem Dreiecksanteil p am Umkreis mit zwei vorgegebenen Kreissehnenpunkten A und B, den fehlenden Dreieckspunkt C (evtl. mehrere) auf der Kreislinie passend zu p zu bestimmen.

Was meint ihr, macht das Sinn oder ist es eher schwierig so etwas Marke Eigenbau zu posten ?
Oder ist diese Aufgabe sowieso schon oft im Forum bearbeitet worden und damit schon ein alter Hut ?
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