Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" - Seite 20

30.01.2020, 14:12

klauss

Zitat:

Original von seinfeld
Lösungsvorschlag für Aufgabe 144
Ich weiß nicht genau, ob der Lösungsweg so gedacht und komplett richtig ist.

Grundsätzlich habe ich mir das genau so vorgestellt. Freude

(Den Pythagoras am Schluß hatte ich auch stillschweigend mal aus der Elementargeometrie ausgenommen)

Ich gehe davon aus, dass Du selbst gleich eine neue Folge-Aufgabe 145 reinstellen darfst. Eine seriöse Lösung für eigene Aufgaben solltest Du stets parat haben.
Beachte auch die Vorgaben zu den Formalia der Aufgabenstellung und -lösung am Anfang des Threads Mathe-Marathon-Schule.
Wenn Du Dich regelmäßig beteiligen willst, wäre es natürlich wünschenswert, dass Du Dich registrierst.
Kompetente "Mitarbeiter" können wir immer gebrauchen.
Um festzustellen, ob eine Aufgabe schon früher gepostet wurde, bediene Dich der Suchfunktion.

30.01.2020, 23:09

seinfeld

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Ich habe selbst etwas rumgerechnet und bin auf Lösungen gekommen.
Ob man das jetzt als seriös bezeichnen kann, weiß ich nicht.
Es ist halt Marke Eigenbau und bisher bin ich zur Kontrolle im Internet dazu auch nicht wirklich fündig geworden.
Insofern nehme ich das vielleicht lieber als Aufgabe für interessierte Kollegen von mir, als dass ihr hier die Versuchskaninchen sein müsst. Big Laugh

Falls ich ansonsten etwas Passendes in Mathebüchern finde und noch keiner vor mir eine neue Aufgabe gestellt hat, dann melde ich mich wieder. Wink

31.01.2020, 21:06

Leopold

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Zitat:

Original von seinfeld
Ich hätte auch einen Vorschlag (jedoch selbst ausgedacht) für eine neue Aufgabe, bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob und in welchem Umfang ich sie reinstellen soll.

Es geht zum einen darum zu prüfen, ob es möglich ist, dass ein Dreieck seine Umkreisfläche halbiert und dazu bietet es sich ja dann an, auch das maximal mögliche Teilverhältnis (z.B. prozentual) auszurechnen.

Hinter deinem Problem steckt eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen. Gesucht ist das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt, das man einem gegebenen Kreis einbeschreiben kann. Schnell entsteht der Verdacht, daß es sich um das gleichseitige Dreieck handeln könnte. Ein nicht-gleichschenkliges Dreieck kann jedenfalls nicht die Lösung sein. Denn betrachtet man bei einem solchen eine Seite als Grundseite, so gibt es dazu ein dem Kreis einbeschriebenes gleichschenkliges Dreieck mit derselben Grundseite, aber größerem Flächeninhalt. Man muß ja nur den gegenüberliegenden Punkt in die Mitte des Kreisbogens schieben, dann vergrößert sich die Höhe der Grundseite. Zur Lösung reicht es daher, gleichschenklige Dreiecke zu betrachten, und unter diesen spitzwinkligen, wie man sich leicht überlegen kann.

Man könnte daher die folgende Aufgabe stellen: Welches einem Kreis einbeschriebene gleichschenklige spitzwinklige Dreieck hat den maximalen Flächeninhalt?

Das ist eine schöne, auch bekannte Aufgabe, die man mit Differentialrechnung, wie man sie in der Schule behandelt, lösen kann. Man kann sich sogar ganz verschiedene Lösungen ausdenken, je nachdem, welche Größe man in der Zielfunktion als Variable verwendet. Darüber hinaus kann man auch nach elementaren Lösungen ohne Differentialrechnung suchen.

23.03.2020, 09:43

Gualtiero

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Zitat:

Original von Leopold
Das ist eine schöne, auch bekannte Aufgabe, die man mit Differentialrechnung, wie man sie in der Schule behandelt, lösen kann.

Finde ich auch, und ich würde mich wie andere user darüber freuen, wenn seinfeld die Aufgabe reinstellte.

Ganz dunkel kann ich mich erinnern, dass die Frage vor Jahren schon einmal angesprochen wurde, aber nur nebenbei, und dazu in einem Thread, der nicht zu Ende geführt wurde. Schade drum!
In dieser Weise denke ich liegen noch mehrere "Schätze" im Archiv des Boards verborgen; das ergäbe eine schöne Sammlung.

08.02.2021, 16:22

Gualtiero

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Zu Aufgabe 146:

Für die "Original"-Aufgabe, so wie sie der Fragesteller gepostet hat, finde ich keine Lösung.

Es gibt unendlich viele Quadrate mit 5 < x < 40, und ich sehe nicht die Bedingung, die nur ein einziges Quadrat zulässt.

Mit dem von klauss gegebenen Zusatz - Danke - ist sie aber mit etwas Rechnen lösbar.

Ich warte aber noch mit dem Posten.

12.09.2021, 09:32

Gualtiero

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Zu dieser Aufgabe

Zitat:

Aufgabe 147

Es seien $\begin{eqnarray*} g_1,\ldots,g_{22} \end{eqnarray*}$ positive ganze Zahlen mit Summe 81. Man zeige, dass dann stets

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{g_1} + \frac{1}{g_2} + \ldots + \frac{1}{g_{22}} > 6 \end{eqnarray*}$

gilt.

habe ich mir ein paar Gedanken gemacht, die ich hier im Diskussionsthread poste, weil sie meines Erachtens für eine Lösung nicht(?) ausreichen.

Wie schon hier erwähnt kann man

$\begin{eqnarray*} \frac{81}{22}=3+\frac{15}{22} \end{eqnarray*}$

rechnen und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ als Vorablösung nehmen.

Dann wird noch 15 $\begin{eqnarray*} \left( = 22 \cdot \frac{15}{22} \right) \end{eqnarray*}$ aufgeteilt, indem man $\begin{eqnarray*} g_1 - g_{15} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ erhöht.

Das ergibt (A1): $\begin{eqnarray*} g_1 = g_2 = . . . = g_{15} = 4 \ \ \text{und} \ \ g_{16}=g_{17}= . . . = g_{22}=3 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Summe der Werte $\begin{eqnarray*} 81 \end{eqnarray*}$ , die Summe der Kehrwerte ist $\begin{eqnarray*} 6.08\dot 3 \end{eqnarray*}$ .

Noch kleiner geht nicht, denn man kann zwar den Wert eines Bruchs leicht verkleinern, indem man seinen Nenner erhöht. Dafür muss aber der Nenner eines anderen Bruchs verkleinert werden, und zwar um den selben Betrag.

Ein Beispiel, ausgehend von (A1): $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g_1}=\frac{1}{4} \ \ \text{wird zu} \ \ \frac{1}{g_1'}=\frac{1}{4+1}; \ \ \frac{1}{g_{16}}=\frac{1}{3} \ \ \text{wird zu} \ \ \frac{1}{ g_{16}'}=\frac{1}{3-1} \end{eqnarray*}$

Man erkennt leicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g_1} + \frac{1}{g_{16}} < \frac{1}{g_1'} + \frac{1}{g_{16}'} \end{eqnarray*}$ , woraus folgt, dass die Summe der Kehrwerte nicht mehr verkleinert werden kann.

12.09.2021, 10:43

IfindU

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Im Prinzip sieht es gut aus. Du hast allerdings nur begründet warum man die Lösung (A1) nicht paarweise modifiziert werden kann, ohne die Summe der Kehrwerte zu erhöhen. Damit hast du, gewissermaßen, gezeigt dass du ein lokales Minimum gefunden hast. Unklar wäre noch, warum eine große Modifikation nicht doch noch die Summe der Kehrwerte verkleinern könnte.

12.09.2021, 12:13

HAL 9000

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Ja, es braucht nur eine kleine Ergänzung der Gedanken von Gualtiero um zu zeigen, dass das von ihm genannte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ -Tupel tatsächlich auch globale Minimumstelle der Kehrwertsumme ist.

12.09.2021, 20:24

Gualtiero

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Danke für die Antworten! Habe sie erst jetzt gesehen, da ich tagsüber weg war, aber die Aufgabe hatte ich mit dabei, wenigstens im Hinterkopf.

Was in meiner Darstellung fehlt, ist die Betrachtung von mehr als zwei Werten, die sich ändern. Wenn ich da einen Schritt weiter bin, melde ich mich.

Natürlich soll sich niemand, der die Lösung inzwischen hat, daran gehindert fühlen, sie auch zu posten.

12.09.2021, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gualtiero
Was in meiner Darstellung fehlt, ist die Betrachtung von mehr als zwei Werten, die sich ändern.

Das ist nicht zwingend nötig, es reicht auch folgende Idee:

Wenn man zu einem $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ -Tupel, welches nicht deinem angegebenen Tupel (oder einer Permutation davon) entspricht, ein anderes Tupel mit einer kleineren Kehrwertsumme findet, dann reicht das bereits. Und dieses andere Tupel kann sich durchaus auch nur an zwei Stellen von dem Ausgangstupel unterscheiden. Augenzwinkern

13.09.2021, 10:57

Gualtiero

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@ HAL 9000, ich fürchte, ich habe Deinen letzten Tipp nicht ganz verstanden. Deshalb habe ich einfach mit meinen Überlegungen weitergemacht.

Aus der Aufstellung A1, die ja nur aus den Zahlen 3 und 4 besteht, nehme ich die drei möglichen Paar-Kombinationen

3 3
3 4
4 4

und erhöhe die erste Zahl um 1 und vermindere gleichzeitig die zweite um 1. Nach jeder Veränderung bilde ich die Summe der Kehrwerte und vergleiche jeweils mit dem Vorgängerpaar und sortiere die Paare der Größe nach.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{1}{3}<\frac{1}{4}+\frac{1}{2}<\frac{1}{5}+\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Das Original-Paar ist als Summe am kleinsten.

Wie sieht es bei der nächsten Kombination aus?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}<\frac{1}{5}+\frac{1}{2}<\frac{1}{6}+\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Die ersten zwei Paare sind gleichwertig und am kleinsten, bewirken aber keine Veränderung in A1.

Und bei der dritten Kombination ist es wie bei der ersten - das ursprüngliche Paar ist am kleinsten.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+\frac{1}{4}<\frac{1}{5}+\frac{1}{3}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}<\frac{1}{7}+\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Das bestätigt zwar meine Schlussfolgerung vom ersten Post, aber ob das alle Lücken füllt . . . verwirrt

13.09.2021, 11:14

HAL 9000

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Ok, etwas ausführlicher: JEDES Tupel, welches nicht die von dir genannte optimale Gestalt hat, weist zwei Werte auf, die um mindestens 2 auseinanderliegen (z.B. einfach Minimum und Maximum der Tupelelemente nehmen). Dies seien $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a+2\leq b \end{eqnarray*}$ .

Die Annahme, dass dieses Tupel zur minimimalen Kehrwertsumme gehört, kann widerlegt werden, indem wir $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (a+1,b-1) \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dieses veränderte Tupel hat dann eine kleinere Kehrwertsumme, womit wir einen Widerspruch zur Annahme haben - fertig!!! (Dass das so veränderte Tupel auch noch nicht notwendig das Minimum-Tupel ist, ist völlig egal.) Weitere Aktionen sind nicht nötig.

13.09.2021, 20:48

Gualtiero

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Das verstehe ich nun; aber als Auflöser dieser Marathon-Aufgabe sehe ich mich nicht, werde aber weiterhin dranbleiben. Hoffentlich findet sich jemand, der die Aufgabe schön löst.
Auf jeden Fall danke ich Dir für Mühe und Geduld!

13.09.2021, 21:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gualtiero
Hoffentlich findet sich jemand, der die Aufgabe schön löst.

Tja, das ist dann wohl Ansichtssache - ich finde die Lösung im Gegensatz zu dir doch ganz schön.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ich verstecke hier mal eine Lösung, damit sie der aktuelle Board-Troll nicht so schnell findet:

Zitat:

Aufgabe: Gesucht sind alle $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , für die eine nicht konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} f(x-f(y)) = f(x-y) + c\cdot\left(f(x)-f(y)\right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Lösung: Ich bezeichne mal diese Funktionalgleichung mit (F). $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray*} f(x-f(0)) = f(x) + c\cdot\left(f(x)-f(0)\right) \end{eqnarray*}$ . Kürzt man $\begin{eqnarray*} d:=f(0) \end{eqnarray*}$ ab, so kann man das als

$\begin{eqnarray*} f(x-d)-d = (c+1)\cdot (f(x)-d)\qquad (1) \end{eqnarray*}$

schreiben. Offenkundig muss $\begin{eqnarray*} c\neq -1 \end{eqnarray*}$ gelten, da ansonsten $\begin{eqnarray*} f(x-d)=d \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten müsste, was nichts weiter als eine konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bedeuten würde, was per Voraussetzung ausgeschlossen wurde.

$\begin{eqnarray*} x=d \end{eqnarray*}$ in (1) eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} f(d)=d \end{eqnarray*}$ eben wegen $\begin{eqnarray*} c\neq -1 \end{eqnarray*}$ . Schlussendlich jetzt noch $\begin{eqnarray*} y=d \end{eqnarray*}$ in (F) eingesetzt ergibt sich für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x-d) = f(x-d) + c\cdot\left(f(x)-d\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = c\cdot\left(f(x)-d\right)\qquad (2) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konstant ist, muss es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)\neq d \end{eqnarray*}$ geben, und mit diesem $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ folgt aus (2) zwingend $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Zu diesem $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ passt Lösung $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , wie man sich leicht überzeugen kann. Damit ist $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ die gesuchte Lösungsmenge der passenden $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

14.09.2021, 23:48

Gualtiero

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Wie kann man nur so vernagelt sein ! Hammer

Beim weiteren Überlegen und Berechnen einer extremen Ausgangslage ist mir, glaube ich, ein Licht aufgegangen und ich verstehe jetzt erst Deine Beiträge und das Problem so richtig.

Zur Sache. Folgende, von A1 extrem abweichende Konstellation sei gegeben:

$\begin{eqnarray*} g_1 = 60 \ \ \text{und} \ \ g_2 = g_3 = . . . = g_{22}=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich davon die Kehrwertsumme minimieren will, muss ich beim Paar (60, 1) anfangen (denn (1, 1) kann nicht zu (2, 0) verändert werden). Die Lösung ist hier (31, 30), also in der Mitte bzw. ungefähr in der Mitte, weil wir es ja mit ganzen Zahlen zu tun haben.
Die nächsten zwei Paare werden sein (31, 1) und (30, 1) usw., bis sich keine Zahl mehr von irgeneiner anderen Zahl in dieser Menge um mehr als 1 unterscheidet oder ihr gleich ist. Das führt zwangsläufig auf mein A1.

Ich bastle noch an einer Gesamtdarstellung meiner Lösung.

15.09.2021, 10:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gualtiero
$\begin{eqnarray*} g_1 = 60 \ \ \text{und} \ \ g_2 = g_3 = . . . = g_{22}=1 \end{eqnarray*}$

Da du dieses Tupel ansprichst: Man kann mit genau derselben Methode wie oben begründen, dass dieses Tupel zur maximalen Kehrwertsumme führt! Denn jedes andere Tupel weist zwei Werte $\begin{eqnarray*} 2\leq a\leq b \end{eqnarray*}$ auf, und die Ersetzung $\begin{eqnarray*} (a,b)\to (a-1,b+1) \end{eqnarray*}$ vergrößert die Kehrwertsumme.

15.09.2021, 12:39

Gualtiero

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Die maximale Kehrwertsumme ist mir bei meinen Berechnungen und Überlegungen so nebenbei auch aufgefallen.

Hier ist mein Lösungsweg, so wie ich die Frage verstehe.

Ganz grob gesagt besteht meine Lösungsidee darin, zuerst die minimale Kehrwertsumme (so nenne ich die
Summe der Kehrwerte der Zahlen $\begin{eqnarray*} g_1 - g_{22} \end{eqnarray*}$ ) zu finden, um zu prüfen, ob sie tatsächlich größer 6 ist.
Zutreffendenfalls ist das schon die Lösung, ansonsten würde in der Aufgabe von einer Fehlannahme ausgegangen.
Um von einer bestimmten Menge von ganzen Zahlen, deren Summe konstant ist, die minimale Kehrwertsumme zu
finden, beginnt man mit einem beliebigen Paar der Zahlen (a, b) und bildet davon die Kehrwertsumme.
Danach wird die größere der beiden Zahlen um 1 erhöht, die kleinere um 1 vermindert. Vom neu entstandenen
Paar wird wieder die Kehrwertsumme berechnet, mit der des ursprünglichen Paares verglichen und die
Paare nach der Größe ihrer Kehrwertsumme sortiert.

Beispiel mit a = 4, b = 3:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}=\frac{1}{4} \ \ \text{wird zu} \ \ \frac{1}{a'}=\frac{1}{4+1}; \ \ \frac{1}{b}=\frac{1}{3} \ \ \text{wird zu} \ \ \frac{1}{b'}=\frac{1}{3-1} \end{eqnarray*}$

Man erkennt leicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{1}{a'} + \frac{1}{b'} \end{eqnarray*}$

In dieser Weise fährt man fort, bis die kleinere Zahl zu 1 geworden ist (0 ist ja ausgeschlossen) und
so alle Möglichkeiten ausgeschöpft sind.

Beispiel mit a = 5, b = 4:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}+\frac{1}{4}<\frac{1}{6}+\frac{1}{3}<\frac{1}{7}+\frac{1}{2}<\frac{1}{8}+\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Noch ein Beispiel mit zwei gleichen Zahlen, a = 6, b = 6:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}+\frac{1}{6}<\frac{1}{7}+\frac{1}{5}<\frac{1}{8}+\frac{1}{4}<\frac{1}{9}+\frac{1}{3}<\frac{1}{10}+\frac{1}{2}<\frac{1}{11}+\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Es fällt auf, dass zwei Zahlen, die entweder gleich sind oder nur um 1 differieren, und
deren Summe unverändert bleiben soll, bereits das Minimum bezüglich ihrer Kehrwertsumme darstellen.
Für die gestellte Aufgabe bedeutet das, dass wir 22 natürliche Zahlen nehmen unter der einzigen Bedingung, dass
deren Summe 81 ist. Daraus suchen wir ein Paar $\begin{eqnarray*} a, b \ \ \text{mit} \ \ a>b+1 \end{eqnarray*}$ und suchen dafür - wie oben
beschrieben - das Paar mit der minimalen Kehrwertsumme. Das gefundene Paar ersetzt das ursprüngliche Paar unter
den 22 Zahlen. Diese Prozedur wird so lange wiederholt, bis sich unter den 22 Zahlen keine Zahl mehr von
irgeneiner anderen Zahl um mehr als 1 unterscheidet oder ihr gleich ist.

Dies wäre ein Weg, der sicher zum Ziel führt. Um aber auch ein konkretes Ergebnis zu präsentieren, möchte
ich nicht seitenweise Berechnungen anstellen, sondern mit den gewonnenen Erkenntnissen schnell zur Lösung
gelangen.

Naheliegend wäre, $\begin{eqnarray*} \frac{81}{22}=3+\frac{15}{22} \end{eqnarray*}$ zu rechnen. Da aber nur ganze Zahlen zugelassen sind, belegen
wir vorerst $\begin{eqnarray*} g_1 - g_{22} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und teilen $\begin{eqnarray*} 22 \cdot \frac{15}{22}=15 \end{eqnarray*}$ auf, indem wir $\begin{eqnarray*} g_1 - g_{15} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
erhöhen.

Das ergibt $\begin{eqnarray*} g_1 = g_2 = . . . = g_{15} = 4 \ \ \text{und} \ \ g_{16}=g_{17}= . . . = g_{22}=3 \end{eqnarray*}$

Die Summe ist $\begin{eqnarray*} 81 \end{eqnarray*}$ und die Kehrwertsumme = $\begin{eqnarray*} 6.08\dot 3 \end{eqnarray*}$ .

In dieser Aufstellung stellt jedes mögliche Zahlenpaar das Minimum seiner Kehrwertsumme dar, daher ist diese
Aufstellung ebenfalls das Minimum bezüglich ihrer Kehrwertsumme. Und diese ist größer 6 - was zu zeigen war.

25.09.2021, 15:19

Mathema

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Zitat:

Das ist 591245:

Es seien $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots,a_{22} \end{eqnarray*}$ positive ganze Zahlen mit der Summe 59. Man beweise die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{a_1+1}+\frac{a_2}{a_2+1}+\dots+\frac{a_{22}}{a_{22}+1}<16 \end{eqnarray*}$ .

Dafür gibt es auch diese "hübsche" Lösung:

Für jede positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} (x-2)(x-3)\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Addition von $\begin{eqnarray*} 12x \end{eqnarray*}$ auf jeder Seite ergibt:

$\begin{eqnarray*} 12x+(x-2)(x-3)=(x+1)(x+6)\geq 12x \end{eqnarray*}$ was sich zu $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1}\leq \frac{x}{12}+\frac{1}{2}\quad(*) \end{eqnarray*}$ umschreiben lässt. Wendet man nun $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ auf jedes $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ an und bildet die Summe folgt die Aussage ganz automatisch.

27.09.2021, 10:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathema
Das ist 591245:

Gut erkannt. Freude

Ich hab sie nur von überflüssigen Ballast befreit.

19.05.2022, 12:29

HAL 9000

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Hinweis zu Aufgabe 149:

Definiert man die Funktion $\begin{eqnarray*} g(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ , so ist die Behauptung äquivalent zum Nachweis von $\begin{eqnarray*} g(n)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man das Monotonieverhalten der Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , so erkennt man die Schwierigkeiten, die ein "normaler" Induktionsbeweis hier hat. Einen Ausweg bietet die leicht veränderte Funktion $\begin{eqnarray*} h(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n+1} + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ und deren Monotonieverhalten...

21.05.2022, 11:40

Mathema

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Oder man integriert numerisch die konvexe Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ per Trapezregel von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n}-2=\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, \dd x \leq \frac{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots \frac{1}{\sqrt{n-1}} \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2\sqrt{n}}\leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ .

21.05.2022, 17:53

HAL 9000

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So ein Mist, hätte ich doch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\sqrt{n} - 1.46 \end{eqnarray*}$ forden sollen. Big Laugh

War nur Spaß - schöne Lösung von dir. Freude

24.08.2022, 23:00

Gualtiero

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Zu Aufgabe 150

Leopold und Huggy haben zu dieser Aufgabe ja schon einiges angedeutet.

Wenn man sich eine halbwegs genaue Skizze dazu anfertigt, wird man schnell vermuten, dass sich die beiden Strecken rechtwinklig schneiden. (Eine CAD-Zeichnung bestätigt die Vermutung.)

Zur Sicherheit hier nocheinmal mein Vorgehen: Ich habe den vier Punkten des Vierecks die Koordinaten
A (xa ya),
B (xb yb),
C (xc yc) und
D (xd yc)
gegeben und damit die Vektoren a - d berechnet und dazu die nach rechts verdrehten Normalvektoren.

Danach die Mittelpunkte der Seiten bestimmt mit den Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} M_{AB}, M_{BC} \end{eqnarray*}$ usw.

Die mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ skalierten Normalvektoren, eingesetzt in die dazugehörigen Mittelpunkte, ergeben die jeweiligen Schnittpunkte der entsprechenden Quadrat-Diagonalen.

Dass die Verbindungsvektoren der Diagonalen-Schnittpunkte rechtwinklig zueinander stehen, kann man an ihren Komponenten ablesen, wenn man sie richtig vergleicht.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{S_{AB}S_{CD}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} xc+xd+yd-yc-xa-xb-yb+ya \\ yc+yd+xc-xd-ya-yb-xa+xb \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{S_{BC}S_{DA}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} xd+xa+ya-yd-xb-xc-yc+yb \\ yd+ya+xd-xa-yb-yc-xb+xc \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der zweite Teil der Aufgabe mit dem Dreieck ist schwieriger. Mal sehen.

Edit: Fast vergessen

[attach]55828[/attach]

25.08.2022, 07:28

Huggy

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Zitat:

Original von Gualtiero
Wenn man sich eine halbwegs genaue Skizze dazu anfertigt, wird man schnell vermuten, dass sich die beiden Strecken rechtwinklig schneiden. (Eine CAD-Zeichnung bestätigt die Vermutung.)

Man kann noch eine zweite Vermutung gewinnen und beweisen.

25.08.2022, 08:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
Man kann noch eine zweite Vermutung gewinnen und beweisen.

Und eigentlich hat sie Gualtiero auch schon bewiesen. Es fehlt nur die ausdrückliche Formulierung.
Und wenn man sich den Beweis ansieht, erkennt man, daß es keine Rolle spielt, ob das Viereck konvex oder konkav ist. Ja nicht einmal, daß die Strecken ein ordentliches Viereck bilden, ist erforderlich. Es darf sich auch um ein überschlagenes Viereck handeln. Oder sagen wir es so: Es handelt sich eigentlich um eine Aussage über einen geschlossenen Streckenzug aus vier Strecken.

25.08.2022, 11:37

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Beide
Danke für die Tipps.

Da die x- bzw. y-Komponenten beider Vektoren betragsmäßig gleich sind, haben beide Vektoren den gleichen Betrag.
Ganz vereinfacht gesagt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{R}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}, \ \ \ \overrightarrow{S}=\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \ \ \ \Rightarrow \ \ |\overrightarrow{R}|=|\overrightarrow{S}| \end{eqnarray*}$

Sie schneiden sich zwar nicht in ihren Mittelpunkten, aber man könnte aus den beiden Vektoren (Strecken) ein Quadrat konstruieren. Ein Zusammenhang, auf den man beim Betrachten eines beliebig unregelmäßigen Vierecks nie kommen würde.

Beim Dreieck habe ich diese Vermutung: die Strecke zwischen zwei Quadratmittelpunkten einerseits und der Strecke zwischen der dritten Quadratmitte und seinem gegenüberliegenden Punkt des Dreiecks andererseits schneiden sich auch rechtwinklig. Hier funktioniert das mit dem Ablesen aber nicht, denn die Komponenten des letztgenannten Vektors haben weniger Summanden. verwirrt

Vielleicht fällt mir dazu was ein.

25.08.2022, 12:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gualtiero
Beim Dreieck habe ich diese Vermutung: die Strecke zwischen zwei Quadratmittelpunkten einerseits und der Strecke zwischen der dritten Quadratmitte und seinem gegenüberliegenden Punkt des Dreiecks andererseits schneiden sich auch rechtwinklig.

Du hast das schon bewiesen. Du mußt ein Dreieck nur als entartetes Viereck, bei dem eine Seite verschwunden ist, auffassen (ziehe mit einer dynamischen Geometriesoftware zwei Viereckspunkte zusammen). Jedes Dreieck kann man sich in jeder Ecke so entstanden denken.

Setzt man daher den Seiten eines Dreiecks Quadrate auf, so gilt: Die Verbindungsstrecke zweier Quadratmitten steht senkrecht auf der Strecke von der dritten Quadratmitte zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks (und ist gleich lang wie diese).

Wenn du dir noch überlegst, welche Rolle diese Verbindungsstrecken von einer Quadratmitte zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks im Dreieck aus den Quadratmitten spielen, kannst du eine weitere Folgerung ziehen.

P. S. Ich finde es ungeschickt, daß es hier zwei Threads gibt. Ich fand damals die Entscheidung von Sulo, die Dinge aufzuspalten, nicht glücklich. Ich würde daher vorschlagen, zum Hauptthread zurückzukehren.

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