Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" - Seite 24

03.06.2025, 09:27

Gualtiero

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Zu Aufgabe 179
Ich wollte die Aufgabe erstmal zur Kontrolle graphisch lösen, komme aber am Ende zu einer anderen Seitenlänge (5,422 . . . ).

Zu Aufgabe 180 kann ich nur allgemeine Überlegungen beisteuern.
[attach]58287[/attach]

Ich nehme z.B. $\begin{eqnarray*} n = 2000 \end{eqnarray*}$ an. Dann wirft Spieler 1 (rein rechnerisch) 1000mal Kopf und 1000mal Zahl.

Spieler 2 muss dann (2000+1)mal werfen und würde, rein rechnerisch, $\begin{eqnarray*} \frac{2001}{2} \end{eqnarray*}$ mal Kopf und $\begin{eqnarray*} \frac{2001}{2} \end{eqnarray*}$ mal Zahl bekommen.

Da hier aber nur ganzzahlige Ergebnisse möglich sind, wird er entweder

- 1001mal Kopf und 1000mal Zahl

oder

- 1000mal Kopf und 1001mal Zahl

werfen.

Jedes dieser beiden Ergebnisse tritt mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ein und ergibt bei den Kopfwürfen im Vergleich zu Spieler 1
- entweder Gleichstand
- oder eine Differenz von 1.

Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist, gibt es für Spieler 1 bei Kopf/Zahlwürfen eine Differenz von 1,

und zwar $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Spieler 2 hat mit Sicherheit $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ Kopfwürfe, Spieler 1 nur mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ - was ich als die gesuchte Wahrscheinlichkeit ansehe.

03.06.2025, 10:23

HAL 9000

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Es ist ein wenig seltsam, dass du nur die Ergebnisse 1000+1000 bei 2000 Würfen, sowie 1001+1000 oder 1000+1001 bei 2001 Würfen betrachtest:

Die Zufallsgröße "Anzahl Kopf" bei insgesamt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfen unterliegt der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , es sind also durchaus auch ganz andere Anzahlen "günstig" für das hier zu betrachtende Ereignis, z.B. 1087-mal Kopf für Spieler 1 und gleichzeitig 1033-mal Kopf für Spieler 2, oder auch 981-mal Kopf für Spieler 1 und 955-mal Kopf für Spieler 2 ...

Im Lichte der so auftretenden Binomialverteilungeb könnte man die gesuchte Wahrscheinlichkeit schreiben als

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} 2^{-n} \sum_{j=0}^i \binom{n+1}{j} 2^{-n-1} = 2^{-2n-1} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \sum_{j=0}^i \binom{n+1}{j} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich eine deutlich einfachere Ergebnisangabe im Sinn, ohne auftretende Summensymbole (erst recht keine Doppelsummen). smile

smile

03.06.2025, 19:13

Gualtiero

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Da habe ich die Aufgabe wohl gründlich missverstanden.
Bin gespannt auf die Lösung.

05.06.2025, 05:35

HAL 9000

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Antwort 36469 auf Aufgabe 182 ist mit Brute-Force (Python-Script mit ca. 10 Zeilen) kein Problem. Vermutlich wünscht sich der Aufgabensteller eine etwas intelligentere Methode ohne exzessive Rechnungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2025, 09:04

Conny_1729

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@ Aufgabe 181: "Kreisring unterhalb a"

Wenn man das wörtlich nimmt (gelbe Kreisringfläche!), dann bekommt die Frage eine ganz andere Qualität, als die bisher geleistete Antwort. Dann wäre bestimmt nach einer Fläche A(a,r) bzw. A(a,R) gefragt worden. Das kann aber nur der Fragesteller am besten beantworten, wohin die Reise gehen sollte.

Gruß Conny
.

05.06.2025, 10:38

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729
@ Aufgabe 181: "Kreisring unterhalb a"

Wenn man das wörtlich nimmt (gelbe Kreisringfläche!), dann ...

... wird das in diese Richtung gehen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \\&& A_{K_{unten}}=R^2\cdot\left[\pi \cdot k^2-\left(arcsin(k)-k\cdot \sqrt{1-k^2} \right) \right] <br /> \\&& k=\frac{a}{2R}=\sqrt{\frac{1}{1+4\frac{r^2}{a^2} } } <br /> \\&& R^2=\frac{a^2}{4}+r^2<br /> \end{eqnarray*}$

je nach gewünschter Parameterabhängigkeit.

Gruß Conny

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05.06.2025, 11:19

HAL 9000

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Ich hab beim erstmaligen Durchlesen der Aufgabe das auch sofort so interpretiert, dass mit "Fläche des Kreisrings unterhalb $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ " die von dir gelb gezeichnete Fläche gemeint ist.

Allerdings hätte es dann wohl eher Kreisringanteil heißen sollen, und außerdem hätte die Skizze deutlich darauf hinweisen müssen.

05.06.2025, 11:23

Luftikus

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Zitat:

Original von Conny_1729
@ Aufgabe 181: "Kreisring unterhalb a"

Wenn man das wörtlich nimmt (gelbe Kreisringfläche!), dann bekommt die Frage eine ganz andere Qualität, als die bisher geleistete Antwort. Dann wäre bestimmt nach einer Fläche A(a,r) bzw. A(a,R) gefragt worden. Das kann aber nur der Fragesteller am besten beantworten, wohin die Reise gehen sollte.

Gruß Conny
.

Ja,so war es gemeint.
Ursprünglich hatte ich die vorher gelöste Aufgabenstellung im Sinne. Die schien mar aber zu einfach.
Ich muss gestehen, dass ich vorher aber noch keine Lösung gerechnet habe. smile

smile

Habe jetzt mal gerechnet, und die Angabe von a reicht da wohl nicht. Habe da jetzt raus:

a':= a/2
R^2 = r^2 + a'^2

A = 1/2 *pi (a'^2 - r^2) + 2*a'*r

Insbesondere für r = a':

A = 2* a'^2 = R^2

06.06.2025, 06:26

Conny_1729

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Zitat:

Original von Luftikus
a':= a/2
R^2 = r^2 + a'^2

A = 1/2 *pi (a'^2 - r^2) + 2*a'*r

Insbesondere für r = a':

A = 2* a'^2 = R^2

Insbesondere für den Fall:
$\begin{eqnarray*} <br /> r=\frac{a}{2}=r'<br /> \end{eqnarray*}$

und für einen Beispielradius (R=12) hatte ich darauf gehofft, dass damit die Quadratur einer Kreisring-Teilfläche gelingen könnte. Aber bei mir ist die Kreisring-Teilfläche etwas größer als das Quadrat von R. Irgendwo ist da noch etwas nicht ganz stimmig bei deiner Lösungsvariante.

Gruß Conny
.

06.06.2025, 09:50

Luftikus

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Zitat:

Original von Conny_1729

Zitat:

Original von Luftikus
a':= a/2
R^2 = r^2 + a'^2

A = 1/2 *pi (a'^2 - r^2) + 2*a'*r

Insbesondere für r = a':

A = 2* a'^2 = R^2

Insbesondere für den Fall:
$\begin{eqnarray*} <br /> r=\frac{a}{2}=r'<br /> \end{eqnarray*}$

und für einen Beispielradius (R=12) hatte ich darauf gehofft, dass damit die Quadratur einer Kreisring-Teilfläche gelingen könnte. Aber bei mir ist die Kreisring-Teilfläche etwas größer als das Quadrat von R. Irgendwo ist da noch etwas nicht ganz stimmig bei deiner Lösungsvariante.

Gruß Conny

Ja, sorry, habe mich verrechnet. Fläche müsste dann sein:

A = 1/2 * (pi/2 + 1) * R^2

06.06.2025, 10:27

Conny_1729

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luftikus

Ja, sorry, habe mich verrechnet. Fläche müsste dann sein:

A = 1/2 * (pi/2 + 1) * R^2

Was denn ja der Sonderfall (für r=a'=a/2) wäre. Wie würde denn jetzt deine allgemeingültige Gleichung für A(a',r) lauten?

Gruß Conny

06.06.2025, 10:59

Luftikus

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Zitat:

Original von Conny_1729

Zitat:

Original von Luftikus

Ja, sorry, habe mich verrechnet. Fläche müsste dann sein:

A = 1/2 * (pi/2 + 1) * R^2

Was denn ja der Sonderfall (für r=a'=a/2) wäre. Wie würde denn jetzt deine allgemeingültige Gleichung für A(a',r) lauten?

Gruß Conny

Meine Losung ist konform mit deiner Lösung (mit dem arcsin-Term), die ich gestern leider am Handy übersehen habe..

06.06.2025, 11:53

Luftikus

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Zitat:

Original von Luftikus

Zitat:

Original von Conny_1729

Zitat:

Original von Luftikus

Ja, sorry, habe mich verrechnet. Fläche müsste dann sein:

A = 1/2 * (pi/2 + 1) * R^2

Was denn ja der Sonderfall (für r=a'=a/2) wäre. Wie würde denn jetzt deine allgemeingültige Gleichung für A(a',r) lauten?

Gruß Conny

Meine Losung ist konform mit deiner Lösung (mit dem arcsin-Term), die ich gestern leider am Handy übersehen habe..

Du kannst dir ja jetzt mal überlegen, bei welchen Tripeln (r,a',R) jetzt eine angenäherte "Quadratur der Kreisring-Teilfläche" möglich ist, insbesondere ganzzahligen, zb. (r=4, a'=3, R=5).. smile

smile

01.07.2025, 17:34

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000

@Aufgabe 183:
Oh, hab ich damals nicht mitgekriegt - dann ziehe ich die Aufgabe zurück.

Auch wenn dieses kleine Problem in wiederholter Form noch einmal gewürdigt wurde, es hat keinesfalls an Reiz verloren, wie mir scheint. Gemeinerweise könnte man statt der drei Streckenabschnitte u, v und w auch drei Flächeninhalte vorgeben, um daraus den Radius des Kreises zu berechnen. Ob es dafür eine „einfache“ Formel gibt, ist mir leider nicht bekannt. Denn ohne Rechnerhilfe (numerische Annäherung) hätte ich das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} A_1=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_2=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_3=10 \end{eqnarray*}$ nicht lösen können.

Gruß Conny

06.07.2025, 08:45

Gualtiero

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Aufgabe 183a

Ja, eine reizvolle Aufgabe ist das in jedem Fall. Aber wie schon gesagt, ich glaube auch nicht, dass es eine geschlossene Formel dafür gibt.
Beim Probieren mit einem CAD-System ist mir folgender Lösungsweg eingefallen:

- Verlegung des Problems in den Einheitskreis
- Dann sind die absoluten Flächenangaben zwar ungültig, aber das Verhältnis der Teilflächen zueinander bleibt gleich
- Aus Symmetriegründen taucht die Teilfläche $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ noch einmal auf, so dass in der Mitte des Kreises ein Rechteck bleibt
- Für $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{10} \end{eqnarray*}$ gibt es unendlich viele Möglichkeiten; für jede dieser Möglichkeiten stehen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ fest
- Mit diesen beiden Winkeln kann das Rechteck berechnet werden
- Im Lösungsfall muss gelten: $\begin{eqnarray*} \pi - 23A_1 = A_{Rechteck} \end{eqnarray*}$
- Wenn $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ausreichend genau bestimmt ist, muss die ganze Konstellation skaliert werden (Streckfaktor $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ), um zum Radius zu gelangen.

- $\begin{eqnarray*} S=\sqrt{\frac{1}{A_1}}=r \end{eqnarray*}$

[attach]58307[/attach]

Ich halte momentan bei r ~ 3.46 . . .

07.07.2025, 09:49

Conny_1729

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Ja, das macht schon Sinn, das Problem zuerst auf einen Einheitskreis zu normieren. Ich habe bei der Kreissegment-Flächenberechnung mit der Segmenthöhe h anstatt des Winkels $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gearbeitet, also mit $\begin{eqnarray*} A_1(r,h_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_3(r,h_3) \end{eqnarray*}$ . Und dann muss natürlich gelten:
$\begin{eqnarray*} <br /> A_{Rechteck}+A_1+2\cdot A_2+A_3=r^2\cdot \pi<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A_{Rechteck}=\left(2r-h_1-h_3\right)\cdot 2\cdot \sqrt{2rh_1-h_1^2} <br /> \end{eqnarray*}$

Als Lösung bin ich dann auf $\begin{eqnarray*} r=3.459 \end{eqnarray*}$ gestoßen.

Gruß Conny

14.07.2025, 10:27

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729

Als Lösung bin ich dann auf $\begin{eqnarray*} r=3.459 \end{eqnarray*}$ gestoßen.

Mit einer herangetragenen Hilfestellung an die KI* (nach dem ersten fehlerbehafteten Durchlauf!) hat diese mir das richtige Ergebnis geliefert [r=3.4582...]. Dafür hat sie etwas mehr als 9 Minuten benötigt, wobei ich das Problem recht umgangssprachlich beschrieben hatte und nur eine JPG-Grafik beisteuern wollte.

* GPT-4-o-Version

Fazit: Diese Art von Aufgabenstellungen sind rechnerisch für allgemein zugängliche KI lösbar, ABER man muss ihr von Anfang an verdammt genau auf die Finger schauen, damit sich so ein Lapsus wie eine falsche Schnittpunkt-Zuordnung nicht einschleicht!!!

Andererseits, eine Lösung in nicht einmal 10 Minuten, da ist sie jedoch klar im Vorteil! Also, ein hybrides Arbeiten ("Mensch-Maschine") ist noch ein sehr wichtiges Element bei der Wahrheitsfindung, wenn man diese Tools nutzen möchte. Doch "WIR" werden allmählich immer überflüssiger ...

Gruß Conny

23.07.2025, 09:20

Conny_1729

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Zitat:

Sonderfall "rechter Winkel" bei Aufgabe 185:

Ich widme mich mal nur dem Sonderfall mit dem rechten Winkel, losgelöst von der gestellten Hauptaufgabe. Für mein Dreieck habe ich allgemein folgende Seitenverhältnisse gewählt:

$\begin{eqnarray*} a<b\leq c \end{eqnarray*}$

Zudem habe ich die Dreieckseiten alle auf a bezogen, womit dann der Bereich gelten würde:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a}=1<\frac{b}{a}\leq \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$

außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}\leq \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} a\perp b \end{eqnarray*}$ vorliegt, dann errechnet sich der Inkreisradius relativ einfach mit:

$\begin{eqnarray*} \rho=\frac{A}{s}=\frac{\frac{1}{2}ab }{\frac{1}{2}(a+b+c) }=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2} } \end{eqnarray*}$

Inkreisradius

Ergänzend muss auch der „Pythagoras“ zur Berechnung des Inkreisradius gelten: (Schwerpunkt liegt auf der Höhe b/3 bezogen auf Seite a)

$\begin{eqnarray*} \rho^2=\left[\frac{b}{3}-\rho \right]^2+\left[\frac{a}{6}-\left(\frac{a}{2}-\rho \right) \right]^2 \end{eqnarray*}$

Daraus resultieren dann die Seiten b und c:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{ } \frac{b}{a}=\frac{1}{8}\left(6+3\sqrt{3}+\sqrt{36\sqrt{3} -1} \right)=2.3786... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{ } \frac{c}{a}=\frac{1}{8}\left(6+5\sqrt{3}+\sqrt{3\left(5+4\sqrt{3} \right) } \right)=2.58028... \end{eqnarray*}$

Ein sehr schönes Problem, an dem man sich auslassen kann. Angemerkt sei, dass das Dreieck bzgl. der Seite c nicht größer werden kann, als …

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{a}\leq \left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5} \right) \right]^2=\phi^2=2.618... \end{eqnarray*}$

Das Maximum für c wird erreicht bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}=\frac{3}{10}\left(5+\sqrt{5} \right)=2.1708... \end{eqnarray*}$

Die hauptsächliche Mammutaufgabe der Herleitung der allgemeinen Gleichung des Dreiecks wäre dann aber noch offen.

Gruß Conny
.

23.07.2025, 20:58

Leopold

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Dann verrate ich einmal die gesuchte Beziehung:

Bei einem Dreieck mit den Seitenlängen $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ liegt der Schwerpunkt dann und nur dann auf dem Inkreis, wenn

$\begin{align*} 5 \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) = 6 \left( ab + bc + ca \right) \end{align*}$

gilt.

23.07.2025, 22:55

Conny_1729

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Bei meinen Berechnungen (in GeoGebra) habe ich schließlich diese Form benutzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{a}=\frac{3}{5}\left(\frac{b}{a}-1 \right)+\frac{4}{5}\sqrt{-\frac{b^2}{a^2}+3\frac{b}{a}-1 } \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung des maximalen Wertes von c liefert die folgende Extremwertbedingung die Lösung für b, wenn a=1 vorausgesetzt ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{dc}{db}=0=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\cdot \frac{3-2b}{2\sqrt{-b^2+3b-1} } \end{eqnarray*}$

Das Seitenverhältnis b/a für das rechtwinklige Dreieck ergibt sich mit:

$\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die allgemeine Gleichung

$\begin{eqnarray*} 5 \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) = 6 \left( ab + bc + ca \right) \end{eqnarray*}$

Gruß Conny

26.07.2025, 10:44

Conny_1729

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Conny_1729
Da ich "Aufgabe 184" nirgends entdecken konnte...

Da hatte ich wohl Zählprobleme.
...

Da fällt mir sofort der uralte Mathematiker-Witz dazu ein:

"Es gibt drei Gruppen von Mathematiker. Die einen, die bis drei zählen können und die, welche es nicht können." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe mich immer gefragt, ob es einen Unterschied im Wahrheitsgehalt bzgl. dieser Aussage gibt, wenn diese von einem Mathematiker / Nicht-Mathematiker behauptet wird???

Gruß Conny

09.08.2025, 15:41

Gualtiero

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Die Aufgabe finde ich deshalb interessant, weil sie Grundlegendes aus der Trigonometrie beinhaltet.
Aber die Lösung habe ich noch nicht.

[attach]58319[/attach]

Auf Einheitskreis wurde schon hingewiesen, als Winkeleinheit nehme ich Radiant, und ich lege den Sektor so in den Kreis, dass seine Sehne parallel zur y-Achse liegt.
Letztere halbiert die Sehne, und die halbe Sehne nenne ich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .
Der Arkus von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist dann der Bogen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .
(siehe Skizze)

Das Maß des Bogens ist das Flächenmaß von $\begin{eqnarray*} A_0, \ \ \text{ daher: }A_0 =\arcsin h \end{eqnarray*}$ .

Im nächst kleineren Sektor ist der Radius nur halb so groß, daher muss die neue Sehnenhälfte (die zuvor noch gedrittelt wird) mit 2 multipliziert werden, dann der Bogen berechnet und das Ergebnis durch 4 geteilt werden.
Dies wiederholt sich bei jedem folgenden Sektor.

Den ganzen Flächenreigen kann man als Folge auffassen, und wenn ich mich nicht vertan habe, lautet deren Bildungsgesetz:

$\begin{eqnarray*} A_i=\left(\frac{1}{4}\right)^i\cdot\arcsin\left(h\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^i\right) \end{eqnarray*}$ , beginnend mit Index 0.

Leider habe ich noch keine Möglichkeit gefunden, die zugehörige Reihe zu berechnen bzw. deren Grenzwert für $\begin{eqnarray*} i \to \infty \end{eqnarray*}$ .

EDIT 10.08.2025
Zur Erleichterung habe ich mir ein kleines Programm geschrieben, das die Einzelflächen und auch die Reihe berechnet.
Wenn ich für die Sehnenhälfte 0.61275 nehme, komme ich mit der Berechnung in die Nähe von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist auch zu sehen, dass ab n=20 der Zuwachs nicht mehr sichtbar ist, weil die Flächen unter der Genauigkeit meines Variablentyps liegen. (Ist hier aber ohnehin nicht das Problem.)

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

 
n     An                     Flächensumme 0 - n 
17    3.62002931116791E-14   0.785398038270257 
18    6.0333819692066E-15    0.785398038270263 
19    1.00556364552901E-15   0.785398038270264 
20    1.67593939735915E-16   0.785398038270264 
21    2.79323232014979E-17   0.785398038270264

10.08.2025, 20:08

Conny_1729

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@ Aufgabe 186:

Die Sehnenlänge zu Frage 1) kann ich mit $\begin{eqnarray*} s_0=1.22550 \end{eqnarray*}$ bestätigen.

Zitat:

Diese Aufgabe ist relativ einfach, denn sie ist ja eher ergebnisorientiert und damit auch für Schüler gut geeignet.

Ich wollte noch einmal darauf hinweisen, dass die Einfachheit der Aufgabe buchstäblich mit dem Begriff "ergebnisorientiert" zu verstehen ist. Eine "lösungsorientierte" Behandlung der Fragen ist hingegen eine mächtige Herausforderung, für die ich keinen allgemeinen Berechnungsweg anführen könnte. (Ausnahmen bilden bestimmte Verhältnisse $\begin{eqnarray*} s_i/r_i \end{eqnarray*}$ , sofern diese einen konstanten Wert annehmen.)

Wer sich jedoch dieser Herausforderung stellen möchte, darf das natürlich versuchen.

Gruß Conny

16.08.2025, 07:17

Gualtiero

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Aufgabe 186

Zitat:

Aufgabe 186: Alle Antworten zusammengefasst

In den Schulmarathon-Thread verschoben.

Ich muss sagen, dass ich bis jetzt noch nie daran gedacht habe, zwischen lösungsorientiert und ergebnisorientiert zu unterscheiden. Deshalb weiß ich auch nicht, ob meine Berechnungen als Lösungen genügen.

16.08.2025, 12:07

Conny_1729

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RE: Aufgabe 186
@ Aufgabe 186:

Alle Resultate sind korrekt und auch die dazu aufgestellten Gleichungen, um auf diese Werte zu kommen. Natürlich sind Begrifflichkeiten wie „ergebnisorientiert“ und „lösungsorientiert“ etwas schwammig gewählt. Bei Ersterem gehe ich immer davon aus, dass allein der Ergebniswert für die Aufgabenstellung ausreicht, bei Letzterem wird hinzukommend auch der Lösungsweg bzw. eine Herleitung gewünscht.

Der geeignete Lösungsweg bei dieser Aufgabe wäre somit herauszufinden, aus welchen Einzelsummen sich die Gesamtfläche / der Gesamtwinkel zusammensetzt. Und über diesen Weg müsste dann (theoretisch) eine Summe über unendlich viele Glieder berechnet werden. Oder aber, jemand findet eine entsprechende Näherungsformel (?), die insgesamt schneller zum Ziele führt.

Man kann sich jedoch mit einigen wenigen „Summendurchläufen“ schnell der gesuchten Werte für Frage 1) und 2) nähern:
$\begin{eqnarray*} <br /> && A_{\infty,i}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} \cdot arcsin\left(\frac{s_{0,i}}{2}\cdot \left(\frac{2}{3} \right)^n \right) <br /> && s_{0,i+1}=s_{0,i}\cdot \frac{A_\infty}{A_{\infty,i}}<br /> && A_\infty=\frac{\pi}{4}<br /> <br /> && \alpha _{\infty,i}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 \cdot arcsin\left(\frac{s_{0,i}}{2}\cdot \left(\frac{2}{3} \right)^n \right) <br /> && s_{0,i+1}=s_{0,i}\cdot \frac{\alpha_\infty}{\alpha_{\infty,i}}<br /> && \alpha _\infty=\pi <br /> \end{eqnarray*}$

Bei Frage 3) und 4) war das Wesentliche, dass sich sowohl die Sehne als auch der Radius im selben Verhältnis verkleinern müssen, also stets nur eine reine Skalierung bei den sich verkleinernden Kreissektoren vorliegt, um der geforderten Gesamtfläche gerecht zu werden. Somit kann man die Startfläche $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ als konstanten Faktor vor das Summenzeichen ziehen und erhält zur Überprüfung:
$\begin{eqnarray*} <br /> && A_\infty=A_0\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} k^{2n}=arcsin\left(\frac{s_0}{2} \right) \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} k^{2n}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
mit den beiden Startflächen:
$\begin{eqnarray*} <br /> &&(3)<br /> && A_0=arcsin\left(\frac{s_0}{2} \right)=\frac{3}{16}\pi <br /> <br /> && s_0 =\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2} } }<br /> &&<br /> &&(4)<br /> && A_0 =arcsin\left(\frac{s_0}{2} \right)=\frac{15}{64}\pi <br /> <br /> && s_0=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } }} }<br /> \end{eqnarray*}$

Ansonsten, als ich mich mit dieser einfach gestalteten „Krallenform“ beschäftigt hatte, war ich darüber erstaunt, dass dieses Design durchaus in der Natur vertreten ist. Beispiele wären der Schnabel vom Steinadler oder die Katzenkralle oder auch die Stachelformen bei Sträuchern.

Katzenkralle

Welche perfekte Abstimmung zwischen den Radien/Sehnen in fortschreitender Weise vorliegen müsste (abhängig von der Querschnittsform!), um eine belastungsoptimierte Kontur zu erhalten, das wäre dann eine interessante Fragestellung für kommende Master- oder Doktorarbeiten. [zumindest für Stachelbetrachtungen von Rosen gibt es schon den einen oder anderen Artikel darüber]

Gruß Conny
.

20.08.2025, 12:31

Conny_1729

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RE: Aufgabe 187
@ Aufgabe 187:

Es gibt bestimmt mehrere gute Möglichkeiten, grafisch wie auch rechnerisch, um diese Aufgabe zu lösen. Mittels der Additionstheoreme der Trigonometrie lässt sich das bestimmt in wenigen Schritten nachweisen, weshalb ich hier gerne eine grafische Herangehensweise zeigen möchte, so wie sie für mich am verständlichsten wäre.

Ausgangspunkt sind zuerst zwei Sätze der Geometrie, womit die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \end{eqnarray*}$ der unten stehenden Skizze (linke Seite), eine Zuordnung erfahren.

1) Zentriwinkelsatz:
Der Zentriwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie der zugehörige Peripheriewinkel $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \end{eqnarray*}$ .

2) Peripheriewinkelsatz:
Alle Peripheriewinkel (Sehnenwinkel) über einem Kreisbogen sind gleich groß.

Die Punkte $\begin{eqnarray*} A_0, A_n, A_{2n} \end{eqnarray*}$ bilden zusammen ein gleichseitiges Dreieck (rot). Dann gibt es noch ein weiteres gleichseitiges Dreieck (grün), welches aus den Sehnenstücken mit der Länge $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ gebildet wird und um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \end{eqnarray*}$ von der Tangenten t weggedreht ist. Der Punkt P liegt damit auf der Sehne $\begin{eqnarray*} \overline{A_0A_{n+1}} \end{eqnarray*}$ .

Die rote Strichpunktlinie des gleichseitigen Dreiecks ist die Winkelhalbierende der Tangente t und der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{A_nA_{2n}} \end{eqnarray*}$ . Da die Sehne $\begin{eqnarray*} \overline{A_{n-1}A_{n}} \end{eqnarray*}$ ebenfalls die Länge $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ besitzt und ebenfalls um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \end{eqnarray*}$ von der Tangenten t weggedreht ist, liegt der Punkt P symmetrisch zum Punkt $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ bzgl. der roten Strichpunktlinie. D.h., es liegt eine Gleichheit vor mit $\begin{eqnarray*} \overline{A_0A_{n-1}}=\overline{A_0P} \end{eqnarray*}$ , womit also $\begin{eqnarray*} \overline{A_0A_{n+1}}-\overline{ A_0A_{n-1}}=a_1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Wichtig bei dieser Aufgabe ist, dass die Punkte $\begin{eqnarray*} A_0, A_n, A_{2n} \end{eqnarray*}$ zusammen ein gleichseitiges Dreieck bilden. Denn anhand der rechten Skizze kann man ersehen, dass diese Symmetrie-Gültigkeit zwischen Punkt P und P‘ auch dann weiterhin gegeben ist, wenn die Sehne $\begin{eqnarray*} \overline{P^{'}A_{n}}=\overline{A_{n}P^{''}}\neq a_1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich hoffe, dass trotzdem noch ein paar weitaus elegantere Nachweise kommen werden, zumindest aber ein rechnerischer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Conny
.

20.08.2025, 14:50

Leopold

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Ist das nun ein Beweis oder sind das Beweisgedanken? Mir fehlt ein klares Vorgehen. Wenn man Punkte durch Lagebeziehungen beschreibt, darf man nicht nur anhand der Zeichnung alle sichtbaren Lagebeziehungen als gültig voraussetzen. Vielmehr muß man den entsprechenden Punkt erst durch eine Lagebeziehung definieren und die anderen Lagebeziehungen aufgrund der geometrischen Konstellation nachweisen. Weiter: Welche Rolle spielt die Tangente? Wozu braucht man die?

Ich versuche einmal einen verständlichen Aufbau.

1. Gleichseitigkeit des roten Dreiecks $\begin{align*} A_0A_nA_{2n} \end{align*}$ ist klar.

2. Über den Sehnen der Länge $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ gleichgroße Umfangswinkel $\begin{align*} \frac{\alpha}{2} \end{align*}$ ist klar. (Der Mittelpunktswinkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ wird meiner Ansicht nach nicht benötigt.)

3. $\begin{align*} P \end{align*}$ als Spiegelpunkt von $\begin{align*} A_{n-1} \end{align*}$ bei Achsenspiegelung an $\begin{align*} A_0A_n \end{align*}$ .

Die Lage von $\begin{align*} P \end{align*}$ als Punkt der Strecke $\begin{align*} A_0A_{n+1} \end{align*}$ ist damit definiert (Winkelhalbierendeneigenschaft der rot gestrichelten Strecke aufgrund von 2.). Aus Symmetriegründen hat auch die Strecke $\begin{align*} A_nP \end{align*}$ die Länge $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ . Das grüne Dreieck ist damit gleichschenklig. Für die Vervollständigung des Beweises fehlt nun noch die Gleichseitigkeit des grünen Dreiecks. Und darin verstehe ich deine Ausführungen nicht. Wo begründest du die Gleichseitigkeit? (Denn die hat nun etwas mit der Gleichseitigkeit des roten Dreiecks zu tun. Man betrachte Umfangswinkel zur rot gestrichelten Sehne.)

20.08.2025, 15:41

Conny_1729

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Zitat:

Original von Leopold
... Für die Vervollständigung des Beweises fehlt nun noch die Gleichseitigkeit des grünen Dreiecks.

Stimmt! Die Gleichseitigkeit des grünen Dreiecks fehlt hier noch und darf nicht so einfach vorausgesetzt werden. Bevor diese Lücke nicht geschlossen ist, darf dies nicht als Nachweis gelten! Da habe ich etwas vorweggenommen, was erst noch zu klären wäre. - Danke für den Hinweis!

Gruß Conny

20.08.2025, 17:03

Leopold

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Das ist nicht mehr schwer. Im Übrigen habe ich auch einen Hinweis gegeben.
Ansonsten gefällt mir dieser Zugang zur Lösung.

20.08.2025, 18:58

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729

Zitat:

Original von Leopold
... Für die Vervollständigung des Beweises fehlt nun noch die Gleichseitigkeit des grünen Dreiecks.

Stimmt! Die Gleichseitigkeit des grünen Dreiecks fehlt hier noch und darf nicht so einfach vorausgesetzt werden. Bevor diese Lücke nicht geschlossen ist, darf dies nicht als Nachweis gelten! Da habe ich etwas vorweggenommen, was erst noch zu klären wäre. - Danke für den Hinweis!

Gruß Conny

So, hier ist noch die Ergänzung zu dem vermaledeiten „grünen Gespenst“ (Dreieck) in meiner Konstruktion. Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, fehlte nur noch die Bestätigung des 60°-Winkels, um die benötigte Gleichseitigkeit zu erhalten. (siehe Skizze)

Gruß Conny
.

21.08.2025, 09:54

Leopold

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Eine fertige Zeichnung ersetzt keine Argumentation. Eine Zeichnung ist statisch. Der Leser kann nicht nachvollziehen, in welcher Reihenfolge die Winkel berechnet wurden.

Ich hätte es so gemacht, wie in meinem vorletzten Beitrag angedeutet: Der noch fehlende 60°-Winkel im grünen Dreieck ist ein Umfangswinkel zu $\begin{align*} A_0A_n \end{align*}$ , ebenso der Winkel bei $\begin{align*} A_{2n} \end{align*}$ . Fertig.

29.11.2025, 13:06

Conny_1729

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zu Aufgabe 188
@ Aufgabe 188: Potenztürme

Da Potenztürme ja die eigenwillige Eigenschaft besitzen, dass sie von rechts oben nach links unten durchgerechnet werden müssen (rechtsassoziiert), wüsste ich mir nicht anders zu helfen, als nach Schema F zu verfahren. Wenn man beide Potenztürme durch mehrfaches Logarithmieren reduziert, sollte ein Vergleich möglich sein. Ich führe daher als Schreibweise für die Potenztürme das Kürzel „PT“ ein.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{100^{100^{\cdots^{100}}}}_n=\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \\&& \sideset{^1}{}{\mathop{PT_{100}}}=100 \\&& \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underbrace{3^{3^{\cdots^{3}}}}_m=\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \\&& \sideset{^1}{}{\mathop{PT_{3}}}=3<br /> \\&& \sideset{^2}{}{\mathop{PT_{3}}}=3^3<br /> \\&& \sideset{^3}{}{\mathop{PT_{3}}}=3^{3^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt beginnt man schrittweise mit dem Logarithmieren:
$\begin{eqnarray*} \\&& ln\left(\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}}\right) =\sideset{^{n-1}}{}{\mathop{PT_{100}}}\cdot ln\left(100\right)<br /> \\&& ln\left(ln\left(\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}}\right)\right) =\sideset{^{n-2}}{}{\mathop{PT_{100}}}\cdot ln\left(100\right)+\textcolor{red}{ln\left(ln\left(100\right) \right)} <br /> \\&& ln\left(ln\left(ln\left(\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}}\right)\right)\right) \approx \sideset{^{n-3}}{}{\mathop{PT_{100}}}\cdot ln\left(100\right)+\textcolor{red}{ln\left(ln\left(100\right) \right)} <br /> \\&& ...<br /> \\&& ln^{(k)}\left[\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}}\right] \approx \sideset{^{n-k}}{}{\mathop{PT_{100}}}\cdot ln\left(100\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(100\right) \right)} \end{eqnarray*}$

Die roten Terme sind dabei als unbedeutend kleine Reste aufzufassen, die man für die Betrachtung des nächsten Schrittes unter den Tisch fallen lassen kann.

Für k=n-1 gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \\&& ln^{(n-1)}\left[\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}}\right] \approx \sideset{^{1}}{}{\mathop{PT_{100}}}\cdot ln\left(100\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(100\right) \right)} <br /> \\&& ln^{(n-1)}\left[\sideset{^n}{}{\mathop{PT_{100}}}\right] \approx 100\cdot ln\left(100\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(100\right) \right)} \approx 462.04 \end{eqnarray*}$

Das gleiche Spiel ist dann für den anderen Potenzturm durchzuführen mit k=m-1, wobei m=100 ist.
$\begin{eqnarray*} \\&& ln^{(m-1)}\left[\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}}\right] \approx \sideset{^{1}}{}{\mathop{PT_{3}}}\cdot ln\left(3\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(3\right) \right)} <br /> \\&& ln^{(m-1)}\left[\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}}\right] \approx 3\cdot ln\left(3\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(3\right) \right)} \approx 3.38988 \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, ist für k=m-1=n-1 die Forderung erfüllt, da 462.04>3.38988 ist. Also überprüft man den nächsten Schritt mit k=m-2.
$\begin{eqnarray*} \\&& ln^{(m-2)}\left[\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}}\right] \approx \sideset{^{2}}{}{\mathop{PT_{3}}}\cdot ln\left(3\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(3\right) \right)} <br /> \\&& ln^{(m-2)}\left[\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}}\right] \approx 3^3\cdot ln\left(3\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(3\right) \right)} \approx 29.756 \end{eqnarray*}$

Auch für k=m-2=n-1 ist die Forderung erfüllt, da 462.04>29.756 ist. Somit geht’s zum nächsten Schritt mit k=m-3.
$\begin{eqnarray*} \\&& ln^{(m-3)}\left[\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}}\right] \approx \sideset{^{3}}{}{\mathop{PT_{3}}}\cdot ln\left(3\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(3\right) \right)} <br /> \\&& ln^{(m-3)}\left[\sideset{^m}{}{\mathop{PT_{3}}}\right] \approx 3^{3^3}\cdot ln\left(3\right)+\textcolor{black}{ln\left(ln\left(3\right) \right)} >462.04 \end{eqnarray*}$

Jetzt wird die Forderung nicht mehr erfüllt! Das bedeutet, es muss mindestens k=m-2 vorliegen bzw. n=m-1, wobei m=100 ist.

$\begin{eqnarray*} \\&& \sideset{^{m-1}}{}{\mathop{PT_{100}}}>\sideset{^{m}}{}{\mathop{PT_{3}}}<br /> \\&& \sideset{^{99}}{}{\mathop{PT_{100}}}>\sideset{^{100}}{}{\mathop{PT_{3}}} \end{eqnarray*}$

Falls das die richtige Spur ist, dann kann man sich natürlich die Frage stellen, ob es auch eleganter zu lösen geht??? Mir fällt leider nur dieser Weg ein. Aber das Ergebnis (sofern es richtig ist) hat mich schon erstaunt, da ich intuitiv davon ausgegangen wäre, dass n viel kleiner ausfallen sollte. Aber, egal wie hoch der Potenzturm $\begin{eqnarray*} \sideset{^i}{}{\mathop{PT_{3}}} \end{eqnarray*}$ wird, der andere muss einen Potenzschritt niedriger sein $\begin{eqnarray*} \sideset{^{i-1}}{}{\mathop{PT_{100}}} \end{eqnarray*}$ , um darüber zu liegen.

Gruß Conny

30.11.2025, 11:47

HAL 9000

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Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} n=99 \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Ich bin so vorgegangen:

a) Aus $\begin{eqnarray*} \sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}} > \sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ folgt offenbar

$\begin{eqnarray*} \sideset{^{r+1}}{}{\mathop{PT_{100}}} = 100^{\sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}} > 3^{\sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}} > 3^{\sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}}} = \sideset{^{s+1}}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ ,

und damit $\begin{eqnarray*} \sideset{^{r+d}}{}{\mathop{PT_{100}}} > \sideset{^{s+d}}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} d\geq 0 \end{eqnarray*}$ per Vollständiger Induktion. Auf $\begin{eqnarray*} r=1,s=2,d=98 \end{eqnarray*}$ (wegen 100 > 27) angewandt heißt das $\begin{eqnarray*} \sideset{^{99}}{}{\mathop{PT_{100}}} > \sideset{^{100}}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ .

b) Aus $\begin{eqnarray*} 5\cdot \sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}+2 < \sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \sideset{^{r+1}}{}{\mathop{PT_{100}}}+2 = 5\cdot 100^{\sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}}+2< 9\cdot 100^{\sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}} < 9\cdot 243^{\sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}} = 3^{5\cdot\sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}+2} < 3^{\sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}}} = \sideset{^{s+1}}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ ,

und damit $\begin{eqnarray*} 5\cdot \sideset{^{r+d}}{}{\mathop{PT_{100}}}+2 < \sideset{^{s+d}}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ .

Auf $\begin{eqnarray*} r=0,s=2,d=98 \end{eqnarray*}$ (wegen 7 < 27) angewandt heißt das $\begin{eqnarray*} \sideset{^{98}}{}{\mathop{PT_{100}}} < \sideset{^{100}}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ .

30.11.2025, 21:49

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} n=99 \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Ich bin so vorgegangen:

a) Aus $\begin{eqnarray*} \sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}} > \sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ folgt offenbar

...

b) Aus $\begin{eqnarray*} 5\cdot \sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}+2 < \sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ folgt
...

Ja, das ist dann die elegante und vor allem saubere Lösung!
Ich habe mich ja nur näherungsweise herangetastet, aber trotzdem wohl ein glückliches Händchen dabei gehabt. Auf die Idee, vorwärts zu Potenzieren, wäre ich nicht gekommen.

Der Schritt b) sichert schließlich das Ergebnis nach unten ab, wobei ich mir zumindest die Frage stelle, welche tiefgreifende Bedeutung dahintersteckt, dass der Faktor 5 und der Summand +2 verwendet wurden bei $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{5}\cdot \sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}\textcolor{red}{+2} < \sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ - Das ist ja bestimmt nicht willkürlich geschehen.

Gruß Conny

01.12.2025, 07:04

HAL 9000

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Die "tiefgreifende Bedeutung" wird aus dem Beweisverlauf ersichtlich:

Man braucht eine Dreierpotenz >100, und da bietet sich $\begin{eqnarray*} 3^5 = 243 > 100 \end{eqnarray*}$ als erstes an. Und die Verschiebung um 2 braucht man nun wiederum, um diese eben eingehandelte 5 für die Induktion auch links an den Start zu bringen, diesmal mit $\begin{eqnarray*} 5 < 9 = 3^2 \end{eqnarray*}$ . Teil b) klappt natürlich auch mit zahlreichen anderen Varianten von $\begin{eqnarray*} u\cdot \sideset{^r}{}{\mathop{PT_{100}}}+v < \sideset{^s}{}{\mathop{PT_3}} \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} u=10,v=3 \end{eqnarray*}$ . Die von mir gewählte Variante $\begin{eqnarray*} u=5,v=2 \end{eqnarray*}$ ist gewissermaßen die "kleinste" ganzzahlige.

Insgesamt sieht man an dem Beispiel, dass für die grobe Größeneinordung der Potenztürme weniger die beteiligten Zahlen als viel mehr die Höhe des Turms ausschlaggebend ist - zumindest bei ausreichend großen Zahlen (also $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$ ).

01.12.2025, 18:34

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Insgesamt sieht man an dem Beispiel, dass für die grobe Größeneinordung der Potenztürme weniger die beteiligten Zahlen als viel mehr die Höhe des Turms ausschlaggebend ist - zumindest bei ausreichend großen Zahlen (also $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$ ).

Das war die Quintessenz aus dieser Aufgabe, die ich gezogen habe und die mich mächtig beeindruckt hat. Das linksassoziierte Potenzieren ist dagegen größtenteils harmlos.

Die Suche nach dem N bei $\begin{eqnarray*} \sideset{^{m-2}}{}{\mathop{PT_{N}}}>\sideset{^{m}}{}{\mathop{PT_{3}}} \end{eqnarray*}$ würde das dann auch eindrucksvoll unterstreichen, welche "Power" in den Potenztürmen steckt.

Gruß Conny

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