Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" - Seite 5

18.10.2012, 14:43

Fragen über Fragen

Mir will also niemand sagen, welche geheimen Dinge hier auf Seite 12 besprochen wurden. unglücklich

Hat schon jemand von euch die Situation aufgemalt? Wenn ihr nicht weiterkommt, aber an der Aufgabe interessiert seid, könnt ihr das ruhig schreiben, sonst weiß ich nicht, ob ich hier Tipp an Tipp geben soll und es interessiert keinen Menschen ^^

18.10.2012, 21:12

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe die Situation nicht nur aufgmalt, sondern auch mein CAD-Programm zum Konstruieren zu Hilfe genommen; damit gehen viele Schritte ja spielerisch leicht. Aber leider hat mir das auch nicht zur Lösung verholfen.

Ich habe mir sogar eine kleine LISP-Routine geschrieben, um den Punkt mit der minimalen Abstandssumme von den drei Punkten zu finden - aber auch das hat mir die Arbeit nicht erleichtert.

Dass ich an der Aufgabe scheitere wundert mich auch deshalb, weil ich geglaubt habe, ich hätte sie oder eine ähnliche schon hier im Board gelöst oder wenigstens über die Lösung gelesen. Offenbar habe ich mich getäuscht.

Ich werde an der Aufgabe, so wie es meine Freizeit erlaubt, dranbleiben und natürlich jedem Tipp nachgehen.

18.10.2012, 21:29

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Als kleinen Tip möchte ich eine alte Weisheit erwähnen:
Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten ist die direkte Verbindung.

(Dieser Hinweis ist nur sinnvoll, wenn man, wie von Fragen über Fragen vorgeschlagen, eine Skizze mit einem fast beliebigen Drehwinkel erstellt hat. )

18.10.2012, 21:48

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Gualtiero, es freut mich, dass du bei dem Problem miträtselst, zeigt mir aber auch, dass die Idee doch nicht so offensichtlich ist.

Als ich über dieses historische Problem (das tatsächlich einige male hier erwähnt wurde [ist es eigentlich sehr falsch, eine Klammer mit Komma zu beginnen - ich hätte hier vor das "das" gerne ein Komma gesetzt, auch wenn es scheußlich aussieht]) stolperte, stolperte ich gleich über die Lösung mit und habe die Schwierigkeit so wohl unterschätzt (es gibt ja viele sehr schwere Probleme, die trotzdem mit einfacher Methodik und in ein/zwei Zeilen lösbar sind).
Ich wusste halt nicht, ob es bloß für viele uninteressant ist, da Geometrie nicht gerade Oberstufenschwerpunkt ist, auch wenn es prinzipiell eine Extremwertaufgabe ist (und auch mit viel Aufwand mit Analysis lösbar ist).

Den Tipp von Opi hätte ich an dieser Stelle nun auch gegeben: Der Drehwinkel wird so eingestellt, dass der Stern aufgedröselt ist, also insbesondere die Strecke AP längenmäßig reproduziert wird (den Tipp habe ich ein paar Beiträge vorher schon gegeben)...es gibt da so einen ganz bestimmten Winkel, wo man so eine gleich lange Seite erhält, und er ist kleiner als 90° (falls jemand das Dreieck zu stark in Gedanken gedreht hat).

Die Pointe ist nun, dass man nun einen Streckenzug von C' zu B hat, auf dem Strecken der Längen lAPl,lBPl,lCPl liegen. Dieser Streckenzug ist geknickt, wenn P nicht minimal gewählt wurde und eine Gerade, wenn P minimal ist.

Für die Konstruktion von P nimmt man nun also eine Gerade von C' zu B an und P liegt auf dieser Geraden. Wo genau, ist die letzte Hürde (für deren Bewältigung es wieder hilfreich ist, mit den Dreiecken APC und AP'C' zu arbeiten) Augenzwinkern

20.10.2012, 00:03

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fragen über Fragen
Für die Konstruktion von P nimmt man nun also eine Gerade von C' zu B an und P liegt auf dieser Geraden. Wo genau, ist die letzte Hürde (für deren Bewältigung es wieder hilfreich ist, mit den Dreiecken APC und AP'C' zu arbeiten) Augenzwinkern

Na ja, oder auch nicht. Einfacher ist es sich klar zu machen, dass man für das Prozedere ja willkürlich das Dreieck APC ausgewählt hat - man hätte ja auch ein anderes nehmen können.

Es fragt sich halt bloß noch, wo C' liegt, also wie groß der Drehwinkel ist. Fällt euch da kein Winkel ein, um den man eine Strecke AP um A dreht, und anschließend P'P die gleiche Länge wie AP hat? Augenzwinkern

Übrigens lässt es mir immer noch keine Ruhe, warum die bescheuerte Seite 12 offen ist - immer werde ich dahin weitergeleitet beim Klick auf die letzte Seite.

20.10.2012, 00:19

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

@Fragen über Fragen, ich habe soeben meinen Lösungsvorschlag gepostet und bin gespannt, ob ich richtig kombiniert habe. Die Aufgabe ist für mich zu interessant, um sie zu übergehen.

Die leere Seite 12 sehe ich auch, das dürfte ein Fehler in der Datenstruktur dieses Threads sein. Beheben kann das nur ein Administrator. Mal sehen.

Edit: Nun stimmt es wieder. Freude

20.10.2012, 00:57

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja endlich ist die Harmonie wieder hergestellt ^^
Ein geometrisches Extremalproblem wurde ja schon mal auf Seite 1 des Schulmarathons gestellt, wobei da die Umsetzung in der Natur (Einfalls- gleich Ausfallswinkel) etwas anschaulicher ist, als die Energieminimierung wie hier beschrieben http://www.mythos-mathe.de/exponate/geom...fermatpunkt.php

23.10.2012, 23:42

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht's aus, knobelt jemand an der Aufgabe oder hält sich das Interesse in Grenzen ? Augenzwinkern

24.10.2012, 18:28

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte die Lösung ziemlich schnell, möchte aber nicht posten, weil sich die Auflöser abwechseln sollten - meine ich halt.

Wahrscheinlich sind die Schüler zurzeit mit Lernarbeit usw. beschäftigt; die Schwierigkeit der Aufgabe finde ich genau dem Schulniveau angepasst, daran kann es nicht liegen, dass der Thread momentan stillsteht.

24.10.2012, 19:08

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist eine sehr schöne Aufgabe für die Schulmathe. Freude

Ich möchte die Lösung jedoch auch nicht posten, es darf gerne ein Schüler mal ran.

27.10.2012, 17:55

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi kgV, du musst in beiden Ungleichungen noch Gleichheit zulassen oder zusätzliche Bedingungen an die a,b,c,d stellen

27.10.2012, 17:58

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ich hatte die Bedingungen vergessen. Wird gleich editiert. Danke
Lg

27.10.2012, 17:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur neuen Aufgabe:
Sollte es nicht jeweils $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ heißen?
Oder die Variablen paarweise verschieden?

Edit: Hoppla, da habe ich wohl zu lange gewartet smile

27.10.2012, 18:07

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Während schon über die neue Aufgabe gesprochen wird, möchte ich aber vorher noch die Schafe retten. Augenzwinkern

Die Lösung stimmt nicht, in der Rechnung ist die Höhe im Dreieck falsch.
Nebenbei: Die Berechnung eines (anderen) Kreissegments hätte ausgereicht, die Dreiecke werden gar nicht benötigt.

27.10.2012, 18:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@kgV

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} h_r = \sqrt{\frac{5r^2}{4}} \end{eqnarray*}$ ? Tatsächlich ist im gleichseitigen Dreieck natürlich $\begin{eqnarray*} h_r = \sqrt{\frac{3r^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}r \end{eqnarray*}$ , mit weitreichenden, aber erfreulichen Folgen für die gemobbten Schafe. Augenzwinkern

P.S.: Sehe gerade, dass opi dasselbe Problem angesprochen hat.

27.10.2012, 18:12

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte beim Pythagoras die Seiten vertauscht. Wird noch editiert.

27.10.2012, 18:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, irgendetwas ist an diesem Thema seltsam. Es wird wieder eine neue Seite angezeigt, die gar nicht existiert. Weiß irgendjemand, woran das liegen könnte?

27.10.2012, 18:24

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön Freude

Das war ja nur ein kleiner Struddelfehler.
Ich lasse doch keine armen Schafe sterben Augenzwinkern

27.10.2012, 18:25

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schon

27.10.2012, 19:54

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch der oben angedeutete kürzere Rechenweg:

[attach]26372[/attach]

$\begin{eqnarray*} A_{Weide}=2 \cdot A_{Kreissegment} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Weide} = 2 \cdot\frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Weide}=r^2\cdot \left(\frac{2}{3} \pi -\frac{\sqrt{3} }{2}\right) \approx 1{,}22837r^2 \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 20:01

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Hinweis noch zur neuen Aufgabe:
Ich glaube deine Einschränkung reicht so nicht, auch wenn du paarweise verschieden meinst.

27.10.2012, 20:05

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo reichen sie nicht verwirrt

Könntest du mir das bitte (evtl auch per PN, wenn du der Lösung vorgreifen musst) näher erläutern, weil ich grade keine Fehler finden kann...

27.10.2012, 20:08

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe dir eine PN geschrieben Augenzwinkern

27.10.2012, 20:13

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Angekommen und Bedingung ausgebessert smile

27.10.2012, 20:53

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich habe ich es. Lesen1

28.10.2012, 11:39

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

@CT:
Interessanter Lösungsansatz! Ich hatte es über die von mir zitierte Ungleichung bewiesen, indem ich das Ganze umgeformt habe:
$\begin{eqnarray*} 2abcd<abcd\cdot\left(\frac{ad}{cb}+\frac{cb}{ad}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2<\frac{ad}{cb}+\frac{cb}{ad} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} ad>cb \end{eqnarray*}$ gilt dann: $\begin{eqnarray*} \frac{ad}{cb}>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{cb}{ad}<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2<\frac{ad}{cb}+\frac{cb}{ad}=\frac{cb +(ad-cb)}{cb}+\frac{ad- (ad-cb)}{ad}=1+\frac{ad-cb}{cb}+1-\frac{ad-cb}{ad}\rightarrow 0<\frac{ad-cb}{cb}-\frac{ad-cb}{ad} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} cb<ad \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} \frac{ad-cb}{cb}>\frac{ad-cb}{ad} \end{eqnarray*}$ und damit ist die Ungleichung bewiesen. Für $\begin{eqnarray*} ad<cb \end{eqnarray*}$ verläuft der Beweis analog.

Die nächste Aufgabe gehört dir smile

28.10.2012, 12:10

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider keine tolle Aufgabe vorliegen. Ich gebe die Runde frei. smile

28.10.2012, 13:06

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal die nächste Aufgabe gestellt.
smile

28.10.2012, 14:22

DP1996

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe grad mal eine Frage zur aktuellen Aufgabe: Heißt das Verhältnis der beiden Flächeninhalte gleich 1:2, dass der Flächeninhalt zwischen f und gc zu dem zwischen x-Achse und gc gleich 2:1 ist, oder dass der Flächeninhalt zwischen f und gc zu dem zwischen x-Achse und gc gleich 1:2 ist? Oder, anders gefragt: Welche der beiden Flächen soll die größere sein?

28.10.2012, 14:26

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Fragestellung so auffassen, dass wenn später die Gerade durch die Fläche gezogen wird, die von der Funktion f(x) mit der x-Achse eingeschlossen wird, der "linke" Abschnitt im Verhältnis 1 und der "rechte" im Verhältnis 2 steht.

Einfach gesagt: Die rechte Fläche von der Geraden soll die größere sein.

So habe ich es jedenfalls interpretiert.

28.10.2012, 15:58

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

@DP1996: Ich erhalte das selbe Ergebnis wie du.

smile

28.10.2012, 16:01

DP1996

Auf diesen Beitrag antworten »

cool, dann werde ich jetzt eine neue Aufgabe reinstellen. smile

28.10.2012, 17:00

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei der neuen Aufgabe mal rein spaßes halber folgendes gemacht,

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_a=2a-b-c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_b=2b-a-c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_c=2c-a-b \end{eqnarray*}$

Nun Null gesetzt und das LGS gelöst. Als Lösung kommt $\begin{eqnarray*} a=b=c \end{eqnarray*}$ heraus. Das heißt das die Funktion $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ein mögliches Extremum hat wenn $\begin{eqnarray*} a=b=c \end{eqnarray*}$ gilt oder? Das interessante ist auch das die Ungleichung genau dann Null wird, wenn $\begin{eqnarray*} a=b=c \end{eqnarray*}$ gilt. Ist das reiner Zufall? verwirrt

28.10.2012, 17:03

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn a=b=c, dann lautet die Gleichung im Grunde $\begin{eqnarray*} x^2+x^2+x^2-x\cdot x-x\cdot x-x\cdot x=0 \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 17:04

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meine den Zusammenhang zu den partiellen Ableitungen die ich gebildet habe... verwirrt

28.10.2012, 17:05

DP1996

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir die Aufgabe nicht ausgedacht, deshalb kann ich dir nicht sagen, ob das Zufall ist.

28.10.2012, 17:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, was du unter Zufall verstehst. Das ist vergleichbar damit, dass $\begin{eqnarray*} (b-a)^2 \end{eqnarray*}$ genau dann Null wird, wenn $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 17:18

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber irgendwie komisch das die Nullstellen der partiellen Ableitungen auch die Nullstellen der Originalfunktion sind. verwirrt

28.10.2012, 17:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist doch bei $\begin{eqnarray*} (b-a)^2 \end{eqnarray*}$ auch der Fall Augenzwinkern

Und wenn etwas immer größer gleich Null ist (und differenzierbar), dann müssen die Nullstellen davon doch auch Nullstellen der Ableitung sein.

28.10.2012, 17:24

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »