Grenzwert bestimmen von Wurzeln

11.09.2012, 18:34

krns

Grenzwert bestimmen von Wurzeln

Meine Frage:
Ich muss den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+x-1}- \sqrt{x^2-x+1} \end{eqnarray*}$
bestimmen für x -> inf.

Meine Ideen:
Ich habe leider noch keinen Schimmer..
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich mit der Wurzel umgehen soll...

Kann man evtl. irgendwie die 3. bin. Formel anwenden?

MfG

11.09.2012, 19:38

original

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
verwirrt

.."Kann man evtl. irgendwie die 3. bin. Formel anwenden?"

-> ja,
also erweitere zuerst mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+x-1}+ \sqrt{x^2-x+1} \end{eqnarray*}$

-> und kürze dann noch den entstandenen Bruch mit x

welchen Grenzwert bekommst du dann -> ?...
.

12.09.2012, 12:13

krns

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
ich bekomme dann

$\begin{eqnarray*} (x^2)/ \sqrt(x^2+x-1)+\sqrt(x^2-x+1) \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich die Wurzeln im Nenner weg?

MfG

12.09.2012, 13:00

Mork vom Ork

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
Nö, das bekommst Du nicht.
Da sollte im Zähler was anderes übrig bleiben.

Was das Kürzen angeht: Beachte, dass die Wurzel mit der Multiplikation verträglich ist!

12.09.2012, 13:31

krns

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
Ich erweitere entsprechend:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{x^2-x+1})*(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x^2-x+1})/(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x^2-x+1}) \end{eqnarray*}$

wenn ich den zähler vereinfache, bleiben doch nur $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ übrig oder nicht?

$\begin{eqnarray*} (x^2+x-1+x^2-x+1)/(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x^2-x+1}) \end{eqnarray*}$

weiter vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} (2x^2)/(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x^2-x+1}) \end{eqnarray*}$

mfg

12.09.2012, 14:40

klarsoweit

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln

Zitat:

Original von krns
wenn ich den zähler vereinfache, bleiben doch nur $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ übrig oder nicht?

$\begin{eqnarray*} (x^2+x-1+x^2-x+1)/(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x^2-x+1}) \end{eqnarray*}$

Schreibe mal im Zähler a² - b² hin, wenn $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{x^2+x-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{x^2-x+1}) \end{eqnarray*}$ ist.

12.09.2012, 14:59

krns

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
ok, im Zähler habe ich dann 2x-2 stehen und im Nenner halt immer noch meine beiden wurzeln.. liege ich denn mittlerweile richtig, bevor ich mich darum kümmere, wie ich eine Grenzewertbetrachtung bei Brüchen mache?!

MfG

12.09.2012, 15:34

original

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln

Zitat:

Original von krns
ok, im Zähler habe ich dann 2x-2 stehen Freude

und im Nenner halt immer noch meine beiden wurzeln..

....... da habe ich dir ganz zu Beginn schon notiert, dass du nun mit x kürzen sollst
(also im Zähler und im Nenner zuerst mal x ausklammern ... usw)

geschockt

liest du denn nicht, was man dir schreibt?

12.09.2012, 15:47

krns

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
ich lese es sehr wohl, aber wüsste jetzt nicht, wie ich es angehen soll.. Tränen

12.09.2012, 15:55

original

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln

Zitat:

Original von krns
ich lese es sehr wohl, aber wüsste jetzt nicht, wie ich es angehen soll..

.
x ausklammern? .. weisst du nicht? also hier nur mal für deinen Zähler:

$\begin{eqnarray*} 2 x - 2 = x * ( 2 - \frac{2}{x} ) \end{eqnarray*}$

so - mach selbst die Übung jetzt analog noch für deinen Nenner ..

Wink

12.09.2012, 16:03

krns

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
Ich kann es schon, aber ich sehe einfach noch nicht inwiefern es mir helfen soll?!

der Nenner sieht dann wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x(x+1- \frac{1}{x}}) +\sqrt{x(x-1+ \frac{1}{x}}) \end{eqnarray*}$

nochmal gesamt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x(2-\frac{2}{x})}{\sqrt{x(x+1- \frac{1}{x}}) +\sqrt{x(x-1+ \frac{1}{x}})} \end{eqnarray*}$

jetzt könnte ich noch so machen?!

$\begin{eqnarray*} \frac{x(2-\frac{2}{x})}{\sqrt{x}*\sqrt{(x+1- \frac{1}{x}}) +\sqrt{x}*\sqrt{(x-1+ \frac{1}{x}})} \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 16:12

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
unglücklich

du sollst im Nenner nicht sqrt(x) ausklammern, sondern x
... also sqrt(x^2) ..

kurz: nach dem Kürzen mit x sieht dein Gesamtding dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{ 2 - \frac{2}{x} }{\sqrt{1 + \frac{1}{x} -\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1 - \frac{1}{x} +\frac{1}{x^2} } } \end{eqnarray*}$

alles klar?
ja, dann kannst du dir jetzt überlegen, was mit deinem Bruch wird, wenn x -> oo

-> ?

12.09.2012, 16:20

krns

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
ok, es wird gegen 1 streben.. 2 / 2 = 1

Ich bedanke mich!!

12.09.2012, 16:25

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen von Wurzeln
Für die Überlegung übrigens noch:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{x^2-x+1}&=\sqrt{(x+\tfrac12)^2+c_1}-\sqrt{(x-\tfrac12)^2+c_2}\sim\sqrt{(x+\tfrac12)^2}-\sqrt{(x-\tfrac12)^2}\\&=x+\tfrac12-x+\tfrac12=1\,.\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Ist allerdings auch nicht allzu formal, sondern wie gesagt nur als Vorüberlegung.

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