Dritte Wurzel von negativen Zahlen

11.09.2012, 19:38

mwinter

Dritte Wurzel von negativen Zahlen

Nabend zusammen :-)

Ich habe mich jetzt schon öfter gefragt, warum bspw. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray*}$ lösbar ist, wohingegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{-8} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Kann mir da jemand eine kurze Erklärung oder einen Denkanstoß zu geben?

Liebe Grüße,
mwinter.

11.09.2012, 20:00

kgV

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$\begin{eqnarray*} -2\cdot-2\cdot-2=-8 \end{eqnarray*}$
Die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert(bzw. nur im Komplexen) weil es keine Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert negativ ist. Bei ungeraden Hochzahlen(bzw Wurzeln) ist das kein Problem. $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-8)} \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{(-8)} \end{eqnarray*}$
kgV
Wink

11.09.2012, 20:03

mwinter

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Logisch! Ich danke dir ;-)

11.09.2012, 22:36

Dopap

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RE: Dritte Wurzel von negativen Zahlen

Zitat:

Original von mwinter
[...] $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray*}$ lösbar ist, wohingegen [...]

Obiges ist auch nicht definiert, da der Radikant negativ ist.

Aber : $\begin{eqnarray*} x^3+8=0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösung $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt[3]{|-8|} \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 17:10

mYthos

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Genauer: Eine der drei Lösungen des Radikanden ( Augenzwinkern

) ist -2, es gibt noch zwei Lösungen, allerdings sind diese nicht reell.

mY+

12.09.2012, 20:02

kgV

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Gern geschehen smile

@ Dopap: Da hast du natürlich Recht, aber als Erklärung fand ich ich das bisher doch tauglich. Dein Ansatz ist da aber methematisch korrekter.Ich wede es in Zukunft so übernehmen
Lg
kgV
Wink

12.09.2012, 20:11

Dopap

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@kgv: schön, dass du das so siehst Augenzwinkern

Und die nichtreellen Lösungen lass ich immer weg, solange keine komplexen Zahlen eingeführt worden sind.

Der Grund warum $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{()} \end{eqnarray*}$ aus negativen Zahlen nicht definiert ist, liegt nicht darin, dass man es nicht definieren könnte, denn f(x)=x^3 hat in R eine Umkehrfunktion !

der Grund liegt einzig darin, dass dann alle Potenz- und Wurzelregeln nicht mehr gültig wären. Dieser Preis erscheint zu hoch.

12.09.2012, 22:26

mYthos

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Zitat:

Original von Dopap
...
... denn f(x)=x^3 hat in R eine Umkehrfunktion !
...

Diese muss allerdings ebenso abschnittsweise definiert werden.
Der Fortbestand der Potenz- und Wurzelregeln (--> Permanenz der formalen Rechengesetze) wären dann nicht in Frage gestellt.

mY+

12.09.2012, 22:44

Dopap

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Dopap
...
... denn f(x)=x^3 hat in R eine Umkehrfunktion !
...

Diese muss allerdings ebenso abschnittsweise definiert werden.[...]

müssen muss man nix. Augenzwinkern

Wie man diese Umkehrfunktion analytisch schreibt und definiert und auf welche Konventionen man Rücksicht nimmt, steht auf einem anderen Blatt.

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