Untervektorräume - Klausuraufgabe Mathe für Informatiker 2

11.09.2012, 23:55

Monstapuppe

Untervektorräume - Klausuraufgabe Mathe für Informatiker 2

Meine Frage:
geg: UVR

$\begin{eqnarray*} u_{t} = < \begin{pmatrix} 1+t \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} >, w_{t} = < \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ t \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} > des \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$
Für welche Parameter t $\begin{eqnarray*} \epsilon\ \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ist dim ( $\begin{eqnarray*} U_{t} \cap W_{t} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) ?
Bestimme in diesen Fällen eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_{t} \cap W_{t} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich konnte diese Aufgabe in meiner Klausur einfach nicht lösen, also hab ich mir gedacht ich schau mal in die Musterlösungen und fand auch eine ähnliche Aufgabe. Leider habe ich auch mit der Musterlösung nichts anfangen können und suche jetzt Rat und Vorschläge wie ich diese Problem bewältigen kann.

Nun hier noch die Beispielaufgabe:
geg: UVR
$\begin{eqnarray*} u = < \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} > , w = < \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda 1 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + \lambda 2 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \mu 1 \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu 2\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda 1 = \lambda 2 \lambda 2 = \lambda 4 \lambda 1 = \lambda 3 \lambda 4 = \lambda 1 \Rightarrow \lambda 1 = \lambda 2 = \lambda 3 = \lambda 4 \Rightarrow \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \epsilon U \cap W \Rightarrow dim U \cap W \geq 1 \end{eqnarray*}$
ausschließen, dass dim $\begin{eqnarray*} U \cap W = 2 \end{eqnarray*}$
Dimensionsformel:
dim U+W = dim U + dim W - dim $\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$
3 = 2 + 2 - dim $\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$
Basis von $\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
-> soll zeigen, dass die 4 Vektoren den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ aufspannen.

12.09.2012, 00:15

Helferlein

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Mir ist jetzt ehrlich gesagt nicht klar, wieso Du eine Musterlösung einer anderen Aufgabe gepostet hast, wo Du Fragen zur Klausuraufgabe hast und nirgends ersichtlich ist, was Dir unklar ist.

Schreib doch bitte dazu, wie weit Du der Lösung folgen konntest oder noch besser, wie Du das, was Du verstanden hast, auf die Klausuraufgabe überträgst.

Im Übrigen enthält die Musterlösung, wie sie hier steht, auch Fehler. Es tauchen Variablen auf, die nirgends definiert wurden ( $\begin{eqnarray*} \lambda_3,\lambda_4 \end{eqnarray*}$ ) und im gleichen Schritt verschwinden definierte Variablen ( $\begin{eqnarray*} \mu_3,\mu_4 \end{eqnarray*}$ )spurlos.
Das vermeindlich gefundene Element der Schnittmenge ist nicht in U enthalten und kann somit überhaupt nicht in der Schnittmenge enthalten sein.

Daher ist es vermutlich sinnvoller, wenn Du nur die Grundgedanken der Musterlösung übernimmst:

1) Wann liegt ein Vektor im Durchschnitt zweier Mengen?

2) Was folgt daraus für die Darstellung des Vektors als Linearkombination der beiden Basen?

3) Wenn Du bis hierhin gekommen bist, erhältst Du ein GLS, welches Du lösen musst. Gauß wird Dir hoffentlich ein Begriff sein, ansonsten nutze ein anderes Dir bekanntes Verfahren.

12.09.2012, 13:47

Monstapuppe

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Also die Musterlösung hatte ich gepoasted weil das ja eigentlich die Referenz darauf war die Klausuraufgabe zu verstehen. Ich habe die Lösung so übernommen wie sie damals im Tutorium besprochen und angeschrieben wurde, das sie falsch ist tut mir leid, deshalb vertehe ich die Musterlösung vermutlich auch nicht. Mein Gedanke war zuerst die Musterlösung zu verstehen und dann das gelernte auf die Klausuraufgabe anzuwenden, ich wollte natürlich nicht für Verwirrung sorgen.

Es gab auch einen schreibfehler, der 2.Vektor lmada2 ist (0/-1/-3) und nicht (0/-1/3)
Was ich jetzt nachdem nachrechnen verstanden habe ist die wirre wahl der Variablen der Musterlösung, lamda 1-4 stehen eigentlich für landa 1-2 und mu 1-2... ich habe beim nachrechnen nun lamda 1, a genannt und den rest in alphabetischer folge, wenn ich dann das gleichungssystem auflöse komme ich auch auf das ergebnis a=b=c=d.
Gleichungssystem:
2a = -3c + 5d
5a -b = c + 3d
9a -3b =6c

wenn man a=b=c=d einsetzt, und alles für a umstellt so bekommt man:
2a=2a
4a=4a
6a=6a
wenn man a davor sezt hat man den vektor a(2/4/6) was in der Musterlösung ja die basis darstellt, aber warum ist das die basis von U geschnitten W?

zu deinen fragen 1) und 2) weiß ich leider keine Antwort, ich kann mir nichts unter der Schnittmenge zweier Vektoren vorstellen, vielleicht ist das auch das eigentliche Problem hier.

Wenn ich jetzt aus den Vektoren der Untervektorräume der Klausur aufstelle dann sieht das so aus:
a +ta +b = d
b = c + d
-a = -c + d
a +b = tc +d
man bekommt heraus, dass a=b=c und d=0 gilt, wenn man das ganze nach a umgestellt kommt heraus:
(t+2)a = 0
a=a
-a=-a
2a=ta
was weiter aufgelöst zu
t=-2
a=a
-a=-a
t=2
wird, also würde ich daraus schließen das für t =2 und t = -2 die Vereinigung von U geschnitten W ungleich 0 ist. Wenn das so weit richtig ist, fage ich mich wie die Basis dazu aussieht?
Ist es (-2/1/-1/2)?

12.09.2012, 18:10

Helferlein

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Zitat:

Original von Monstapuppe
... hat man den vektor a(2/4/6) was in der Musterlösung ja die basis darstellt, aber warum ist das die basis von U geschnitten W?

Nein, das ist keine Basis der Schnittmenge, sondern das ist die Schnittmenge (wie Du ja selber nachgerechnet hast). Eine Basis wäre beispielsweise der Vektor (2/4/6). Die Sache mit der Dimensionsformel kannst Du Dir sparen, denn die Umformungen können ja auch wieder rückgängig gemacht werden, so dass Du keine Implikation, sondern Äquivalenz vorliegen hast.

Zitat:

Original von Monstapuppe
zu deinen fragen 1) und 2) weiß ich leider keine Antwort, ich kann mir nichts unter der Schnittmenge zweier Vektoren vorstellen, vielleicht ist das auch das eigentliche Problem hier.

Wenn Du in der Aufgabe eine Schnittmenge von zwei Vektoren siehst, erklärt es wieso Du auf keinen grünen Zweig kommst. Zum einen haben wir jeweils zwei Vektoren, also insgesamt vier, zum anderen stellen die beiden nur eine Basis der Vektorräume U und V dar. Der Schnitt der beiden Vektorräume wird in den seltensten Fällen mit der Schnittmenge der beiden Basen zu tun haben. Du musst schon das Erzeugnis betrachten (Was Du ja durch die Rechnung, die Du aufgeschrieben hast, auch richtig durchführst !)

Zitat:

Original von Monstapuppe
man bekommt heraus, dass a=b=c und d=0 gilt

Das kann ich nicht bestätigen. Zumindest nicht für alle t.

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