"Verschobene" Integrale mittels FS lösen...

12.09.2012, 06:31	endless	Auf diesen Beitrag antworten »
"Verschobene" Integrale mittels FS lösen... Heyho, ich habe bei Schwingungslehre häufig Aufgaben, bei denen ich die partikuläre Lösung einer DGL mittels Faltungsintegral löse $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t}~ f(\tau)\cdot g(t-\tau)~d\tau \end{eqnarray}$ Häufig ist f(t) eine lineare oder harmonische Funktion und die Gewichtsfunktion g(t) ist oft die homogene Lösung einer Schwingungs-DGL, hat also meist die Form $\begin{eqnarray} g(t) = e^{-\delta\cdot t}(A\cdot sin(wt)+B\cdot cos(wt)) \end{eqnarray}$ Es ergeben sich damit also häufig Intergale à la $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t}~\tau\cdot (A\cdot sin(w(t-\tau)) ~d\tau \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t}~\tau\cdot e^{-\delta\cdot (t-\tau)}(A\cdot sin(w(t-\tau)) ~d\tau \end{eqnarray}$ Klar, man könnte nun partielle Integration anwenden... Aber da wir eine FS verwenden dürfen, möchte ich gerne die Integrale daraus verwenden. Problem: Die Integrale sind für die Form $\begin{eqnarray} \int~x\cdot sin(ax) ~dx \end{eqnarray}$ gegeben. Substitution mit $\begin{eqnarray} x=t-\tau \end{eqnarray}$ bringt mich leider nicht weiter, weil ich damit nicht das alleinstehende $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ vor der Klammer substituieren kann... Gibt es hier irgendeine andere Lösung, um die Integrale aus der Formelsammlung anwenden zu können, trotz verschobenem Argument im sinus, cosinus bzw. der Exponentialfunktion? Danke! Edit: Mir fällt gerade auf: $\begin{eqnarray} x=t-\tau \end{eqnarray}$ bedeutet auch $\begin{eqnarray} \tau=t-x \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} \int~(t-x)\cdot e^{-\delta\cdot x}(A\cdot sin(wx) ~dx=t\cdot \int~e^{-\delta\cdot x}(A\cdot sin(wx) ~dx+\int~x\cdot e^{-\delta\cdot x}(A\cdot sin(wx) ~dx \end{eqnarray}$ wobei sich beide Integrale aus der FS ergeben... Aber ist recht aufwändig, da man darüber halt zwei Integralterme erhält. Geht das auch einfacher?

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