Für welche x ist die Reihe konvergent?

12.09.2012, 11:50

nerd18000

Für welche x ist die Reihe konvergent?

Meine Frage:
Hallo mb community,

Hoffentlich könnt ihr mir bei folgenden Problem weiterhelfen. Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(-1\right)^{n} \binom{4n}{2n} \frac{x^{2n+1} }{n} \end{eqnarray*}$ konvergent??

Meine Ideen:
...also eigentlich hab ichs ja fast:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } | =|\left(-1\right)x\frac{n\left(4n+1\right)\left(4n+2\right)\left(4n+3\right)\left(4n+4\right) }{\left(n+1\right) \left(2n+1\right)^{2}\left(2n+2\right)^{2} } | \rightarrow | 16x^{2} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right) \end{eqnarray*}$ absolut kon.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \vee x > \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ div.

...aber wie finde ich heraus, wie sich die Reihe in den Punkten 1/4 und -1/4 verhält?

Danke für eure Hilfe!

12.09.2012, 14:27

SinaniS

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RE: Für welche x ist die Reihe konvergent?
Also erstmal sieht man, dass die Reihe genau dann fuer x= 1/4 konvergiert, wenn sie auch fuer -1/4 konvergiert, denn
$\begin{eqnarray*} \sum _{n=1} ^ \infty (-1)^n \begin{pmatrix} 4n \\ 2n \end{pmatrix} \frac{(-x)^{2n+1}}{n} = \sum _{n=1} ^ \infty (-1)^n \begin{pmatrix} 4n \\ 2n \end{pmatrix} \frac{(-1) ^ {2n+1} \cdot x^{2n+1}}{n} = - \sum _{n=1} ^ \infty (-1)^n \begin{pmatrix} 4n \\ 2n \end{pmatrix} \frac{x^{2n+1}}{n}<br /> \end{eqnarray*}$

Hast du es schon mit dem Leibniz-Kriterium versucht?

12.09.2012, 14:35

klarsoweit

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RE: Für welche x ist die Reihe konvergent?

Zitat:

Original von nerd18000
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } | =|\left(-1\right)x\frac{n\left(4n+1\right)\left(4n+2\right)\left(4n+3\right)\left(4n+4\right) }{\left(n+1\right) \left(2n+1\right)^{2}\left(2n+2\right)^{2} } | \rightarrow | 16x^{2} | \end{eqnarray*}$

Hier muß es wohl $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } | =|\left(-1\right)x^2 \frac{n\left(4n+1\right)\left(4n+2\right)\left(4n+3\right)\left(4n+4\right) }{\left(n+1\right) \left(2n+1\right)^{2}\left(2n+2\right)^{2} } | \rightarrow | 16x^{2}| \end{eqnarray*}$ heißen.

12.09.2012, 19:58

Mork vom Ork

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RE: Für welche x ist die Reihe konvergent?
Es ist

$\begin{eqnarray*} \binom{4n}{2n}\cdot\frac 1{4^{2n}}=\prod_{k=1}^{2n}\frac{2n+k}{4k}<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Du kannst also mit Leibniz folgern wenn Du noch die Monotonie ins Spiel bringst.

14.09.2012, 10:14

nerd18000

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Hallo,

@SinaniS: Das ist mir schon mal eine große Hilfe.
@klarsoweit: Auf meinen Zettel stehts auch so. Muss beim eintippen abhanden gekommen sein ;-) .
@Mork vom Ork: Ich hab es jetz so gelöst:

$\begin{eqnarray*} \binom{4n}{2n}\cdot\frac 1{4^{2n+1}}=\frac 1{4^{2n+1}}\prod_{k=1}^{2n}\frac{2n+k}{k}=\frac 1{4^{2n+1}n!}\prod_{k=1}^{2n}2n+k<1\Rightarrow \prod_{k=1}^{2n}2n+k<4^{2n+1}n! \end{eqnarray*}$

und dass habe ich dann mit induktion nachgewiesen (Hier nur der Induktionsschritt):

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{2n}2n+2+k=\prod_{k=3}^{2n+2}2n+k=\frac{\left(4n+1\right) \left(4n+2\right) }{\left(2n+1\right) \left(2n+2\right) } \prod_{k=1}^{2n}2n+k<\frac{8+\frac{6}{n} +\frac{1}{n^{2} } }{4+\frac{3}{n} +\frac{1}{n^{2} } } 4^{2n+1}n!\leq \frac{15}{4} 4^{2n+1}n!\leq 4^{2n+3} \left(n+1 \right)! \end{eqnarray*}$

Danke für eure Hilfe!

14.09.2012, 10:21

nerd18000

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ahhh, hab gerade den Fehler endeckt. Beim IS geht das Produkt ja bis 2n+2. Auf einen neuen Versuch... :-(

14.09.2012, 10:43

nerd18000

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...außerdem müsste bei $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{2n}2n+k<4^{2n+1}n! \end{eqnarray*}$ eigentlich: $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{2n}2n+k<4^{2n+1}(2n)! \end{eqnarray*}$ heißen unglücklich

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