Cauchy Integral Formel

12.09.2012, 14:08

Matheversteher

Cauchy Integral Formel

Hallo

ich sitze an folgender Aufgabe:

Berechne $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{1}{1+z^2} \, dz \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ die durch
a.) $\begin{eqnarray*} |z-i|=1 \end{eqnarray*}$
b.) $\begin{eqnarray*} |z+i|=1 \end{eqnarray*}$
c.) $\begin{eqnarray*} |z|=2 \end{eqnarray*}$
beschriebenen Kreislinien einmal im positivien Umlaufsinn durchläuft.

Zu Beginn möchte ich nur auf Aufgabe a.) eingehen und sie verstehen.
In unserem Script steht, dass ich unter der gegebenen Bedingung $\begin{eqnarray*} f(C) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \! \frac{f(z)}{z-C} \, dz \end{eqnarray*}$ verwende.

Nun stellt sich mir hier die Frage, was ist denn mein f(z) und wie berechne ich es?

C ist der Punkt der Umlaufen wird. Das müsste der Mittelpunkt des Kreises sein, weshalb C = i gilt.

Ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein. Und mir auch erklären wie ich f(z) berechne (da ich zur Zeit für eine FT-Klausur lerne). Vielen Dank! smile

12.09.2012, 14:19

tmo

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Bei a) brauchst du die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{\frac{1}{z+i}}{z-i} \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 15:22

Matheversteher

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Hallo tmo, schön dass du mir hilfst. Ich möchte die Umformung aber nicht unbedingt so hinnehmen. Meine Frage ist hier, Wie komme ich auf die Umformung? denn ich könnte doch auch $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{1}{1+z^2} \, dz = \int_\gamma \! \frac{1}{(1+z)(-1+z)} \, dz \end{eqnarray*}$ setzen oder nicht?

Edit: Wobe ich habe es jetzt, glaube ich verwirrt

da C= i ist, folgt $\begin{eqnarray*} \frac{f(z)}{z-C} =\frac{f(z)}{z-i} \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{f(z)}{z-i} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{\frac{1}{z+i}}{z-i} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke das sollte es gewesen sein. Stimmt das so?

12.09.2012, 15:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheversteher
oder nicht?

"Oder nicht" trifft zu: Es ist $\begin{eqnarray*} (1+z)(-1+z) = -1+z^2 \neq 1+z^2 \end{eqnarray*}$ , was nun wirklich nicht hinnehmbar ist, ganz im Gegensatz zu dem von dir merkwürdigerweise abgelehnten, aber völlig richtigen

$\begin{eqnarray*} (z-i)(z+i) = z^2-i^2= z^2+1 \end{eqnarray*}$ .

12.09.2012, 17:09

Matheversteher

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Zitat:

Original von HAL 9000
"Oder nicht" trifft zu: Es ist $\begin{eqnarray*} (1+z)(-1+z) = -1+z^2 \neq 1+z^2 \end{eqnarray*}$ , was nun wirklich nicht hinnehmbar ist, ganz im Gegensatz zu dem von dir merkwürdigerweise abgelehnten, aber völlig richtigen $\begin{eqnarray*} (z-i)(z+i) = z^2-i^2= z^2+1 \end{eqnarray*}$ .

uhhh.... ich gehe mich schämen Hammer

Danke dir! smile

12.09.2012, 17:12

Che Netzer

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RE: Cauchy Integral Formel
Übrigens:

Zitat:

Original von Matheversteher
C ist der Punkt der Umlaufen wird. Das müsste der Mittelpunkt des Kreises sein, weshalb C = i gilt.

$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist irgendein Punkt der umlaufen wird und muss nicht der Mittelpunkt sein (hier ist er es aber natürlich).

12.09.2012, 19:31

Matheversteher

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So die Aufgaben a) und b) habe ich mittlerweile gelöst. Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ .

Nun sitze ich vor Aufgabe c.) Und Weis nicht was ich nun machen muss.
Habe es wie bei a und b versucht.

Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} f(C) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \! \frac{f(z)}{z-C} \, dz \end{eqnarray*}$

C=0 somit $\begin{eqnarray*} \frac {f(z)}{z-0}=\frac{1}{z^2+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow f(z) = \frac {z}{z^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Also mit: $\begin{eqnarray*} f(C) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \! \frac{f(z)}{z-C} \, dz \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \! \frac{1}{1+z^2} \, dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 0 = \int_\gamma \! \frac{1}{1+z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch jetzt nicht richtig oder? verwirrt

Liegen bei i und -i eigentlich (hebbare) Definitionslücken vor? Denn wenn ich $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{1}{(i+z)(-i+z)} \, dz \end{eqnarray*}$ schreibe, dann wäre der Ausdruck an den beschriebenen Stellen nicht definiert.

Was kann ich denn alternativ machen um diesem Problem aus dem weg zu gehen?

12.09.2012, 19:36

tmo

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Da die Cauchy-Integralformel noch keine Informationen enthält, was passiert, wenn mehrere Singularitäten umlaufen werden, solltest du bei der c) mal eine Partialbruchzerlegung in Angriff nehmen.

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{A}{z+i} + \frac{B}{z-i} \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du das Integral auseinanderziehen und wegen a) und b) ist das Integral bei der c) dann: $\begin{eqnarray*} B\pi-A\pi \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 20:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von tmo
Dann kannst du das Integral auseinanderziehen und wegen a) und b) ist das Integral bei der c) dann: $\begin{eqnarray*} B\pi-A\pi \end{eqnarray*}$

Eher $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i(A+B) \end{eqnarray*}$ , oder irre ich mich da?

12.09.2012, 22:05

tmo

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Ja, natürlich.

Ich hatte irgendwie im Kopf, dass bei der a und b) die Integrale über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z\pm i} \end{eqnarray*}$ berechnet wurden. Aber das ist ja gar nicht so.

12.09.2012, 22:10

Matheversteher

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Bin mir jetzt nicht sicher pb ich die PBZ richtig gemacht habe. Deswegen psote ich mal alle Schritte.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{A}{z+i} + \frac{B}{z-i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 1 = A(z-i)+B(z+i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 1 = z(A+B) + i(B-A) \end{eqnarray*}$

somit:
$\begin{eqnarray*} i(B-A) = 1 = -i^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A+B = 0 \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} A = -B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = -\frac{i^2}{2i} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} = \frac{\frac{i}{2}}{z+i} + \frac{-\frac{i}{2}}{z-i} \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{\frac{i}{2}}{z+i} \, dz + \int_\gamma \! \frac{-\frac{i}{2}}{z-i} \, dz \end{eqnarray*}$

ab hier müsste es dann analog zu Aufgabe a.) und b.) weiter gehen. Ich hoffe das kann mir jemand bestätigen. bin mir bei der PBZ recht unsicher.

17.09.2012, 18:46

Matheversteher

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So... mittlerweile habe ich hin und her gerechnet aber ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung verwirrt

Was sind denn hier
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{\frac{i}{2}}{z+i} \, dz + \int_\gamma \! \frac{-\frac{i}{2}}{z-i} \, dz \end{eqnarray*}$

meine Punkte die Umlaufen werden? Ich habe hier 2 Integrale, die wie ein Halbkreis aussehen, jeweils eins über und unter der Reellenachse. Da sie optisch gleich groß erscheinen, sollte als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \pi - \pi = 0 \end{eqnarray*}$ herauskommen (zumindest steht das in der Musterlösung so). Allerdings habe ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \pi i^2 - \pi i^2 \end{eqnarray*}$

Ich betrachte zuerst das Integral $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{\frac{i}{2}}{z+i} \, dz \end{eqnarray*}$ .
Hier stellt sich mein erstes Problem. Was ist denn mein $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ?
Mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(z)}{z-C} = \frac{1}{i+z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C = -i \end{eqnarray*}$ (hier liegt eine der Singularitäten) habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{f(z)}{z+i} = \frac{\frac{i}{2}}{i+z} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$ .

für das erste Integral folgt:
$\begin{eqnarray*} f(i)=2\pi i \int_\gamma \! \frac{\frac{i}{2}}{z+i} \, dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \frac{i}{2}= 2\pi i \int_\gamma \! \frac{\frac{i}{2}}{z+i} \, dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \pi i^2 = \int_\gamma \! \frac{\frac{i}{2}}{z+i} \, dz \end{eqnarray*}$

Aber ist das jetzt so richtig? verwirrt

Ich hoffe ihr könnt mir da noch einmal helfen. Besten Dank euch smile

17.09.2012, 19:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von Matheversteher
Da sie optisch gleich groß erscheinen, sollte als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \pi - \pi = 0 \end{eqnarray*}$ herauskommen (zumindest steht das in der Musterlösung so). Allerdings habe ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \pi i^2 - \pi i^2 \end{eqnarray*}$

Was wiederum nicht Null ist?

Deine Lösung ist komplett richtig, du hast die Integrale einfach in einer anderen Reihenfolge addiert als in der Musterlösung.

Nur das mit dem "optisch gleich groß" und den Halbkreisen kann ich nicht ganz nachvollziehen.

17.09.2012, 19:16

Matheversteher

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Mit "optisch gleich groß" meinte ich, wenn ich sie skizzenhaft zeichne.

Ich war nur etwas verwirrt, weil in der Musterlösung für beide Teilintegrale $\begin{eqnarray*} \pm \pi \end{eqnarray*}$ rauskommt. Ich hingegen habe noch $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ mit dabei. Somit habe ich überlegt, ob in $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ richtig ist

Aber vielen Dank für deine Bestätigung smile

Edit: Ich vergas wieder einmal: $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ . Immer wieder... Hammer

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