Metrik

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steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik
Hi, ich habe folgende Aufgabe;

Sie \R mit dem üblichen eukliduschen Abstand als Metrik versehen. Sind folgende Teilmengen offen, abgeschlossen oder weder noch:

a) A =

b)

c)

d)

Meine Ideen:

a) sage ich mal ist weder offen noch abgeschlossen, da es zu b hin offen ist aber auf der Grenze zu a geschlossen.

b) Ist offen da ich immer eine Umgebung \epsilon > 0 finden kann um a herum

c)Sollte doch offen sein, da es zwar gegen 0 konvertiert, aber ich kann doch immer wieder 2 Zahlen finden die in der Umgebung liegen oder?

d)Ist das nicht das selbe wie a), also weder geschlossen noch offen

Könnte mir das bitte jemand verbessern

Danke
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik
Hallo,

sollt ihr eure Aussage dann auch beweisen?

a) stimmt, das ist weder offen noch abgeschlossen. Wobei eigentlich noch die Angabe fehlt.

b) stimmt nicht. Du kannst zwar eine offene Kugel um legen, aber ist die bei positivem Radius auch in enthalten?

c) Stimmt, auch wenn ich deine Begründung mit den zwei Zahlen nicht nachvollziehen kann. Hattet ihr vielleicht schon eine Aussage über Vereinigungen offener Mengen?
Und was konvergiert denn hier gegen Null?

d) Stimmt nicht, der rechte Rand ist diesmal ja keine reelle Zahl.

mfg,
Ché Netzer
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik
zu:

b) hmm verstehe ich nicht ganz, würde das gleichbedeutent sein mit [b]?

c) die vereinigung offener Mengen ist wieder offen, soviel ich weis. Konvergenz gegen null dachte ich da ich ja immer größere n einsetzen kann, aber egal wie klein ich werde ich finde doch immer wieder eine Umgebnung

d) wie verhält es sich dann bei unendlichkeit, dies ist doch eingentlich nur eine "große Zahl oder?

Danke
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik
b) Was meinst mit "[b]"? Ein Intervall der Länge Null? Ja, dann wäre .

c) Ja, beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen. Und da hier versäumt wurde, anzugeben, nutzen wir das auch voll aus; und zwar für überabzählbare Vereinigungen Augenzwinkern

d) Nein, es gibt ja keine Zahl, die größer als Unendlich ist. Und Unendlich selbst ist auch keine Zahl.
Insofern ist .
Vielleicht hilft das zum Verständnis, d.h. wenn man weglässt.

Und nochmal gefragt:
Sollst du die Aussagen beweisen oder nur "wahr/falsch ankreuzen"?
Wenn du sie beweisen sollst, müsstest du a) auch nochmals überarbeiten.
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

nein ich soll nur angeben ob offen, geschlossen oder "weder noch"

aber habe ich das überhaupt richtig verstanden:

Wenn ich zu meinem ein epsilon > 0 finde. Sollte nun eine wetere Zahl zwischen meinem x und dem epsilon befinden, so gilt es als offen?

und zu a)

ist nicht offen, denn es gibt kein element aus dem intervall [a,b[ links von a. Ebenfalls ist es auf der rechten Seite nicht geschlossen.

zb ich wähle b=3.

dann wähle ich beispielsweiße 2,9 dann würde es immer noch eine Zahl geben die dazwischen liegt. Nämlich 2.99

Also weder offen noch geschlossen

Ist das so richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz stimmt das mit dem Epsilon noch nicht.
Du musst zwar zu einem aus der zu untersuchenden Menge ein Epsilon finden, sodass ALLE Zahlen, die einen Abstand kleiner Epsilon zu haben, in der Menge liegen:
bzw. .
DANN ist offen.

Das zu a) ist auch nicht richtig.
Dass es kein Element in der Menge links von gibt, ist zwar ein Grund dafür, dass die Menge nicht offen ist; schön formuliert ist es aber nicht.
Besser: In jeder -Umgebung von liegt z.B. , was nicht in der Menge enthalten ist.
Das auf der rechten Seite ist allerdings keine gute Argumentation. Konkrete Zahlen solltest du auch nicht einsetzen...

Habt ihr vielleicht schon Kriterien über Folgen zur Offenheit/Abgeschlossenheit gehabt?
 
 
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
.


genauso hatte ich es gemeint, nur konnte es nicht fomulieren.

zur rechten Seite

ich weis nicht wie ich zeigen soll dass es offen ist, wenn es ja schon auf der linken seite geschlossen ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es zwei Wege:
1. Wenn offen wäre, müsste es eine Umgebung um geben, die in enthalten wäre (haben wir mit schon widerlegt).
Wenn abgeschlossen wäre, wäre das Komplement offen, also . Analog zu widerlegen.

2. Wie bereits gefragt: Habt ihr schon die Kriterien mit Folgen besprochen? Damit könnte man die Abgeschlossenheit von schnell widerlegen.
Steffe2361 Auf diesen Beitrag antworten »

1) ok, hab ich verstanden

2) Nein, haben wir noch nicht besprochen

Danke dir smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann mal kurz die Folgenabgeschlossenheit, wenn es interessiert:
Eine Menge (Teilmenge eines topologischen Raumes) ist genau dann abgeschlossen, wenn für konvergente Folgen gilt, dass auch der Grenzwert in liegt.

Jetzt fehlen noch der Beweis zu b) und Teil d).
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

b)

Nach deiner Definition ist . Somit weis ich das endliche Mengen immer abgeschlossen sind

d)Bei d komme ich jetzt nicht ganz mit in deinem 1tem Post steht

Zitat:
d) Stimmt nicht, der rechte Rand ist diesmal ja keine reelle Zahl.


aber im zweiten post soll ich es trotzdem als reele Zahl verwenden

Zitat:
.


Ok die linke seite ist jedenfalls geschlossen, denn es gibt kein element aus dem intervall [a,b[, dass In jeder -Umgebung von liegt

hatten wir ja schon

und die rechte seite, habe ich über das Kompliment versucht:

Also wenn abgeschlossen , dann offen.

Was sagst du dazu?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steffen2361
Nach deiner Definition ist . Somit weis ich das endliche Mengen immer abgeschlossen sind

Wieso sind denn endliche Mengen deswegen abgeschlossen? Die Argumentation würde ich vielleicht über die Offenheit von und führen.

Zitat:
aber im zweiten post soll ich es trotzdem als reele Zahl verwenden

Nein, im zweiten Post habe ich doch gar keine rechte/obere Grenze verwendet verwirrt

Zitat:
Ok die linke seite ist jedenfalls geschlossen, denn es gibt kein element aus dem intervall [a,b[, dass In jeder -Umgebung von liegt

Die Argumentation stimmt nicht ganz. Vielmehr gibt es keine -Umgebung von , die in liegt.

Zitat:
Also wenn abgeschlossen , dann offen.
Was sagst du dazu?

Aber das musst du dann noch zeigen.

Ihr hattet bisher also wirklich nur die Charakterisierung offener Mengen durch die Umgebungen?
Ach ja, benutzt ihr nun eigentlich oder für offene Intervalle?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ihr hattet bisher also wirklich nur die Charakterisierung offener Mengen durch die Umgebungen?

Ja, finde ich auch in meinem Skript nicht anders

Zitat:
Ach ja, benutzt ihr nun eigentlich oder für offene Intervalle?


Wir verwenden beide Notationen, bedeuten doch eh das gleiche oder?

schreibe erst gegen Abend

Danke dir
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, beide Notationen sind gleichwertig, aber ma sollte sich eigentlich auf eine einigen.

Hast du denn in b) verstanden, wieso die Menge abgeschlossen ist? Bzw habt ihr schon allgemeine Aussagen für bzw. ?

Ansonsten würde die d) noch fehlen. Da wolltest du die Abgeschlossenheit wohl über die Offenheit des Komplements zeigen.
Steffe2361 Auf diesen Beitrag antworten »

zu b)
habe den Satz, dass enslcihe mengen stets geschlossen sind, in meinen Skript bzw. steht er auch auf wikipedia siehe (http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge)

darf ich es noch anders probieren, denn das Kompliment war doch und

Beide Mengen bestehen aber doch nur aus Inneren Punkten, somit sind beide offen und das Kompliment geschlossen.

Wenn das auch nicht passt, bitte ich dich es mir zu erklären
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffe2361
zu b)
habe den Satz, dass enslcihe mengen stets geschlossen sind, in meinen Skript bzw. steht er auch auf wikipedia siehe (http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge)

Okay, wenn es in deinem Skript steht, ist alles in Ordnung.

Zitat:
darf ich es noch anders probieren, denn das Kompliment war doch und
Beide Mengen bestehen aber doch nur aus Inneren Punkten, somit sind beide offen und das Kompliment geschlossen.

Das müsstest du aber auch noch zeigen; ansonsten stimmt die Argumentation. (es heißt in diesem Kontext übrigens Komplement, nicht Kompliment)
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich schmeiße meine Bemerkung bezüglich der inneren Punkte wieder über den Haufen.

aber zusammengefasst um zu zeigen, dass das Kolpement von offen ist. Sprich ob offen ist.

dazu wähle ich danke deiner hilfe .

ok dazuwähle ich ein und setze mein muss aber größer 0 sein.

Wenn ich nun meine Kugel mit Mittelpunkt hernehme und Radius so ist dieser doch nichts anderes als und dieser ist doch eindeutig in meiner Umgebung . Und somit gilt doch, das dieser offen ist oder?

Danke für deine Nerven
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung, was du da machen möchtest.
Was meinst du überhaupt mit ?
Und wieso benutzt soll das Komplement von denn sein?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

nein ich meinte das Komplement von d)

Das Komplement von ist doch
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt wieder. Aber innerhalb einer einzelnen Menge solltest du dich schon für eine Klammervariante entscheiden.

Dann ist .
Jetzt brauchst du zu einem eine offene Umgebung in .
Das geht ähnlich wie von die angefangen, das müsste aber ohne definiert werden.
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ok aber wie kann ich das machen, wenn meine Linke Seite mit vom -Unendlich wegreicht?

Ich darf ja mein x nicht infach durch ersetzen

Also:



Unendlich ist ja keine Zahl, hattest du mir ja schon erklärt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst du überhaupt irgendeine linke Grenze mit einbeziehen?
Du brauchst hier kein Minimum.
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich ich komme einfach nicht mit

ich darf dann praktisch alles zwischen wählen also zum beispiel auch



verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für wäre dieses negativ.

Wie gesagt: Du hast ein (von mir aus mit eckigen Klammern) und sollst eine -Umgebung innerhalb dieser Menge bestimmen.
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Naja, für wäre dieses negativ.


Das darf nicht sein weil per Definition gelten muss oder hat das noch anderer Gründe?

ok dann könnte ich doch einfach meine Menge aus Beispiel c nehmen

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das denn werden? Epsilon ist doch kein Intervall und Intervalle sind auch wohl kaum positiv.

Wie groß kann denn eine Kugel um maximal sein, wenn sie noch in liegen soll?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Maximal so groß wie das Intervall selbst oder?

Also bis maximal a
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Wie groß ist also der Radius der Kugel um , wenn sie gerade so berühren soll?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

das kann ich ja so nicht sagen, da ich immer verschiedene nehmen kann oder?

Oder ist der dann einfach
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Eine offene Kugel mit diesem Radius ist immer in enthalten.
Alternativ könntest du auch schreiben oder dergleichen.

Edit:
Was hast du denn jetzt abschließend als Eigenschaften für die Mengen?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was hast du denn jetzt abschließend als Eigenschaften für die Mengen?


Was meinst du genau damit ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie deine Ergebnisse lauten.
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

a) weder offen noch abgeschlossen

b) abgeschlossen

c) offen

d) geschlossen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das stimmt.

Die Argumentationen solltest du aber vielleicht noch üben.
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