Erwartungswert und Varianz

12.09.2012, 16:41

WHK12

Erwartungswert und Varianz

Hey, ich habe eine Aufgabe bei der ich den Erwartungswert und die Varianz berechnen soll.

Ein Versuch mit Ergebnisraum $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ 0,1\right\} \end{eqnarray*}$
(0 bedeutet Niete, 1 Treffer) und
Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,1 wird 10 mal unabhängig wiederholt. Sei $\begin{eqnarray*} T : \Omega^{10} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable, welche die Anzahl der Treffer angibt. Berechnen Sie den Erwartungswert E(T) und die Varianz V(T).

Rechnung

Also der Erwartungswert ist ja ziemlich leicht.
$\begin{eqnarray*} E(T) = \frac{1}{10} * \left(1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1\right) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} * 10 = 1 \end{eqnarray*}$

so jetzt würde ich ja normalerweise für die Varianz mit der Formel: $\begin{eqnarray*} V(T) = E(T^{2}) - E(T)^{2} \end{eqnarray*}$
0 rausbekommen. aber in einer vorgegebenen Lösung steht nun die Formel $\begin{eqnarray*} V(T) = 10*p * (1-p) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 10*\frac{1}{10} * (1- \frac{1}{10}) = \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

wie kommt man auf diese Formel der Varianz? kann man sich das irgendwie herleiten? bzw tritt diese formel nun in kraft wenn der Erwartungswert 1 ist?

12.09.2012, 16:56

Math1986

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RE: Erwartungswert und Varianz
Dein Erwartungswert stimmt nicht. Laut deiner Rechnung wäre das ja unabhängig von der Trefferwahrscheinlichkeit p. Der Erwartungswert ist im Allgemeinen eben nicht Eins.

Überleg dir mal, welche Verteilung hier vorliegt, für diese gibt es spezielle Formeln für Erwartungswert und Varianz, dadurch kommst du auch auf die in der Lösung gegebene Formel.

Nachtrag: Wie kommst du auf

Zitat:

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} * 10 = 1 \end{eqnarray*}$

Das geht schonmal in die richtige Richtung, nur dass hier eben eine Trefferwahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

12.09.2012, 17:11

WHK12

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RE: Erwartungswert und Varianz

Zitat:

Original von Math1986
Dein Erwartungswert stimmt nicht. Laut deiner Rechnung wäre das ja unabhängig von der Trefferwahrscheinlichkeit p. Der Erwartungswert ist im Allgemeinen eben nicht Eins.

Überleg dir mal, welche Verteilung hier vorliegt, für diese gibt es spezielle Formeln für Erwartungswert und Varianz, dadurch kommst du auch auf die in der Lösung gegebene Formel.

ok hast recht ich habe mit gleichverteilung gerechnet, da habe ich gar nicht drauf geachtet, was für eine verteilung ist das genau? ich habe bis jetzt immer nur den erwartungswert und die varianz von gleichverteilungen berechnet

Zitat:

Original von Math1986
Nachtrag: Wie kommst du auf

Zitat:

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} * 10 = 1 \end{eqnarray*}$

Das geht schonmal in die richtige Richtung, nur dass hier eben eine Trefferwahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

ja also wie oben bereits angegeben habe ich einfach die formel für den erwartungswert von gleichverteilungen genommen, also die 1+1+....+1 in der klammer zusammen gerechnet da kommt dann 10 raus also 10*p = 1 so steht es auch in der Lösung, ich dachte das stimmt dann so.

12.09.2012, 17:49

Math1986

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RE: Erwartungswert und Varianz
Was wir hier vorliegen haben ist eine Binomialverteilung, bitte informiere dich über deren Erwartungswert bzw. Varianz.

12.09.2012, 17:53

WHK12

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gut danke

den rest werde ich mir jetzt selbst erarbeiten

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