Mengenbeweis

02.02.2007, 23:53

MrMilk

Mengenbeweis

Hallo,

eigentlich ist es mir zu peinlich dieses zu schreiben, aber ich bin der festen überzeugung, dass ich es übersehen habe, deswegen wäre ich sehr dankbar, wenn jemand kurz gucken könnte ob dieser eigentlich doch sonst recht einfache Beweis so stimmt.

gegeben: Es seinen A und B Mengen sowie N $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A und M $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A Teilmengen von A. Sei $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} f(M \cup N) = f(M) \cup f(N) \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$
Angenommen $\begin{eqnarray*} y \in f(M \cup N) \end{eqnarray*}$ so muss es ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ oder ein $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in f(N) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \cup f(N) \end{eqnarray*}$ . Das heißt $\begin{eqnarray*} f(M \cup N) \subseteq f(M) \cup f(N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$
Angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \cup f(N) \end{eqnarray*}$ , was bedeutet es muss ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ geben,
mit $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in f(N) \end{eqnarray*}$ .
Das bedeutet $\begin{eqnarray*} y \in f(M \cup N) \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} f(M) \cup f(N) \subseteq f(M \cup N) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, das die Mengen gleich sein müssen, da bei de Richtungen erfüllt sind.

Kann das so stimmen?

Viele Grüße
-- MrMilk

03.02.2007, 00:02

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

03.02.2007, 00:02

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengenbeweis

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$
Angenommen $\begin{eqnarray*} y \in f(M \cup N) \end{eqnarray*}$ so muss es ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ oder ein $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in f(N) \end{eqnarray*}$ .

Kleine Formalität: ...ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ oder ein $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$
Angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \cup f(N) \end{eqnarray*}$ , was bedeutet es muss ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ geben, mit $\begin{eqnarray*} y \in f(M) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in f(N) \end{eqnarray*}$

s.o.

Sonst passt es soweit.

03.02.2007, 11:37

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

Viele Grüße
-- MrMilk

Neue Frage »

Antworten »

Mengenbeweis

Verwandte Themen