Funktion auf Messbarkeit prüfen

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12.09.2012, 19:25

steviehawk

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Funktion auf Messbarkeit prüfen

Meine Frage:
Hallo Leute,

wie prüft man denn allgemein, ob eine Funktion messbar ist??

Meine Ideen:
Danke!

12.09.2012, 19:28

Math1986

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RE: Funktion auf Messbarkeit prüfen
Indem du die Definition überprüfst! Wie ist denn eine messabre Funktion definiert?

13.09.2012, 07:35

steviehawk

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RE: Funktion auf Messbarkeit prüfen
Zur Def.:

Sein $\begin{eqnarray*} (X,M) \end{eqnarray*}$ ein Messraum. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to \overline{ \mathbb R} \end{eqnarray*}$ heißt messbar, falls für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ x \in X | f(x) > t\right\} \in M \end{eqnarray*}$

So M ist ja meine $\begin{eqnarray*} \sigma - Algebra \end{eqnarray*}$

Also Muss ich jetzt testen, ob das Komplement von A auch in der Sigma - Algebra liegt??

Das wäre die Menge $\begin{eqnarray*} A^c = \left\{ x \in X | f(x) \leq t\right\} \end{eqnarray*}$

stimmts?

13.09.2012, 10:56

Math1986

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RE: Funktion auf Messbarkeit prüfen

Zitat:

Original von steviehawk

Also Muss ich jetzt testen, ob das Komplement von A auch in der Sigma - Algebra liegt??

Das wäre die Menge $\begin{eqnarray*} A^c = \left\{ x \in X | f(x) \leq t\right\} \end{eqnarray*}$

stimmts?

Das wäre äquivalent zur Definition.

13.09.2012, 15:15

steviehawk

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RE: Funktion auf Messbarkeit prüfen
mhh also ich weiß immer noch nicht, wie ich das jetzt prüfen soll!!

13.09.2012, 15:59

HAL 9000

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In dem Fall musst du konkreter werden: Welche Funktion betrachtest du, auf welchem Messraum?

Wenn es z.B. um die Borel-Messbarkeit einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ geht, da gibt es ja diverse hinreichende Kriterien, die den überwiegenden Teil aller Anwendungsfälle bereits abdecken: Z.B. sind alle stückweise stetigen Funktionen Borelmessbar usw.

15.09.2012, 21:49

steviehawk

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Sei $\begin{eqnarray*} (X,M) \end{eqnarray*}$ ein Messraum. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to \overline{ \mathbb R} \end{eqnarray*}$ heißt messbar, falls für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ x \in X | f(x) > t\right\} \in M \end{eqnarray*}$ (***)

was in (***) beschrieben wird, ist doch im Grunde die Aussage, dass das Urbild von f offen ist oder?

Und offene Menge, werden wieder auf offene Menge abgebildet von messbaren Funktionen oder?

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