Reihe Konvergenzradius

03.02.2007, 00:14

AFFRO.diether

Reihe Konvergenzradius

Hallo

Aufgabe aus mathe klausur lautet:

Für welche x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^\infty~(\frac{4^{\frac{1}{4}}}{(k-4)!}) \cdot (\frac{x}{4}+4)^{k-4} \end{eqnarray*}$ ?

ich habe schon k-4 durch c substituiert, doch wenn ich dann das Quotientenkriterium anwende, dann erhalte ich als Radius auch unendlich.

Oder hab ich mich irgendwo vertan?

Vielen Dank schon mal im Voraus

03.02.2007, 00:17

tigerbine

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RE: Reihe Konvergenzradius
Warum steht das in der Numerik?

*verschoben

04.02.2007, 00:02

AFFRO.diether

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Huhu, ich bräuchte mal einen kleinen HInweis!

In meiner Formelsammlung bei den Kriterien steht Ak(x-xo)^n

zur bestimmung der konvergenz brauch ich ja das Ak, also wie forme ich $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{4}+4) \end{eqnarray*}$ um???

04.02.2007, 00:23

tigerbine

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Vielleicht schreibst Du die Formel erst mal sauber hin Augenzwinkern

Bruch: \frac{}{}

Mal \cdot

Indez _{}

Potenz ^{}

Kannst ja deine Eintrage mal bitte editieren!

04.02.2007, 16:30

AFFRO.diether

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done

04.02.2007, 20:26

AFFRO.diether

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hallo, ist hier noch jemand anders??

04.02.2007, 20:47

tigerbine

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Sorry, wenn ich dich schon wieder mit Layout nerve. Vielleicht solltest du noch den Ak Eintrag mit Latex schreiben und zu welchem Kriterium es gehört.

Vielleicht kann dir dann auch jemand helfen. smile

04.02.2007, 21:17

Calvin

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RE: Reihe Konvergenzradius

Zitat:

Original von AFFRO.diether
ich habe schon k-4 durch c substituiert, doch wenn ich dann das Quotientenkriterium anwende, dann erhalte ich als Radius auch unendlich.

Oder hab ich mich irgendwo vertan?

Nein, du hast dich nicht vertan. Dass eine Reihe für alle x konvergiert, ist grundsätzlich möglich.

Die Taylorreihe für $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist z.B. $\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k \end{eqnarray*}$ und konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Deine Reihe nach der Indexverschiebung ist also $\begin{eqnarray*} \sum_{c=0}^{\infty}\frac{4^{\frac{1}{4}}}{c!}\left(\frac{x}{4}+4\right)^c=4^{\frac{1}{4}}e^{\frac{x}{4}+4} \end{eqnarray*}$

EDIT

Zur Begründung: nimm $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{4^{\frac{1}{4}}}{k!}\left(\frac{x}{4}+4\right)^k \end{eqnarray*}$

Deine Reihe konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\leq q<1 \end{eqnarray*}$ Du wirst sehen, dass diese Ungleichung für jedes feste x erfüllt ist.

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