Numerische Integration (Funktion mit singulärem Punkt)

12.09.2012, 22:58

GleichungsPeter

Numerische Integration (Funktion mit singulärem Punkt)

Meine Frage:
Die folgende Funktion soll numerisch Integriert werden:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = \frac{1}{x} <br /> \end{eqnarray*}$

im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ .

Dabei soll die Gauß-Quadratur verwendet werden.
Weiters soll das Ergebnis der numerischen Integration dem Ergebnis der analytischen Integration gegenübergestellt werden.

Die Gauß-Quaddratur soll für eine verschiedene Anzahl von Stützstellen durchgeführt werden.

Meine Ideen:
Generell ist klar um was es bei der Aufgabenstellung geht - und das berechnen der Stützstellen bzw. der Gewichte ist auch kein Problem.

Ein großes Problem bereitet mir jedoch die Stelle x=0, da die Funktion dort eine Singularität aufweiset.

Wie gehe ich damit um?

Mein Idee ist einfach, das Integralgebiet von $\begin{eqnarray*} \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ in zwei Teilgebiete $\begin{eqnarray*} \left[-1,-\varepsilon\right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[\varepsilon,1\right] \end{eqnarray*}$ aufzuteilen und dann jeweils in den beiden Gebieten das Integral auszuwerten und die Lösungen zu addieren. $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ würde ich z.B. mit 1e-10 annahmen.

Ist diese Idee richtig?

30.09.2012, 17:18

wogir

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RE: Numerische Integration (Funktion mit singulärem Punkt)

Zitat:

Original von GleichungsPeter
Ein großes Problem bereitet mir jedoch die Stelle x=0, da die Funktion dort eine Singularität aufweiset.

Wie gehe ich damit um?

Denke, das kommt etwas auf die Problemstellung an. An und für sich ist das Integral nicht definiert, als "Workaround" böte sich http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert an.

Zitat:

Original von GleichungsPeter
Mein Idee ist einfach, das Integralgebiet von $\begin{eqnarray*} \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ in zwei Teilgebiete $\begin{eqnarray*} \left[-1,-\varepsilon\right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[\varepsilon,1\right] \end{eqnarray*}$ aufzuteilen und dann jeweils in den beiden Gebieten das Integral auszuwerten und die Lösungen zu addieren. $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ würde ich z.B. mit 1e-10 annahmen.

Ist diese Idee richtig?

Das entspricht in etwa dem Hauptwert.

Greets

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