Kubikgleichung lösen

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fermare Auf diesen Beitrag antworten »
Kubikgleichung lösen
Wie löse ich folgende Gleichung nach b =
0=a^3-12a^2b+6ab^2-b^3

verwirrt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubikgleichung lösen
Mit der Cardanischen Formel.

Viele Grüße
Steffen
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer geeigneten Substitution wird es allerdings zu einer sehr sehr einfachen kubischen Gleichung: Nämlich einer ohne quadratisches und lineares Glied, d.h. einfach durch Kubikwurzel lösbar. Augenzwinkern
fermare Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubikgleichung lösen
Wow Die ist ja gar nicht so leicht zu versteh diese Cardanische Formel.
verwirrt verwirrt
Und das reine einsetzen bringt´s irgend wie nicht.
Wie kommt man bei
x^3+ax^2+bx+c
auf die Substitution
x=z-a/3
Wenn ich allerdings richtig einsetze?
so erhalte ich
z^3+pz+q=0
verzeihung der gleichen Variablen wegen
p=12a^2-(-6a)^2/3
q=2*(-6a)^3/27-(-6a*12a^2)/3-a^3

z^3+(12a^2-36a^2/3)z -432a^3/27+72a^3/3-a^3
z^3+7a^3=0
z=3.Wurzel (-7)*a
setze ich das wieder oben ein
x=3.Wurzel(-7)*a+2a
also wenn a=n niemals eine ganze Zahl

Hab ich da richtig gerechnet.
Da braucht man keine Auflösung der Reduzierten Form, weil sich diese selbst auflöst oder?
Verstehe die Substitution einfach nicht. Wie kommt man da drauf???
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubikgleichung lösen
Zitat:
Original von fermare
Verstehe die Substitution einfach nicht. Wie kommt man da drauf???

Auch wenn ich diese Frage ansonsten ziemlich hasse, hier ist sie sehr einfach zu beantworten:

Diese Substitution, die ja nur eine Verschiebung ist, wird so konstruiert, dass das quadratischen Glied in der kubischen Gleichung verschwindet: Das geschieht via

,

lineares und konstantes Glied sind dann natürlich noch anzupassen.


Wie ich oben schon angedeutet habe, wird das im vorliegenden Fall aber dann so einfach, dass auch das lineare Glied verschwindet und so die eigentliche Anwendung der Cardanischen Formeln gar nicht nötig wird. Das oben könnte man auch kurz zusammenfassen zu



und damit als einzige reelle Lösung.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubikgleichung lösen
Augenzwinkern Zunächst einmal herzlichen Dank für die Lösung, auch wenn sie mir nur begrenzt weiter hilft.
Bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich es richtig verstanden habe.
Also wenn ich zum Beispiel folgende Gleichung habe
b^3 - 3(n+1)ab^2 + 3(n+1)a^2b - a^3=0
wäre dann die Substitution
(b-a(n+1))^3 + (n^2+2n)a^3
b=(n+1+3.Wurzel(n^2+2n))a
oder müsste es nicht bei
3(n+1)a^2b ......3(n+1)^2a^2b heissen?
Blicke noch nicht durch, hab da einen Knoten im Hirn, auch wenn ich ungefähr begriffen habe worum es geht. Man versucht eine normale Kubikgleichung dadurch herzustellen, dass man etwas addiert, und gleich wieder abzieht, oder .
verwirrt verwirrt verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frag jetzt nicht, wieso du diese fragwürdige Analogie ziehst:

Zitat:
Original von fermare
b^3 - 3(n+1)ab^2 + 3(n+1)a^2b - a^3=0
wäre dann die Substitution
(b-a(n+1))^3 + (n^2+2n)a^3

Rechne nach (also ausmultiplizieren), dann siehst du jedenfalls, dass das nicht stimmt.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Dank dir
Uff is lange her, hab mich wohl etwas vertan
Ist die Substitution so richtig?
Das würde dann heißen
b^3-3anb^2-3ab^2+3a^2n^2b+3a^2b-a^3
b^3 - 3ab^2(n+1) + 3a^2n^2b + 6a^2nb - 6a^2nb + 3a^2b - a^3 - a^3n^3 - 3n^2a^3 - 3na^3 + a^3n^3 + 3n^2a^3 + 3na^3
(b-a(n+1))^3 - 6na^2b + a^3n(n^2+3n+3)

Und wie mach ich dann weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na im allgemeinen Fall werden dir die Cardanischen Formeln letztendlich nicht erspart bleiben. Ich wiederhole es zum dritten Mal: Oben hattest du Glück gehabt, dass das lineare Glied nach der "Quadratisches-Glied-Entfern-Substitution" auch gleich mit weggefallen war - i.a. (und im besonderen bei deiner jetzigen Gleichung) ist das eben nicht der Fall.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das dachte ich mir schon, aber stimmt die Substitution so. Kann es leider nicht anders kontrollieren, da es keine Aufgabe aus einem Buch ist, sondern eine selbst erdachte, die ich gerne errechnen möchte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also du kannst mich hier nicht als algebraische Rechenmaschine missbrauchen. Besorg dir irgendein CAS - da gibt es auch kostenlose - und lass es von dem nachrechnen.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Ups
Ich hab alles noch einmal nachgerechnet, da mir diese Ausgangsrechnung zu unrund vor kam und komme auf eine ganz andere Ausgangsgleichung
b^3 - 3b^2a(n+1) + 3a^2b(n+1)^2 - a^3
Verzeihung
Ist eigentlich nur eine Erweiterung um a(n+1) statt 2a
Die Substitution wäre dann
b^3 - 3b^2a(n+1) + 3a^2b(n+1)^2 - a^3 - 3a^2n - 3an^2 - n^3 +3a^2n + 3an^2 + n^3

Das ergäbe dann
(b - a(n+1))^3 - 3a^2n -3an^2 - n^3
oder? habe ich mich da mit den Vorzeichen vertan?
Uff da brauche ich die Cardanische Formel dann doch nicht, oder?
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Verzeih!!
Du bist schnell
Wusste nicht, dass es so etwas gibt.
Werde mich gleich einmal schlau machen, was den eigentlich ein CAS ist
Tut mir echt Leid, wenn ich zu viel von Dir verlangt habe. War nicht meine Absicht.
Bin auch wieder ruhig, wenn ich diese selbst gestellte Aufgabe gelöst habe.
Mach ich aus reinem Interesse am Ergebnis, welches mich brennend interessiert.
Danke auf jeden Fall für die Hilfe bis hierher.
Hab wieder ein wenig dazu lernen dürfen.
Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du so viele exzessive Termrechnungen machst, ist das eh eine gute Idee, dir ein CAS zu besorgen - und sei es nur zur Kontrolle.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Uiiii , da gibt´s ja jede Menge solcher Programme
Was muss denn das können um solche Gleichungen lösen zu können?
Kannst und darfst Du da eines empfehlen?
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

So viele werde ich nicht mehr machen. Ich glaube nach dieser ist wieder Schluss für Jahre, bis meine Kinder in der Schule so weit sind. Aber diese eine interessiert mich brennend.
Kannst Du mir noch dies eine Mal helfen zur Lösung zu kommen?
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