Normäquivalenzsatz

13.09.2012, 11:47	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
Normäquivalenzsatz Meine Frage: Hallo zusammen, irgendwie verstehe ich nicht so ganz die Aussage des Normäquivalenzsatzes oder es leuchtet mir nicht ein!!! Satz: Sind $\begin{eqnarray} \| \|\cdot \| \|,\| \|\cdot \| \|' \end{eqnarray}$ zwei Normen auf $\begin{eqnarray} K ^n \end{eqnarray}$ , dann gibt es Zahlen $\begin{eqnarray} 0<a\leq b \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} x\in K ^n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a\cdot \| \|x \| \|\leq \| \|x \| \|'\leq b\cdot \| \|x \| \| \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Soll das heißen, dass wenn ich einen Vektor x aus K^n nehme und erst z.b. die euklidische Norm auf ihn anwende; und wenn ich auf diesen Vektor x jetzt eine andere Norm, z.B. die Maximumsnorm anwende, so sind die Ergebnisse gleich???!! Irgendwie leuchtet mir das nicht ein, weil ich nur Gegnbeispiele finde!? Kann mir jemand zu diesem Satz eventuell ein Beispiel geben?? Vielen vielen Dank schonmal, kmac
13.09.2012, 11:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenzsatz Hallo, nein, die Normen sind nicht gleich, aber sie lassen sich nach oben und unten durch die jeweils andere Norm abschätzen. An deinem Beispiel gilt $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert_\infty\leq\lVert x\rVert_2\leq\sqrt n\lVert x\rVert_\infty\,. \end{eqnarray}$ D.h. für jedes $\begin{eqnarray} x\in\mathbb K^n \end{eqnarray}$ kann man die Norm $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert_2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \sqrt n\lVert x\rVert_\infty \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen. Für $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ muss dabei keine Gleichheit gelten. Vielmehr gibt $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert_\infty \end{eqnarray}$ einen Bereich an, in dem sich $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert_2 \end{eqnarray}$ aufhalten kann. mfg, Ché Netzer
13.09.2012, 12:00	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist, dass du zu zwei Normen auf $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ immer zwei Konstanten $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ finden kannst, so dass die eine Norm nach oben wie nach unten durch die andere Norm, multipliziert mit der zugehörigen Konstanten, beschränkt wird. Beispiel: Wir betrachten auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ die Normen: $\begin{eqnarray} \|\|(x,y)\|\|_2 := \sqrt(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \|\|(x,y)\|\|_\infty := max(\|x\|,\|y\|) \end{eqnarray}$ . Bestimme hierzu einmal Konstanten $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} a \cdot \|\|(x,y)\|\|_\infty \le \|\|(x,y)\|\|_2 \le b \cdot \|\|(x,y)\|\|_\infty \end{eqnarray}$ edit: Da war jemand schneller
13.09.2012, 12:45	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, danke euch beiden! besser doppelt, dann sitzt es besser Aber trotzdem ist mir noch folgendes unklar: Sind a, b aus R (bzw. wo kommt a und b her)??? a, b > 0 sollen so gewählt werden, dass die Ungleichheit/Gleichheit gilt: $\begin{eqnarray} a \cdot \|\|(x,y)\|\|_\infty \le \|\|(x,y)\|\|_2 \le b \cdot \|\|(x,y)\|\|_\infty \end{eqnarray}$ . Aber dann kann ich doch z.b. b bel. groß wählen? oder ist die Idee dahinter, dass man b so wählt, dass das Produk $\begin{eqnarray} b \cdot \|\|(x,y)\|\|_\infty \end{eqnarray}$ möglichst nahe an $\begin{eqnarray} \|\|(x,y)\|\|_2 \ \end{eqnarray}$ liegt? Danke, kmac
13.09.2012, 13:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ sind reelle Parameter. Wichtig ist auch, dass beide (insbesondere $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ) echt positiv sind. Und dass sie endlich sind, d.h. $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ kann zwar beliebig groß gewählt werden, aber es existiert trotzdem eine obere Schranke durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Und ja, man kann $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ auch gerne immer weiter vergrößern, aber natürlich möchte man meist eine scharfe Ungleichung haben. Die von mir angegebene ist scharf, man könnte aber auch $\begin{eqnarray} \tfrac1{1000}\lVert x\rVert_\infty\leq\lVert y\rVert_2\leq50^{n!}\lVert x\rVert_\infty \end{eqnarray}$ schreiben. In der Definition der Äquivalenz kommt es aber nur darauf an, dass es solche Konstanten gibt. Man kann genauso gut $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 20 \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen, dadurch kann man trotzdem zeigen, dass die Menge nach oben beschränkt ist. In beiden Fällen kann man dann für die Anwendung noch versuchen, diese Konstanten etwas besser anzupassen, muss man aber nicht. In manchen Fällen kann eine ungenaue Konstante sogar vorteilhaft sein, weil es sich damit besser rechnen lässt. Du kannst dir die Äquivalenz von Normen auch so vorstellen: Seien $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_2 \end{eqnarray}$ zwei Normen auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} M=\{x\in V:\lVert x\rVert_1=1\} \end{eqnarray}$ . Dann sind die beiden Normen genau dann äquivalent, wenn $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_2 \end{eqnarray}$ nach oben und unten durch positive Zahlen beschränkt ist. Die Konstanten $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ können dann genau dieselben sein. Vielleicht ist dir die Beschränktheit von Mengen aber etwas vertrauter.
13.09.2012, 13:22	Kmac	Auf diesen Beitrag antworten »
Super erklärt! Danke!
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