orthogonales komplement und projektion

13.09.2012, 12:00

torbenmathe27

orthogonales komplement und projektion

Meine Frage:
Seien r,s?R. Für U:={x ? R^{4}; rx_{1}+x_{2}+x_{3}=0=sx_{2}+x_{4}} berechne man das orthogonale Komplement U^\perp bezüglich des Standard-skalarproduktes auf R^{4} und gebe die orthogonale Projektior \pi_{U} auf U und ihre Matrix M(\pi_{U}) bezüglich der Standard-Basis von R^{4} an. Unter welchen Voraussetzungen an r,s gilt die Beziehung R^{4}=U\oplusU^\perp(direkte Summe)?.Welche Dimension haben U und U^\perp?

Meine Ideen:
Mein Problem besteht darin U^\perp zu berechnen. Da bei U eine Gleichung als Bedingung steht und nicht nur ein Vektor. Wäre für ein bisschen Nachhilfe sehr dankbar!

13.09.2012, 12:09

Grouser

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Dann versuche doch einmal, eine Basis für den Untervektorraum anzugeben Augenzwinkern

13.09.2012, 13:31

torbenmathe27

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also ich habe jetzt gerechnet:

rx1+x2+x3=0 und sx2+x4=0 gleichgesetzt: rx1+x2+x3=sx2+x4 dann folgt: rx1+x2-sx2+x3-x4=0.

das ist ja da es ein homogenes Gleichungssystem ist der Kern einer Matrix A, die wie folgt aussieht: A=(r 1-s 1 -1). jetzt kann man ja anhand eines Satzes der besagt, dass dimKern(A)+Rang(A)=Anzahl der Spalten von A die Dimension des Kerns herausfinden umzu gucken wie viele Basisvektoren es gibt. Da der Rang(A)=1 ist und die #Spalten=4 folgt dass dimKern(A)=3 ist.

Zur berechnung der Basisvektoren habe ich dann A in NZSF gebracht also Z1/r es folgt
A in NZSF = (1 1-s/r 1/r -1/r). Damit ist der Kern(A)=[(-1-sx2/r - x3/r + x4/r , x2 , x3 , x4), x2,x3,x4 aus R]. Dann habe ich erst x2=1, x3=0, x4=0 um den ersten Basisvektor zu bekommen: b1=(-1-s/r, 1, 0, 0) und für b2=(-1/r, 0, 1, 0) und b3=(1/r, 0, 0, 1).
Dann habe ich das Skalarprodukt der Basisvektoren mit einem weiteren beliebigen vektor gebildet:
b1*v=v1*(-1-s/r)+v2=0 b2*v=(-1/r)*v1+v3=0 b3=(1/r)*v1+v4=0

Jetzt halte ich v1=1 fest und es ergibt sich v2=1-s/r v3=1/r und v4=-1/r da es aber für beliebige v aus R gelten soll folgt insgesamt für das orthogonale Komplement U'=[v aus R^4; (v1, v2-s/r, v3/r, -v4/r)]

Ist das alles so richtig oder alles kompletter Mist? würde das gerne wissen bevor ich weiterrechne.

13.09.2012, 15:01

SinaniS

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Zitat:

Original von torbenmathe27
also ich habe jetzt gerechnet:

rx1+x2+x3=0 und sx2+x4=0 gleichgesetzt: rx1+x2+x3=sx2+x4 dann folgt: rx1+x2-sx2+x3-x4=0.

Dadurch verlierst du die Information, dass auch rx1+x2+x3=0 gilt.
Besser ist es, die Matrix sofort aufzustellen:
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} r & 1 & 1 & 0 \\ 0 & s & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier kann man jetzt so weitermachen wie du es vorgeschlagen hast, also den Kern ausrechnen.. Etwas Vorsicht ist geboten: Fuer ein bestimmtes r ist die Matrix A noch nicht auf Zeilenstufenform!

Noch ein Denkanstoss fuer eine etwas elegantere Loesung: Man kann ein Erzeugendensystem des orthogonalen Komplements direkt an den beiden Gleichungen ablesen. Angenommen, v=(a,b,c,d) ist im orth. Komplement, und w=(x1,x2,x3,x4) liegt in U, dann ist ja v*w = ax1 + bx2 + c x3 + dx4 = 0. Und man weiss ja, da w aus U ist, dass rx1+x2+x3=0 und sx2+x4=0. Wie koennte das hier weiterhelfen?

13.09.2012, 16:50

torbenmathe27

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Ohh da hast du recht dankeschön smile

Ich hab das jetzt nochmal versucht:

Also mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} r & 1 & 1 & 0 \\ 0 & s & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
folgt meiner meinung nach nach Zeilenumformung eine Matrix in NZSF die so aussieht : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/r & -1/rs \\ 0 & 1 & 0 & 1/s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit für den $\begin{eqnarray*} Kern(A)=[\begin{pmatrix} -x3/r + x4/rs \\ -x4/s \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ x3,x4 aus R]

Dann hab ich als Basis von U $\begin{eqnarray*} b1=\begin{pmatrix} -1/r \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b2=\begin{pmatrix} 1/rs \\ -1/s \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist das bis dahin richtig?

Dann hab ich für $\begin{eqnarray*} U^\perp = [v aus R^{4}; \begin{pmatrix} v1 \\ v2 \\ v1/r \\ -v1/rs + v2/s \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$
Deinen Tipp kannst du ruhig noch weiter ausführen Big Laugh

hab den noch nicht ganz durchblickt wenn ich ehrlich bin.

13.09.2012, 19:22

SinaniS

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Wenn du A auf diese Form bringen möchtest, muss man natürlich davon ausgehen, dass r und s von 0 verschieden sind. Ansonsten ist die Berechnung des Kerns und der Basis korrekt. Das orthogonale Komplement ist so auch richtig smile

Fehlen also nur noch die Fälle r=0 oder s=0

Was ich mit dem Ablesen aus den Gleichungen meinte:
Ist v=(x1,x2,x3,x4) aus U, so gilt ja rx1 + x2 + x3=0 und sx2+x4=0. Setzt man also w=(r,1,1,0) (Koeffizienten aus der ersten Gleichung) und bildet das Skalarproduk v*w, so kommt was heraus? Und was bedeutet das?
Und aus der zweiten Gleichung erhält man u=(0,s,0,1).
Dann muss man sich nur kurz überlegen, warum wir mit den beiden Vektoren u,w ein Erzeugendensystem des orthogonalen Komplements von U erhalten, welches hier wegen der offensichtlichen linearen Unabhängigkeit von w und u sogar eine Basis ist.

13.09.2012, 21:14

torbenmathe27

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ahhh okay so meintest du das! Dankeschön! das erleichtert natürlich auch das weiterrechnen smile

14.09.2012, 11:18

torbenmathe27

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Sooo ich hab jetzt deine beiden Vektoren u und w als Basis von U genommen und bekomme dann für $\begin{eqnarray*} U^\perp=[v aus R^{4}; \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -rv_1-v_2 \\ -sv_2 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt will ich ja auch noch die Orthogonale Projektion von U bekommen.
Also brauch ich meiner meinung nach am besten eine Orthogonal oder orthonormal Basis von U. Mit u und w als Basis ist das ja leider nicht der Fall. Kannst du mir da noch einmal weiterhelfen smile

14.09.2012, 11:28

SinaniS

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Wie bist du jetzt auf diesen VR gekommen? u und w bilden keine Basis von U, sondern von dem orthogonalen Komplement von U. Und wenn wir das Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \left \{ \begin{pmatrix} r\\1\\1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ s \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right \} \end{eqnarray*}$ haben, so ist
$\begin{eqnarray*} U^\perp = \left \{a\cdot \begin{pmatrix} r\\1\\1\\0\end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ s \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, a,b \in \mathbb{R} \right \} = \left \{ \begin{pmatrix} ar\\a+bs\\a\\b\end{pmatrix}, a,b \in \mathbb{R}\right \} \end{eqnarray*}$

Um eine Basis in eine Orthonormalbasis umzuformen, kann man das Verfahren von Gram-Schmidt benutzen: Gram Schmidt

14.09.2012, 14:00

torbenmathe27

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Ahh ja okay hast recht, ich hatte das vorher so verstanden mit u und w als basis von U aber das geht natürlich nicht. Ich hab jetzt als Basis von U $\begin{eqnarray*} b1=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b2=\begin{pmatrix} 1 \\ -r \\ 0 \\ rs \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . So jetzt wende ich Gram-Schmidt auf die beiden vektoren an. Das heißt b1 bleibt so und b2 wird zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{r^{2}}{1+r^{2}} \\ -r \\ \frac{r}{1+r^{2}} \\ rs \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das hab ich dann noch vereinfacht zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{r}{1+r^{2}} \\ -1 \\ \frac{1}{1+r^{2}} \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich die beiden Vektoren also b1 und das abgeänderte b2 in die Formel für die Orthogonale Projektion schmeiße dann kommt da bei mir nur ein unendliches zahlen und variablen wirrwarr raus mit dem ich nichts anfangen kann... und ich glaub die aufgabe ist auch nicht darauf ausgelegt so schwere und komplizierte ausdrücke rauszubekommen zumal man ja auch noch Die Matrix zu der orthogonalen Projektion angeben soll in bezug auf die Standardbasis.

14.09.2012, 14:44

SinaniS

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Die Basis ist richtig, zwar nicht orthonormal, aber orthogonal. Ich habe mal per Hand - also ohne irgendeine Formel - die Projektion des ersten EInheitsvektors auf U berechnet, und folgendes Ergebnis bekommen:
$\begin{eqnarray*} \pi _U(\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} ) = \frac{1}{r^2s^2+s^2+r^2+2}\begin{pmatrix} s^2+2\\ -r \\ -rs^2-r \\ rs \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schoen ist das nicht, aber richtig: Setzt man den Vektor in die Gleichungen ein, die U beschreiben, so kommt jeweils 0 raus. Ausserdem ist
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^2s^2+s^2+r^2+2}\begin{pmatrix} s^2+2\\ -r \\ -rs^2-r \\ rs \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in U^\perp \end{eqnarray*}$ . Um das zu zeigen habe ich das Skalarprodukt dieses Vektors mit den beiden Basisvektoren von U gebildet, und es war jeweils 0.

Das Ergebnis ist also richtig.

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