Gleichmäßige Stetigkeit vs. Stetigkeit

13.09.2012, 15:35	Student92	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit vs. Stetigkeit Meine Frage: Hallo alle zusammen! Ich habe mal eine kurze Verständnisfrage.. Und zwar geht es um die Unterschiede der stetigkeit und gleichmäßigen Stetigkeit. Die Stetigkeit hat ja die folgende Notation: f:A->[latex]\mathbb R [\latex], stetig in [latex]x_0[\latex] genau dann, wenn: [latex]\forall \ \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in A : \|x-x_0\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon[\latex] Und gleichmäßige Stetigkeit: [latex]\forall \ \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in A , \forall x_0\in A: \|x-x_0\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon[\latex] Habe hier ein paar Verständnisprobleme und hoffe auf eure Hilfe. Meine Ideen: Ich habe gleichmäßige Stetigkeit so verstanden, dass [latex]\delta[\latex] dann nicht mehr von x abhängig ist, als ein sogenanntes "universelles" [latex]\delta[\latex] ist. Daher steht das x auch am Schluss und nicht vor dem [latex]\delta[\latex]. Aber wieso kann man dann Stetogkeit ebenso definieren? Also wir hatten auch oftmals noch die Definition mit dem x vor dem [latex]\delta[\latex], aber eben auch die oben genannte Version. Ich könnte das auch noch verstehen, wenn A dann kompakt wäre, da es dann ja immer ein universelles [latex]\delta[\latex] gibt, aber das war nicht vorausgesetzt. Und später im [latex]\mathbb R ^n[\latex] hieß es dann, dass das [latex]\delta[\latex] unabhängig von [latex]x_0[\latex] sein muss und nicht von x, damit es glem stetig ist. Könnte mir vielleicht jemand sagen, wann ich was wähle und wieso im [latex]\mathbb R ^n[\latex] nicht mehr x betrachtet wird?
13.09.2012, 15:39	Student92	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung, da ist was schief gegangen.. Hier nochmal: Meine Frage: Ich habe mal eine kurze Verständnisfrage.. Und zwar geht es um die Unterschiede der stetigkeit und gleichmäßigen Stetigkeit. Die Stetigkeit hat ja die folgende Notation: f:A-> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ genau dann, wenn: $\begin{eqnarray} \forall \ \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in A : \|x-x_0\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ Und gleichmäßige Stetigkeit: $\begin{eqnarray} \forall \ \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in A , \forall x_0\in A: \|x-x_0\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ Habe hier ein paar Verständnisprobleme und hoffe auf eure Hilfe. Meine Ideen: Ich habe gleichmäßige Stetigkeit so verstanden, dass $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ dann nicht mehr von x abhängig ist, als ein sogenanntes "universelles" $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist. Daher steht das x auch am Schluss und nicht vor dem $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ . Aber wieso kann man dann Stetogkeit ebenso definieren? Also wir hatten auch oftmals noch die Definition mit dem x vor dem $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , aber eben auch die oben genannte Version. Ich könnte das auch noch verstehen, wenn A dann kompakt wäre, da es dann ja immer ein universelles $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ gibt, aber das war nicht vorausgesetzt. Und später im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n[\latex] hieß es dann, dass das [latex]\delta \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ sein muss und nicht von x, damit es glem stetig ist. Könnte mir vielleicht jemand sagen, wann ich was wähle und wieso im [latex]\mathbb R ^n[\latex] nicht mehr x betrachtet wird?
13.09.2012, 15:41	Student92	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung, da ist was schief gegangen.. Hier nochmal: Meine Frage: Ich habe mal eine kurze Verständnisfrage.. Und zwar geht es um die Unterschiede der stetigkeit und gleichmäßigen Stetigkeit. Die Stetigkeit hat ja die folgende Notation: f:A-> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ genau dann, wenn: $\begin{eqnarray} \forall \ \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in A : \|x-x_0\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ Und gleichmäßige Stetigkeit: $\begin{eqnarray} \forall \ \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in A , \forall x_0\in A: \|x-x_0\|< \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ Habe hier ein paar Verständnisprobleme und hoffe auf eure Hilfe. Meine Ideen: Ich habe gleichmäßige Stetigkeit so verstanden, dass $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ dann nicht mehr von x abhängig ist, als ein sogenanntes "universelles" $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist. Daher steht das x auch am Schluss und nicht vor dem $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ . Aber wieso kann man dann Stetogkeit ebenso definieren? Also wir hatten auch oftmals noch die Definition mit dem x vor dem $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , aber eben auch die oben genannte Version. Ich könnte das auch noch verstehen, wenn A dann kompakt wäre, da es dann ja immer ein universelles $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ gibt, aber das war nicht vorausgesetzt. Und später im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ hieß es dann, dass das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ sein muss und nicht von x, damit es glem stetig ist. Könnte mir vielleicht jemand sagen, wann ich was wähle und wieso im [latex]\mathbb R ^n[\latex] nicht mehr x betrachtet wird?
13.09.2012, 18:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, anfangs wäre vielleicht die anschauliche Version ganz gut: Stetigkeit in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ : Alle Werte mit genügend kleinem Abstand zu $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ werden auf Funktionswerte mit entsprechend kleinem Abstand zu $\begin{eqnarray} f(x_0) \end{eqnarray}$ abgebildet. Gleichmäßige Stetigkeit: Haben zwei Werte genügend kleinen Abstand zueinander, so haben auch ihre Funktionswerte entsprechend kleinen Abstand zueinander. Dann zur Stetigkeit: Hier betrachtet man ein festes $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und ein vorgegebenes $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Damit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, muss es ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ geben, sodass die von dir genannte Implikation gilt. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist es genauso, nur dass $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gewählt werden muss bzw. davor. Wenn du eine Reihenfolge haben möchtest: Stetigkeit: 1. Betrachte ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . 2. Es sei ein (beliebig kleines) $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ vorgegeben. 3. Wähle ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ . (das ist jetzt abhängig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ) 4. Wähle ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Hierfür muss die Implikation gelten. gleichmäßige Stetigkeit: 1. Es sei ein (beliebig kleines) $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ vorgegeben. 2. Wähle ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ . (das ist jetzt abhängig von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ) 3. Wähle beliebige $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Hierfür muss die Implikation gelten. Vielleicht hilft es dir auch, wenn du $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ aus der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit durch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ersetzt. Wenn ich deine Interpretation richtig verstanden habe, dürfte sie stimmen: Bei glechmäßiger Stetigkeit muss das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ universell sein. Es ist dann unabhängig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ; bei der Stetigkeit war es abhängig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Und im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist es eigentlich genauso. mfg, Ché Netzer
13.09.2012, 22:37	Student92	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank! Das hat mir echt geholfen! Noch einen schönen Abend! Gruß, Student92

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