Logarithmieren von e-Funktionen und deren Nullstellensuche

13.09.2012, 17:35

furi0us

Logarithmieren von e-Funktionen und deren Nullstellensuche

Hallo,
da mir kein besserer Titel eingefallen ist, lest euch einfach folgendes durch um meine Problematik zu verstehen.

Ich habe folgendes unbestimmtes Integral zu integrieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{0} e^{2\,x}-e^{x}\cdot(1+e)+e \end{eqnarray*}$

Ich soll das Flächenstück berechnen, das die Funktion mit der x-Achse einschließt. Durch ausprobieren habe ich gesehn, dass eine Nullstelle bei x=0 ist. Ich habe allerdings keinen Ansatz, die zweite Nullstelle zu finden, oder den Term passend umzuformen. Hat jemand gute Ansätze für mich? ich wüsste nicht, wie die jeweiligen e's logarithmieren soll, wenn diese durch ein +-Zeichen getrennt sind.

13.09.2012, 18:03

srolle

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Stichwort: Substitution.

$\begin{eqnarray*} u=e^x \Rightarrow u^2-(1+e)\cdot u+e=0 \end{eqnarray*}$

Wie könnte man jetzt weiterrechnen?

13.09.2012, 22:59

furi0us

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Danke schonmal. Dann denke ich probier ichs morgen mit der Integration durch Substitution auch mal mit $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

14.09.2012, 07:14

furi0us

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So, jetzt muss ich leider vom Threadtitel abweichen und nach der Integration durch Substitution fragen.
Ich habe wie gesagt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 e^{2\,x}-e^{x}\cdot(1+e)+e\dd x \end{eqnarray*}$

Durch die vielen + und - Operatoren kann ich schön aufteilen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 e^{2\,x} \dd x-\int_{0}^1 e^{x} \dd x+\int_{0}^1 e^{x+1 } \dd x+\int_{0}^1 e \dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt will ich ja e^x weghaben. Ich nehme t = e^x .
Ich habe jetzt die Gleichung, bei der ich nicht weiterkomme.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dd x}=e^{x} \end{eqnarray*}$

Ich hab keinen Schimmer, wie ich nach dx auflöse und das x weglassen kann. Wenn die Integrale mit 1/e^x multipliziert werden würden, wüsste ich nicht, wie ich mit 2 Variablen umgehen soll.

14.09.2012, 08:29

Dopap

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1.) für eine Stammfunktion brauchst du keine Substitution. Alle Summanden sind Grundintegrale.

2.) für die Nullstellensuche brauchst du die Substitution.

anscheinend hast du das schon gelöst , x=0 oder x=1.

wenn du das Integral unbedingt per Substitution lösen willst , dann ist

$\begin{eqnarray*} \rm dx=\frac {dt}{e^x} = \frac {dt} t \end{eqnarray*}$

Die Integralgrenzen sind dann auch noch zu transformieren. Ich sehe keinerlei Vorteil.

14.09.2012, 14:31

furi0us

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Ich konnte e^(x+1) nicht unter den Grundintegralen finden, welche meinst du?

14.09.2012, 14:45

Steffen Bühler

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$\begin{eqnarray*} e^{x+1} = e^x \cdot e^1 = e \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

14.09.2012, 15:17

furi0us

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Ich habe irgendwo einen Fehler drin. Vielleicht findet ihr ihn. Mein Ergebnis stimmt nicht mit dem online errechneten überein.
Ich fange an mit:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 e^{2\,x} \dd x-\int_{0}^1 e^{x} \dd x+\int_{0}^1 e^{x+1 } \dd x+\int_{0}^1 e \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t := e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{t} \end{eqnarray*}$

Grenzen und Terme an die Substitution anpassen und die leichteren schonmal integrieren.

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^e t \dd t + \int_{1}^e e \dd t + [e\cdot x]_{0}^1 - [e^{x}]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Jetzt die nächsten beiden Integrale integrieren und den Rest schonmal ausrechnen

$\begin{eqnarray*} [\frac{t^{2}}{2}]_{1}^e + [e\cdot t]_{1}^e + 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch den Rest ausrechnen, womit ich auf

$\begin{eqnarray*} 1.5\cdot e^{2} + 0.5-3 \end{eqnarray*}$

komme. Und das Ergebnis ist leider nicht -0.476

14.09.2012, 17:06

furi0us

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Diesen Beitrag bitte löschen, weil doch kein Fehler durch dt/t = dx

Zitat:

Nachtrag: 1 Fehler entdeckt, es muss heißen
$\begin{eqnarray*} t^{2} \end{eqnarray*}$
und demzufolge die Integration:

$\begin{eqnarray*} [\frac{t^{3}}{3}]_{1}^e \end{eqnarray*}$

leider wird dadurch das Endergebnis noch falscher und habe rausgekriegt, dass sogar die verbesserte Integration noch falsch sein muss....

14.09.2012, 17:22

furi0us

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Danke für deine Hilfe. Nach dem 3. Anlauf von ganz vorne hab ich meinen Vorzeichenfehler entdeckt. Es ist immer so ärgerlich, wenn man eine Stunde seines Lebens wegen eines Leichtsinnsfehlers vergeudet...

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