Binomische Formel und Quadrate

13.09.2012, 19:54

Yghtja

Binomische Formel und Quadrate

Guten Abend! Wink

Ich habe hier eher ein Verständnisproblem und kein Rechenproblem.
Ich hoffe, dass mir hier trotzdem jemand Licht ins Dunkel bringen kann. Es geht um Folgendes:

Beim Vereinfachen des Terms... $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{p + q} - \sqrt{p-q} \right)^{2} \end{eqnarray*}$

bin ich folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} = \left( \sqrt{p + q} - \sqrt{p - q} \right) \cdot \left( \sqrt{p + q} - \sqrt{p - q} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left(p + q\right) - 2 \sqrt{\left(p + q\right) \cdot \left(p - q\right)} - \left(p - q \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 p - 2 \sqrt{\left(p^{2} - q^{2}\right) } \end{eqnarray*}$

Nun stoppt die vorgegebene Lösung hier und ich habe keinen Schimmer, warum ich jetzt nicht auf die dritte binomische Formel greifen kann, um damit die Wurzel zu lösen und auf einen viel besser reduzierteren Term zu gelangen:

$\begin{eqnarray*} = 2 p - 2 \sqrt{\left(p - q\right)^{2} } = 2 q \end{eqnarray*}$

In dem Zusammenhang ist mir auch dieser "Widerspruch"

$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} = \left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}<br /> a^{2} + b^{2} \neq a^{2} + 2ab + b^{2} \end{eqnarray*}$

eingefallen.
Hat das etwas damit zu tun? Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt.

Wenn jmd helfen kann, dann auch gern mit Lektüre oder anderen Seiten, wenn nicht genügend Zeit zum ausführlichen Erklären da ist.
Eigentlich schäme ich mich etwas, ich habe das Gefühl, sowas müsste ich eigentlich wissen... :/

13.09.2012, 20:09

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formel und Quadrate

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} \color{red}= \color{black} \left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}<br /> a^{2} + b^{2} \neq a^{2} + 2ab + b^{2} \end{eqnarray*}$

Ja, genau das steckt dahinter.

Setze doch mal Zahlen ein und überprüfe:

$\begin{eqnarray*} 3^{2} + 4^{2} \neq \left( 3 + 4 \right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 + 16 \neq 7^2 = 49 \end{eqnarray*}$

PS: Du hast dich hier verschrieben, es muss ein + sein:
$\begin{eqnarray*} = \left(p + q\right) - 2 \sqrt{\left(p + q\right) \cdot \left(p - q\right)} \color{red}+ \color{black} \left(p - q \right) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

13.09.2012, 20:10

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formel und Quadrate
Hi,

es handelt sich hierbei um die zweite binomische Formel.

$\begin{eqnarray*} (a-b)=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (p+q)-2\sqrt{p+q}\sqrt{p-q}+(\sqrt{p-q})^2 \end{eqnarray*}$

Du hast dich bei dem Vorzeichen verhaspelt.

edit: Zu spät... Big Laugh

13.09.2012, 20:21

Yghtja

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis auf den Rechtschreibfehler, korrigiere ich sofort.

Nur leider wird mir das immernoch nicht ganz bewusst...
Darf ich $\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$ überhaupt irgendwann einmal auf diese Art zusammenfassen?
Oder darf ich sie nur so zur Form der Binom.F. , wenn ich dann die Auflösung berücksichtige?

13.09.2012, 20:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yghtja
Nur leider wird mir das immernoch nicht ganz bewusst...
Darf ich $\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$ überhaupt irgendwann einmal auf diese Art zusammenfassen?

Ja, darf man, wenn man in Ringen der Charakteristik 2 rechnet, was hier wohl nicht zuttrifft... Ansonsten stimmt das nur, wenn mindestens eine der Variablen a oder b gleich 0 ist... Augenzwinkern

14.09.2012, 00:56

Yghtja

Auf diesen Beitrag antworten »

Oha... und was sind "Ringe der Charakteristik 2" ?
Kanns sein, dass ich damit in Berührung komme? Denn ich habe vor, mir dieses Tabu nun ein für alle Mal ins Gedächtnis zu brennen Big Laugh

Es kam mir ehrlich gesagt so vor, als hätte ich das schon oft fälschlicherweise zusammengezogen... verwirrt

-----------------------------------------------------------------

btw. Ich schaffe es irgendwie nicht, zu editieren :/ Immer, wenn ichs versuche, kommt diese Meldung:
"Sie können Beiträge nur innerhalb von 15 Minuten, nachdem Sie sie verfasst haben, bearbeiten.Benutzen Sie den Zurück-Button Ihres Browsers oder klicken Sie hier!"

Dabei ists ein paar Stunden her, dass ich hier im Beitrag geschrieben habe.
Wollt nur Bescheid sagen, falls sich jemand wundert.

Danke jedenfalls so far an eure Hilfestellungen Wink

14.09.2012, 09:24

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Ring R der Charakteristik n gilt

$\begin{eqnarray*} nx=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{\text{n mal}}=0 \quad \forall x \in R \end{eqnarray*}$

Ist die Charakteristik daher 2 und ist der Ring außerdem kommutativ, d.h., gilt außerdem

$\begin{eqnarray*} xy=yx \quad\forall x,y \in R \end{eqnarray*}$ ,

so folgt dann daraus tatsächlich

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+ \underbrace{ab+ab}_{=0}=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$
War aber jetzt ohnehin nicht so wirklich ernst gemeint, denn das gehört schon in den Bereich "Hochschulmathematik"... Augenzwinkern

Edit: Was das editieren betrifft, so glaube ich, dass die Zeit, innerhalb der das möglich ist, mit der Anzahl deiner Postings steigt... Zumindestens habe ich dieses Problem nicht, wie man hier sehen kann... Augenzwinkern

18.09.2012, 23:38

Yghtja

Auf diesen Beitrag antworten »

Puh... das ist wirklich noch etwas schwierig zu verstehen für mich.
Ich setz mich da nochmal dran Big Laugh

Meinst du, dass das auf der Wikipedia-Seite zu den Binomischen Formeln unter dem Punkt "Bedeutung und Anwendungen" (http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel) auch so gemeint ist?
Dort wird nämlich als Folgerung aus der ersten und zweiten binomischen Formel diese Termaussage für das Produkt zweier allgemeiner Zahlen so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b = \frac{\left(a + b\right)^{2} - a^{2} - b^{2}}{2} = \frac{ a^{2} + b^{2} - \left(a + b\right) ^{2}}{2} \end{eqnarray*}$

und da sehe ich ja irgendwie, dass $\begin{eqnarray*} \left(a + b\right)^{2} = a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$ ist, obwohl das doch eine nicht zulässige Umformung zu sein scheint?

Kannst du (oder jemand anderes) das mir vielleicht nochmal erklären?
Gruß smile

19.09.2012, 11:54

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, beziehst du dich darauf? verwirrt

Zitat:

Aus den binomischen Formeln leiten sich einige spezielle Formeln ab, die auch für die Zahlentheorie eine gewisse Bedeutung haben:

Babylonische Multiplikationsformel: $\begin{eqnarray*} a\cdot b = ((a+b)^2 - (a-b)^2)/4 \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann steht aber da was anderes... geschockt

19.09.2012, 13:14

Yghtja

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, die meinte ich nicht - ich fand die angesprochene Umformung unter dem Punkt "Bedeutung und Anwendungen", hier verlinkt

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_...und_Anwendungen

.. als 3te, mit Latex oder einem ähnlichen Programm verfasste, Zeile von oben unter der Überschrift aus. Also ist die eigentlich gleich im Blickfeld, wenn man auf den Link klickt.
(Eigentlich wollte ich ja nicht, dass du das erst suchen musst, deshalb habe ich es abgeschrieben.) Ups

Und, tja... Verwechsle ich damit jetzt irgendwas, habe die Umformung falsch verstanden oder irrt Wikipedia (höhö ^^)... ?

19.09.2012, 13:47

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann rechnen wir das hier mal langsam nach...

Zitat:

Original von Yghtja
Dort wird nämlich als Folgerung aus der ersten und zweiten binomischen Formel diese Termaussage für das Produkt zweier allgemeiner Zahlen so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b = \frac{\left(a + b\right)^{2} - a^{2} - b^{2}}{2} = \frac{ a^{2} + b^{2} - \left(a + b\right) ^{2}}{2} \end{eqnarray*}$

und da sehe ich ja irgendwie, dass $\begin{eqnarray*} \left(a + b\right)^{2} = a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$ ist, obwohl das doch eine nicht zulässige Umformung zu sein scheint?

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(a + b\right)^{2} - a^{2} - b^{2}}{2} =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}2=\frac{2ab}2 =ab \end{eqnarray*}$

Die erste Formel stimmt also, jedoch eben nur mit der Substitution

(a+b)²=a²+2ab+b² (*)

Bei der zweiten Formel hast aber dann einen Vorzeichenfehler, es muss heißen

$\begin{eqnarray*} ab=\frac { a^{2} + b^{2} - \left(a - b\right) ^{2}}2 \end{eqnarray*}$

was man dann ähnlich, aber auch wieder mithilfe von (*) nachrechnen kann...

19.09.2012, 23:14

Yghtja

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Dankesehr.

19.09.2012, 23:23

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Biite, gern geschehn.... Wink

Neue Frage »

Antworten »

Binomische Formel und Quadrate

Verwandte Themen