Verschoben! Quadratische Gleichungen

13.09.2012, 20:02

Jator08

Quadratische Gleichungen

Hallo Leute,

in der Schule haben wir gestern mit den Quadratischen Gleichungen begonnen. Die einfachen konnte ich ja lösen, aber bei den komplizierten, also bei dieser q-p-Formel ist es mir zu schwer geworden.

Ein Beispiel von der heutigen Aufgabe:

3x² - 10x + 3 = 0

Mein Ansatz:

Kein Plan.

13.09.2012, 20:04

Cheftheoretiker

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RE: Quadratische Gleichungen
Hi,

um die pq-Formel anwenden zu können, müsstest du noch durch 3 dividieren. smile

Wie sieht die Gleichung dann aus?

13.09.2012, 20:14

Jator08

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Nur durch 3 dividieren?
Also wär das dann x² - 3,33x + 1 = 0
Und dann ?
Unser Lehrer hat uns da so eine komplizierte Formel aufgeschrieben bei der ich mich nicht auskenne.

13.09.2012, 20:50

Cheftheoretiker

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Schreiben wir eher:

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{10}{3}x+1=0 \end{eqnarray*}$

Wie lautet denn nun die pq-Formel? smile

13.09.2012, 21:09

Jator08

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Ja unser Lehrer hat eine komplizierte Formel aufgeschrieben, die ist mir zu kompliziert. Ich weiß ob die qp-Formel heißt.

13.09.2012, 21:23

Cheftheoretiker

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Ja dann schreib sie doch wenigstens mal auf, dann schauen wir weiter. smile

13.09.2012, 21:29

Jator08

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x 1,2 = -b ± Wurzel aus b² - 4ac dividiert durch 2a
Ist das die qp-Formel?

13.09.2012, 21:48

Cheftheoretiker

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Nein,

ich schreibe sie dir mal auf.

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{eqnarray*}$

was ist nun das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und was das $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ?

13.09.2012, 21:54

Calvin

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Nur zur Info an den Threadersteller:

Zitat:

Original von Jator08
x 1,2 = -b ± Wurzel aus b² - 4ac dividiert durch 2a
Ist das die qp-Formel?

Von fehlenden Klammern abgesehen kannst du damit die Aufgabe auch lösen. Du musst nur wissen, was a, b und c in deiner Aufgabe sind.

Diese Formel nennt sich übrigens abc-Formel oder auch Mitternachtsformel.

13.09.2012, 21:54

Jator08

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p=3 und q=10 ?

13.09.2012, 21:57

Cheftheoretiker

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Nein, $\begin{eqnarray*} p=-\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch einsetzen und ausrechnen. Augenzwinkern

13.09.2012, 22:03

Jator08

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Ich verstehs nicht. x1 = -p/2 usw.
Und p soll -10/3 sein?

13.09.2012, 22:09

Jator08

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Achja, unser Lehrer hat uns nur die Mitternachtsformel aufgeschrieben. Im Buch steht dann noch die qp-Formel. Welche ist denn die einfachere?

13.09.2012, 22:14

Cheftheoretiker

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Also ich bevorzuge die pq-Formel. smile

13.09.2012, 22:16

Jator08

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Vielleicht kannst du mal bitte den gesamten Rechenweg aufschreiben. Ich komm mit den Formeln nicht klar.

14.09.2012, 07:18

Calvin

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Bei diesen beiden Formeln muss man erst mal nur stur einsetzen.

Für die abc/Mitternachtsformel gilt:

Eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Für die pq-Formel gilt

Eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Welche der beiden du nimmst, ist vollkommen dir überlassen. Ich empfehle die, die auch im Unterricht verwendet wird.

Der Unterschied liegt darin, dass bei der pq-Formel vor dem x² "nichts" stehen darf. Deshalb ist bei deiner Aufgabe hier notwendig, vorher durch 3 zu teilen.

Also suche dir eine der beiden Varianten aus und setze mal Zahlen ein.

Und jetzt darf hangman wieder weitermachen smile

14.09.2012, 20:37

Jator08

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Vielen Dank!!

Hab es jetzt mit der Mitternachtsformel probiert, die ja auch im Unterricht verwendet wird.

Bei meinem Beispiel
3x² - 10x + 3 = 0

Mein Rechenweg:
a = 3, b = -10, c = 3

x 1, 2 = -10 +- Wurzel aus 100 - 36 / dividiert durch 6

x 1, 2 = -10 + 8 dividiert durch 6

Also wär das -2/6 ?

Sorry dass ich nicht mit dem Formeleditor schreibe, ich find die passenden Zeichen dafür nicht.

14.09.2012, 20:59

Calvin

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Das -b am Anfang hast du nicht richtig eingesetzt. Es ist $\begin{eqnarray*} b=-10 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} -b=-(-10) = +10 \end{eqnarray*}$

Außerdem hast du das +- in der zweiten Zeile zu + gemacht. Da kommen zwei Lösungen raus.

15.09.2012, 19:56

Jator08

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Achso dann ist die erste Lösung 18/6, also 3.
Und wie soll ich die zweite Lösung errechnen?

16.09.2012, 01:45

Calvin

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Die erste Lösung ist richtig. Diese hast du erhalten, weil du vor der Wurzel ein Plus-Zeichen verwendet hast. Die andere erhälst du, wenn du vor der Wurzel ein Minuszeichen nimmst.

Das ist ja genau die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 5\pm 3 \end{eqnarray*}$ ist nur eine abgekürzte Schreibweise für $\begin{eqnarray*} 5+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5-3 \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 20:18

Jator08

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Achso ^^
Dann wär die zweite Lösung also -3 ?

16.09.2012, 22:01

Calvin

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Wie du durch simples Einsetzen prüfen kannst, ist das keine Lösung der Gleichung.

Also: Nicht raten, sondern nochmal konsequent durchrechnen.

17.09.2012, 21:11

Jator08

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Okay, und wo soll ich das +3 einsetzen? In der ersten Rechnung?
Also bei 3x² - 10x + 3 = 0 ?

Dann wär das:
3*3² - 10*3 + 3 = 0
27 - 30 +3 = 0
0 = 0
Also ist die zweite Lösung 0?

17.09.2012, 21:49

Calvin

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Zitat:

Original von Jator08
Also ist die zweite Lösung 0?

Nein, das hast du vollkommen falsch verstanden.

Du hast die +3 in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt. Damit hast du eine Probe gemacht. Nach ein bisschen Rechnen hast du die Gleichung 0=0 bekommen. Das ist eine wahre Aussage. Deshalb ist x=3 eine Lösung der Gleichung.

Damit das ganze ein Ende hat, gebe ich dir mal die vollständige Lösung

$\begin{eqnarray*} 3x^2 - 10x + 3 = 0 \end{eqnarray*}$

In der abc-Formel ist $\begin{eqnarray*} a=3, b=-10, c=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=&\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{10\pm\sqrt{64}}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{10\pm 8}{6} \end{eqnarray*}$

Damit ergeben sich die zwei Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_1&=&\frac{10+8}{6}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2&=& \frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Damit sind $\begin{eqnarray*} x_1=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ die zwei Lösungen der Gleichung.

29.09.2012, 19:59

Jator08

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Danke für deine Antwort.
Eine Frage hätte ich aber noch:
Was hat es mit diesem "i" auf sich, das manchmal vorkommt?
Unser Lehrer hat da irgendwas von imaginär und real gesagt, aber ich weiß nicht wann man das "i" einsetzen müssen.

Hier ein Beispiel:
x²+2x+26 = 0
Und bis hierhin hab ich schon gerechnet:
x1,2 = -2 Wurzel aus -100 geteilt durch 2
Da soll man dann Wurzel aus 100 * (i) rechnen
Aber warum??
Die Lösung wär dann
x1 = -1 +5 i
x2 = -1 -5 i

29.09.2012, 20:08

Calvin

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i ist die imaginäre Einheit. Es gilt $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ .

Die imaginäre Einheit wird bei komplexen Zahlen genutzt. Diese Zahlen erweitern die reellen Zahlen. Damit kannst du z.B. die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ lösen. Mehr dazu unter http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen

Wenn du weitere Fragen dazu hast, mache bitte einen neuen Thread auf.

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