Affine Abbildung komplexe Zahlen - Kreis ?

13.09.2012, 23:05

crowd

Affine Abbildung komplexe Zahlen - Kreis ?

Meine Frage:
Hallo zusammen,
bin gerade eine alte Klausur durchgegangen und ich habe da meine Schwierigkeiten mit einer affinen Abbildung, die bestimmt werden soll..

Die Aufgabe heißt:
Es seien $\begin{eqnarray*} K1:= \left\{ z\in C: |z|\leq 5 \right\} und<br /> K2:= \left\{ z\in C: |z-2-i|\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$
Skizzieren Sie die Mengen. Bestimmen Sie die affine Abbildung, die K1 auf K2 abbildet.

Meine Ideen:
Also das Skizzieren ist schon schwierig. Bei K1 verstehe ich das noch.
Nämlich:

Der Betrag von z= a + ib ist ja so definiert $\begin{eqnarray*} |z|= z*z konjugiert = \sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$ . D.h. in dem Fall erhält man also a²+b² $\begin{eqnarray*} \leq 5 \end{eqnarray*}$ - d.h. dies ist ein Kreis mit dem Radius 5 und der Nullpunkt als Mittelpunkt.
Stimmt das so?

Zu K2 habe ich keine Idee. Also irgendwie müsste man das ja umformen. Aber wie und wozu?

Dann gehts ja noch darum die Abbildungsvorschrift zu bestimmten, das ist ja bei affinen Abbildungen fi(x)= Ax + b. Aber wie bringen ich denn da nun die Mengen mit ins rein?

Wäre super wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Ich schätze man kann das sogar schon ablesen fast, oder?

Ich bedanke mich herzlichst,

LG

13.09.2012, 23:20

Che Netzer

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RE: Affine Abbildung komplexe Zahlen - Kreis ?
Hallo,

Zitat:

Original von crowd
d.h. dies ist ein Kreis mit dem Radius 5 und der Nullpunkt als Mittelpunkt.

Fast. Der Radius stimmt noch nicht.
Edit: Danke an original; der Radius stimmt, ich hatte nur den falschen Umformungsschritt nicht erkannt.

Zitat:

Zu K2 habe ich keine Idee. Also irgendwie müsste man das ja umformen. Aber wie und wozu?

Vielleicht hilft die Subtitution $\begin{eqnarray*} z'=z-(2+\mathrm i) \end{eqnarray*}$ .

Für die Abbildungsvorschrift solltest du erst wissen, wie die beiden Mengen aussehen.

mfg,
Ché Netzer

13.09.2012, 23:20

original

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RE: Affine Abbildung komplexe Zahlen - Kreis ?

Zitat:

Original von crowd

Die Aufgabe heißt:
Es seien $\begin{eqnarray*} K1:= \left\{ z\in C: |z|\leq 5 \right\} und<br /> <br /> K2:= \left\{ z\in C: |z-2-i|\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$

Skizzieren Sie die Mengen. Bestimmen Sie die affine Abbildung, die K1 auf K2 abbildet.

d.h. dies ist ein Kreis mit dem Radius 5 und der Nullpunkt als Mittelpunkt.
Stimmt das so?

fast - (nebenbei: der Radius stimmt schon)
aber da steht ja noch das Ungleichheitszeichen.

$\begin{eqnarray*} K1:= \left\{ z\in C: |z|\leq 5 \right\} \end{eqnarray*}$

also |z|=5 kannst du so lesen: .. alle Punkte z der GaussEbene, die 5 Einheiten vom Nullpunkt entfernt sind..
(Beträge sind Abstände)
bei
$\begin{eqnarray*} |z|\leq 5 \end{eqnarray*}$ kommen dann noch alle Punkte im Inneren des Kreises dazu

nun- bei K2 hast du alle Punkte im Inneren eines Kreises (Radius 1) um den Mittelpunkt z(m) = 2+i ...

klar soweit?

13.09.2012, 23:44

crowd2801

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habe mich mal eben registriert!
Sooo, ich habe mich mal eben registriert. Ist ja ne super Sache dieses Forum!

AHHHHHHHHHHHHHHHH Tanzen

Ok, jetzt habe ich zunächst mal etwas mehr verstanden, wie man überhaupt die Mengen K1,K2 richtig lesen soll.

K1 ist klar nun.

K2 ist klar - Radius 1 und alles innerhalb dessen ok!!!
Wie hast du die Gleichung denn umgestellt? Das ist mir noch nicht ganz klar, ich meine damit du den Mittelpunkt erhälst.

Bezüglich der Abbildungsvorschrift weiß ich ja nun, dass K1 auf 1/5 verkleinert wird.
Da bei K1 der Radius 5 ... und bei K2 der Radius 1 und...
Dass sollte doch dann das fi(x)=Ax ergeben, hinzu muss dann noch die Verschiebung kommen, also fi(x)=Ax+b, wobei b wahrscheinlich jetzt die Verschiebung des Nullpunktes sein muss?

VIELEN DANK!!!!

13.09.2012, 23:51

Che Netzer

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RE: habe mich mal eben registriert!

Zitat:

Original von crowd2801
Sooo, ich habe mich mal eben registriert.

Du warst auch vorher schon registriert, du hast als registrierter User die Frage gestellt verwirrt

Zitat:

Wie hast du die Gleichung denn umgestellt? Das ist mir noch nicht ganz klar, ich meine damit du den Mittelpunkt erhälst.

Entweder mit der von mir erwähnten Substitution oder per
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-\mathrm i)^2}\leq1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} z=a+\mathrm ib \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dass sollte doch dann das fi(x)=Ax ergeben, hinzu muss dann noch die Verschiebung kommen, also fi(x)=Ax+b, wobei b wahrscheinlich jetzt die Verschiebung des Nullpunktes sein muss?

Die Verschiebung des Nullpunktes? Ja, je nachdem, wie du es meinst. Du solltest jetzt den Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ auf den Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ abbilden.

14.09.2012, 00:00

crowd2801

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ups, ja irgendwie blöd gelaufen mit der Registierung. Leider konnte ich nicht antworten vorhin und mich auch nicht einloggen. Eigentlich war ich nur Gast, dachte ich jedenfalls. Naja, wie dem auch sei..

Sorry, wenn ich mich jetzt ganz blöd anstelle, aber mir ist nicht so ganz klar, wie du das umgeformt hast. Irgendwie komme ich nicht darauf. Also ich kann das nachvollziehen, aber ich käme da niemals von alleine drauf..

Also was die Abbildungsvorschrift betrifft,
ich meinte das so:

Ax gibt die Verkleinerung an
+b dann eben die Verschiebung des Mittelpunktes.

Wenn ich das ganze nun einzeichne in ein kartesisches Koordinatensystem, dann wähle ich die x1-Achse für den Realteil und die x2-Achse für den Imaginärteil ja?

14.09.2012, 00:08

Che Netzer

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Zitat:

Original von crowd2801
Sorry, wenn ich mich jetzt ganz blöd anstelle, aber mir ist nicht so ganz klar, wie du das umgeformt hast. Irgendwie komme ich nicht darauf. Also ich kann das nachvollziehen, aber ich käme da niemals von alleine drauf..

Dafür lass erst einmal die komplexen Zahlen außer Acht und betrachte etwas wie $\begin{eqnarray*} \lvert x-x_0\rvert=r \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \lVert x-x_0\rVert=r \end{eqnarray*}$ ) im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
Das sind dann ja alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die einen Abstand von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ haben, was der Definition eines Kreises entspricht. Vielleicht kannst du es hier im Reellen besser herleiten.
Edit: Mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ erhält man natürlich auch hier den ausgefüllten Kreis.

Zitat:

Ax gibt die Verkleinerung an
+b dann eben die Verschiebung des Mittelpunktes.

Ja, das stimmt. Das ist so allerdings auch nur möglich, weil der Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ der Nullpunkt ist. Für allgemeine Mittelpunkte müsste man das noch ändern.
Allgemein:
Der Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ soll auf den Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.
Das entspricht der Abbildung
$\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{r_2}{r_1} (x-x_1)+x_2\,. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn ich das ganze nun einzeichne in ein kartesisches Koordinatensystem, dann wähle ich die x1-Achse für den Realteil und die x2-Achse für den Imaginärteil ja?

Ja, das ist so üblich. Zumindest wenn die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse bei dir die waagerechte ist.

PS: Ach ja, ich habe jetzt auch immer $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verwendet, vielleicht solltet du aber lieber $\begin{eqnarray*} f_i(z)=Az+b \end{eqnarray*}$ schreiben. Auch wieder eine Konvention.

14.09.2012, 00:17

crowd2801

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OKKKK Danke,
super Erklärung!!!!!

Weißt du aus dem Stehgreif ggf. noch andere ,,gängige Klausurbeispiel". Es müsste sich ja nicht zwingend um Kreise handeln, die aufeinander abgebildet und verschoben werden..

14.09.2012, 00:23

Che Netzer

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Das kommt drauf an: Welche Klausur wird es denn?
Funktionentheorie/Komplexe Analysis oder sind komplexe Zahlen eher ein Nebenthema?
Vielleicht könnte man dich eine Funktion suchen lassen, die die reelle Achse auf den Einheitskreis $\begin{eqnarray*} \{z:\lvert z\rvert=1\} \end{eqnarray*}$ abbildet.
Oder die obere Halbebene $\begin{eqnarray*} \{z:\operatorname{Im}z>0\} \end{eqnarray*}$ auf die offene Einheitskreisscheibe $\begin{eqnarray*} \{z:\lvert z\rvert<1\} \end{eqnarray*}$ .

14.09.2012, 11:15

original

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RE: habe mich mal eben registriert!
Wink

....nur noch kurz dazu:

Zitat:

Original von Che Netzer

Entweder mit der von mir erwähnten Substitution oder per

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-\mathrm i)^2}\leq1 \end{eqnarray*}$

.... das i in der zweiten Klammer fühlt sich da irgendwie nicht so recht wohl ..

was meinst?

14.09.2012, 11:19

Che Netzer

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RE: habe mich mal eben registriert!
Och, ich glaube, das $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ wirkt nur so unwohl, weil es da was neues erlebt und ganz nervös ist...
Na gut, machen wir eine Eins draus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}\leq1\,. \end{eqnarray*}$

14.09.2012, 13:51

crowd2801

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Es wird eine LinA 2 Klausur.

Es geht mir mehr um die affinen Abbildungen, denn diese haben wir in der Vorlesung ganz zum Schluss wirklich nur kurz in einer Definition genannt bekommen und mehr nicht. In einer vorherigen Klausur kam dann auch etwas zu affinen Abbildungen. Deshalb möchte ich für den Fall aller Fälle gerüstet sein Augenzwinkern

14.09.2012, 14:04

Che Netzer

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Hm, wenn sie nur definiert wurden, sollten sie eigentlich nicht in der Klausur drankommen. Bzw. nur in sehr einfacher Form.

Wie sahen denn die Aufgaben aus der letzten Klausur aus und wie genau sah die Definition aus?

Ansonsten solltest du das nochmal mit Matrizen üben.
Vielleicht analog eine Aufgabe, die Kugel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auf die Kugel mit Radius $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ um den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (1,2,3)^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ abzubilden.
Einmal mit $\begin{eqnarray*} x_0=(0,0,0)^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ und dann nochmal mit $\begin{eqnarray*} x_0=(1,0,1)^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ .
Oder nimm
$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^2,\ f(x,y,z)=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und bestimme die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

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