Orientiertes - und nicht orientiertes Kurvenintegral

14.09.2012, 00:22	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Orientiertes - und nicht orientiertes Kurvenintegral Meine Frage: Hallo, Kann mir jemand anschaulich den Unterschied zwischen orientierten und nicht orientierten Kurvenintegralen erklären? Ich verstehe nicht so ganz, was ich da genau berechne... Grüße und danke nima93 Meine Ideen: °
14.09.2012, 00:52	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich kenne eure Notationen und den Zusammenhang nicht ganz, aber ich versuchs mal mit dem was mir dazu auf die schnelle einfällt. Ich hoffe es hilft schonmal Betrachten wir den 3-dimensionalen Raum und ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Gegeben sei eine Kurve $\begin{eqnarray} \gamma: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , welche zwei Punkte $\begin{eqnarray} A,B \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ verbindet, dh. $\begin{eqnarray} \gamma(0) = A, \ \ \gamma(1) = B \end{eqnarray}$ . Stellen wir uns vor das Vektorfeld beschreibt ein Kraftfeld, zum Beispiel gewonnen aus dem Potential für die Erdanziehung oder magnetisches Feld etc. Ferner stell dir ein Punktteilchen vor, welches von A nach B entlang der Kurve geschickt wird. Die aufgebrachte Arbeit lässt sich dann beschreiben durch $\begin{eqnarray} W = \int \limits_{\gamma}F d\vec{r} = \int \limits_{0}^{1}F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) dt \end{eqnarray}$ . Diese Grösse ist ein Skalar, aber richtungsabhängig. Betrachtest du nämlich dieselbe Kurve, jedoch von B nach A, so erhälst du dasselbe Ergebniss mit umgekehrtem Vorzeichen. Deswegen kommt es hier auf die orientierung an, wie die Kurve abgelaufen wird. Möchtest du hingegen sagen wir nur die zurückgelegte Strecke des Punktteilches bestimmen, so berechnest du $\begin{eqnarray} L = \int \limits_{\gamma}1 dr = \int \limits_{0}^{1}\|\gamma'(t)\|dt \end{eqnarray}$ . Wegen dem Betrag, kommt es hier zum Beispiel nicht darauf an wie du die Kurve abläufst. Dass hier das Vektorfeld fehlt sollte nicht stören, liegt am gewählten Kontext. mfg
14.09.2012, 01:00	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das hat weitergeholfen Es ist mir zwar noch nicht so 100% klar, aber ich werd mich wohl mal an ein paar Rechenbeispielen versuchen, dann wird das schon^^

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