Zufallsvektor, Zähldichte

14.09.2012, 03:18

Nye

Zufallsvektor, Zähldichte

Hallo,
ich habe leider stark das Problem das ich häufig einfach nicht weiß was ich machen soll bzw. wie. Die Definitionen sind meistens bekannt, aber irgendwie passt nichts oder sieht falsch/zu einfach aus.

Aufgabe:
Gegeben sei ein Zufallsvektor (X1;X2) : ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ;A; P) -> ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^2_0 \end{eqnarray*}$ ,P( $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^2_0 \end{eqnarray*}$ )). Die Zufallsvariablen X1;X2 seien stochastisch unabhangig bezuglich P und besitzen beide Verteilung $\begin{eqnarray*} Geo^0(p) \end{eqnarray*}$ mit
der Zahldichte $\begin{eqnarray*} geo^0(p) \end{eqnarray*}$ .
(a) Bestimmen Sie Zahldichte der Verteilung von (X1;X2), die mit $\begin{eqnarray*} f^{(X1,X2)} \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird.
(b) Bestimmen Sie Zahldichte der Verteilung von (X1+X2), die mit $\begin{eqnarray*} f^{(X1+X2)} \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird.

Es ist garantiert ganz einfach, aber es stockt einfach in meinem Gehirn.
Also für $\begin{eqnarray*} f^{(X1,X2)} \end{eqnarray*}$ multipliziere ich einfach die Dichte der geometrischen Verteilung? also geo*geo? Weil sie sind ja unabhängig... nur wie würde das aussehen?

Bei b) müsste die Faltungsformel gelten
$\begin{eqnarray*} f^{X+Y}(z) =(f^{X} * f^{Y} (z) = \int^z_0 f^{X}(x)f^{Y}(z-x)dx, z>=0 . \end{eqnarray*}$
Nur wieder, wie sieht das aus? :/
$\begin{eqnarray*} geo^0(p)=pq^k \end{eqnarray*}$

14.09.2012, 09:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nye
Also für $\begin{eqnarray*} f^{(X1,X2)} \end{eqnarray*}$ multipliziere ich einfach die Dichte der geometrischen Verteilung? also geo*geo? Weil sie sind ja unabhängig... nur wie würde das aussehen?

Ja wie jetzt? Du hast es doch gerade richtig gesagt, das Produkt der beiden Ausgangszähldichten. Schreib es einfach auf, gemäß der bei euch üblichen Symbolik, also über

$\begin{eqnarray*} f^{(X_1,X_2)}(k_1,k_2) = f^{X_1}(k_1)\cdot f^{X_2}(k_2) \end{eqnarray*}$

oder wie immer ihr das bei euch da handhabt.

Zitat:

Original von Nye
Bei b) müsste die Faltungsformel gelten
$\begin{eqnarray*} f^{X+Y}(z) =(f^{X} * f^{Y} (z) = \int^z_0 f^{X}(x)f^{Y}(z-x)dx, z>=0 . \end{eqnarray*}$
Nur wieder, wie sieht das aus?

Ja einsetzen und das Integral ausrechnen, was denn sonst!

$\begin{eqnarray*} f^{X+Y}(z) = \int^z_0 f^X(x)f^Y(z-x) ~ \dd x = \int^z_0 pq^x\cdot pq^{z-x} ~ \dd x = \ldots \end{eqnarray*}$

EDIT: Ähem, war natürlich falsch aufgeschrieben - bei Zähldichten sind das selbstverständlich Integrale über das Zählmaß, sprich: Summen

$\begin{eqnarray*} f^{X+Y}(z) = \int^z_0 pq^x\cdot pq^{z-x} ~ \dd \mu_Z(x) = \sum_{k=0}^z pq^k\cdot pq^{z-k} \end{eqnarray*}$

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