Quantil der Faltung der Binomialverteilung

12.07.2004, 12:34

Cathi

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Quantil der Faltung der Binomialverteilung

Hallo,

ich sitze nun schon seit mehreren Tagen über diesem Problem.
Und zwar sind 2 binomialverteilte Zufallsvariablen X~B(m,p) und Y~B(n,p) gegeben. Die Faltung Z=X+Y ergibt sich bekanntermaßen als Z~(m+n,p).
Nun versuche ich zu zeigen, dass sich das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil von Z aus der Summe der $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantile von X und Y ergibt.
Hat da jemand eine schöne Idee?!

LG, Cathi

22.07.2004, 11:14

Cathi

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Kann mir denn wirklich keiner helfen??? traurig

traurig

22.07.2004, 12:26

mathemaduenn

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Hallo Cathi,
Müsstest du dafür nicht nachweisen, das
$\begin{eqnarray*} F_{Z}(k_{1}+k_{2})=F_{X}(k_{1}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} F_{Z}(k_{1}+k_{2})=F_{Y}(k_{2}) \end{eqnarray*}$
indem du ausnutzt
$\begin{eqnarray*} F_{X}(k_{1})=F_{Y}(k_{2}) \end{eqnarray*}$
glaube nicht das das geht
Bsp. Würfeln
X=Y=1-mal Würfeln Ereignis es fällt eine 1
k1=k2=1
k1+k2=2 Sprich beim zweimaligen Würfeln Fallen 2 einsen
Klär mich bitte auf wenn ich total daneben liege.
gruß
mathemaduenn
Edit: eine konkrete Frage hätte ich noch wie definiert man Quantile bei diskreten Verteilungen?

23.07.2004, 09:39

Cathi

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Naja, schon so in der Richtung. Allerdings ist das ja bei diskreten Verteilungen nicht 100%ig genau.
Hab hier diese eine Formel, die ich aber nicht weiter zerlegt kriege. Vielleicht ist die auch völlig ungeeignet, keine Ahnung.
$\begin{eqnarray*} F_{z}(z)= \sum_{z\leq (u \alpha z)}~[\begin{pmatrix} n_{z} \\z \end{pmatrix}*p^z*(1-p)^{n_{z}-z}] \leq \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{z\leq (u \alpha z)}~[\begin{pmatrix} n_{x}+n_{y} \\z \end{pmatrix}*p^z*(1-p)^{n_{x}+n_{y}-z}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{z\leq (u \alpha z)}~(p^z*(1-p)^{n_{z}-z}*[\sum_{x=0}^{n_{x}}~(\begin{pmatrix} n_{x} \\x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n_{y} \\z-x \end{pmatrix})]) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{z\leq (u \alpha z)}~(\sum_{x=0}^{n_{x}}~[\begin{pmatrix} n_{x} \\x \end{pmatrix}*p^x*(1-p)^{n_{x}-x}\begin{pmatrix} n_{y} \\z-x \end{pmatrix}*p^{z-x}*(1-p)^{n_{y}-z+x)}) \end{eqnarray*}$

Hab allerdings eine Tabelle der Binomialverteilung und wenn ich mir da ein paar Beispiele raussuche, haut's schon hin. Weiß halt leider nur nicht, warum.

23.07.2004, 10:05

mathemaduenn

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Hallo Cathi,
Da möchte ich doch nochmal auf meinem WürfelBeispiel rumklopfen. Was beim ersten post wohl nicht so korrekt war.
Also es wird gewürfelt.
Ereignis A ist: es fällt eine Eins Dies ist Bernoulliverteilt mit p=1/6 bzw. Binomialverteilt mit n=1
Binomialverteilung bedeutet ja wie oft fällt die eins.
nehmen wir alpha=35/36 damit k1=0, k2=0 wg.
$\begin{eqnarray*} F_{X}(1)=F_{Y}(1)=1 \end{eqnarray*}$
Die Summe dieser zufälligen Ereignisse wäre imho wie oft fällt die Eins bei zweimaligen Würfeln.
aber
$\begin{eqnarray*} F_{Z}(1)=\frac{35}{36} \end{eqnarray*}$
also kleiner gleich alpha
Hier liegt imho ein Widerspruch.
gruß
mathemaduenn

Edit: oder soll das alpha so sein, dass es die Ausgangsgleichungen exakt erfüllt?

23.07.2004, 12:30

Cathi

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Tja, das scheint leider zu stimmen. Das dumme ist nur, dass ich dies so als Voraussetzung vorgegeben bekommen habe und es auch nicht ändern kann.
Das alpha ist auch vorgegeben. Angeblich soll das für jedes beliebige gelten. unglücklich

unglücklich

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23.07.2004, 12:37

mathemaduenn

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Hallo Cathi,
Da ist also entweder mein Bsp. falsch oder deine Aufgabenstellung so nicht lösbar.
Vielleicht kannst du ja die Aufgabe noch ein wenig präzisieren.
gruß
mathemaduenn

23.07.2004, 15:18

Bruce

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Hallo Ihr nimmermüden Mathespezis.

Ich verstehe die Aufgabe wie folgt:

Gegeben seien die $\begin{eqnarray*} \alpha-\mathrm{Quantile}\quad q_{\,\alpha\,M\,p}\quad\mathrm{und}\quad q_{\,\alpha\,N\,p} \end{eqnarray*}$ der Binomialverteilungen B(M,p) bzw. B(N,p).

Gesucht ist das $\begin{eqnarray*} \alpha-\mathrm{Quantil}\quad q_{\,\alpha\,M+N\,p} \end{eqnarray*}$ der Binomialverteilung B(M+N,p).

Die Behauptung von Cathi lautet:

$\begin{eqnarray*} q_{\,\alpha\,M+N\,p}=q_{\,\alpha\,M\,p}+q_{\,\alpha\,N\,p} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist also, daß aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{q_{\,\alpha\,M\,p}} {M\choose k}\,p^k\,(1-p)^{M-k} \leq \alpha \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{q_{\,\alpha\,N\,p}} {N\choose k}\,p^k\,(1-p)^{N-k} \leq \alpha \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{q_{\,\alpha\,M\,p}\,+\,q_{\,\alpha\,N\,p}} {M+N\choose k}\,p^k\,(1-p)^{M+N-k} \leq \alpha \end{eqnarray*}$

Falls ich was mißverstanden habe, laßt es mich bitte wissen.

Ansonsten viel Spaß beim Tüfteln verwirrt

verwirrt

!

23.07.2004, 15:24

Irrlicht

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Hallo ihrs,

Ich als Stochastik-Laie hab mir mal ein paar Gedanken dazu gemacht:

X und Y sind aber doch bestimmt unabhaengig, oder? Und wenn dem so ist, dann kann man das vielleicht ausnutzen. Ich denke, dass Cathis Rechnung nicht schlecht aussieht...

Lieben Gruss,
Irrlicht

23.07.2004, 15:53

mathemaduenn

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Hallo
@Bruce
So hatte ich das auch verstanden und bin davon ausgegangen das das Quantil die größte nat. Zahl ist für die das gilt.
@all
Gibt's irgendwelche Einwände gegen mein Gegenbsp. ?
gruß
mathemaduenn

23.07.2004, 16:03

Irrlicht

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Hallo mathemaduenn,

Ja. Es gibt einen Einwand: Ich seh nicht, wie deine Zufallsvariablen aussehen. *schaem*

Schreib es doch nochmal so hin, dass ich genau sehe, wie deine 2 Zufallsvariablen X und Y nun aussehen, dass sie stochastisch unabhaengig sind, wie deren Faltung dann aussieht und dann berechne die Quantile gaaaaaaaaaaanz ausfuehrlich fuer mich. *klimper mit der wimper* Sonst versteh ich aemlich nicht, was du damit sagen willst. (Ich weiss, ich bin dumm.)

Lieben Gruss,
Irrlicht (die mittlerweile ein Skript zur Stochastik durchgelesen hat)

EDIT:

Hallo Cathi,

Du schreibst oben: "es ist als Voraussetzung gegeben"
Ist es nun als Voraussetzung gegeben oder sollst du es zeigen? Voraussetzungen brauchst du nicht beweisen.

Liebe Gruesse,
Irrlicht

23.07.2004, 18:23

mathemaduenn

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Hallo Irrlicht,
zur Faltung:
Die Dichte der Summe 2er Zufallsgrößen ist die Faltung der Dichten der einzelnen Zufallsgrößen. Dies braucht man hier aber nicht.

zum Beispiel:
Ich habe gewählt N=M=1 p=1/6 und Unabhängigkeit natürlich vorausgesetzt.
Als Aufhänger hab ich das Würfeln genommen.
Die Summe dieser ZFGrößen ist B(1+1,p) verteilt wie Cathi schon richtig geschrieben hat. Dann in Bruce Formeln eingesetzt.
Für Z
$\begin{eqnarray*} F_{Z}(1)=\sum_{k=0}^1~ \begin{pmatrix} 2 \\ k \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{2-k}=\frac{35}{36} \end{eqnarray*}$
Für X,Y
$\begin{eqnarray*} F_{X}(0)=F_{Y}(0)=\sum_{k=0}^0~ \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{1-k}=\frac{5}{6}\leq \frac{35}{36} \end{eqnarray*}$
während
$\begin{eqnarray*} F_{X}(1)=F_{Y}(1)=1\geq \frac{35}{36} \end{eqnarray*}$
Also X und Y waren die Zufallsgrößen: Anzahl der gewürfelten einsen bei 1 Würfelwurf.
Z ist die Summe dieser Zufallsgrößen: Anzahl der gewürfelten einsen bei 2 (unabhängigen) Würfelwürfen *Was ein Wort*
im Übrigen:
Ich weiß, daß ich nichts weiß.
gruß
mathemaduenn

Edit2: Summenformel berichtigt und noch ein wenig ergänzt
Edit 538: schon wieder ein Fehler in der Formel X(

23.07.2004, 21:03

Irrlicht

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Danke dir, mathemaduenn! Jetzt habe ich das auch verstanden. *g* (Langsam krieg ich etwas Ahnung von Stochastik, heyyy... Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Ja, dann ist das wohl ein Gegenbeispiel und die Aussage von Cathi ohne weitere Zusatzbedingungen falsch.

Liebe Grüsse,
mathemaduenn

PS.: Das kann jetzt nicht sein, dass du nichts weisst, denn du weisst ja was (ausser dass du weisst, dass du nichts weisst), weisst du? Big Laugh

Big Laugh

---------------------

EDIT:
http://www.mathematik-forum.de/forum/showthread.php?t=27723

Hm, wenn das "unsere" Cathi ist, dann hab ich jetzt das Gefühl, sie glaubt uns nicht. (Ich bin ganz zufällig auf dieses Forum da gestossen by the way.) Ich werd mal nach der Aufgabe im Netz suchen, vielleicht sind da ja Voraussetzungen, die uns bisher noch nicht mitgeteilt wurden.

24.07.2004, 17:31

mathemaduenn

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Hallo Irrlicht,
dort ist's ja ein wenig anders aber ich denke man würde nach demselben Prinzip mit höheren N,M ein Gegenbsp. finden. Man kann ja nächste Woche nochmal reinschaun und gucken was lustiges gepostet wurde.
oder einen Querverweis setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruß
mathemaduenn
Edit auf matheplanet.com hab ichs auch gefunden 13.09 Uhr wär schon komisch wenn Sie's nicht wäre.

24.07.2004, 21:53

mathemaduenn

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Definition der Quantilfunktion
Hallo,
da meine Eingangs gestellte Frage nicht beantwortet wurde, hab Ich doch nochmal meinen Statistik Hefter zur Hand genommen. Dort fand ich:
Quantilfunktion:
$\begin{eqnarray*} F^{-1} (u)=inf\{x\in \mathbb R :F(x)\geq u\} \end{eqnarray*}$

Also etwas anders als von mir/Bruce vermutet. Gegenbeispiel funktioniert aber analog.
gruß
mathemaduenn

26.07.2004, 09:11

Cathi

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Hallöle,

bin nun auch wieder ausm WE da.
Jep, das war ich in den anderen Foren. Wollte mir noch eine 2. Meinung einholen sozusagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Problem ist, dass ich das nicht genauer eingrenzen kann. Ich habe ein Modell, wo das halt so angenommen wurde und dort als Voraussetzung gilt. Dumm nur, dass ich im Rahmen meiner Diplomarbeit sämtliche Modellannahmen begründen muss. Also isses für mich nun wieder eine Behauptung und keine Voraussetzung.
Noch dümmer, wenn der eine Mensch, der an dem Modell mitgearbeitet hat, mir eh schon gesagt hat, dass das alles nicht 100%ig korrekt ist und einige vereinfachende Annahmen getroffen wurden.
Muss es aber trotzdem irgendwie begründen.

26.07.2004, 10:47

mathemaduenn

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Hallo Cathi,
Schön das Du das klargestellt hast.
Eine Idee!

Idee!

hätt ich noch.
$\begin{eqnarray*} F_o^{-1} (u)=inf\{x\in \mathbb R :F(x)\geq u\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_u^{-1} (u)=sup\{x\in \mathbb R :F(x)\leq u\} \end{eqnarray*}$
wären 2 verschiedene Möglichkeiten das Quantil bei diskreten Verteilungen zu definieren.
imho ließen sich 2 Dinge zeigen:
1. Fu und Fo der X,Y grenzen FuFo von Z ein
2. (Fo-Fu)/(N+M) geht gg 0 für N,M gg. unendlich
Man könnte quasi sagen für große N,M gilt's so ungefähr.
Ebenso könnte man sicherlich zeigen, daß wenn du n X (i) hast das dann der Fehler maximal n-1 ist.
Aber das ist alles nur angedacht ich hab hier nix durchgerechnet.
Hoffe das nützt Dir was.
gruß
mathemaduenn

26.07.2004, 11:14

Cathi

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Na mal schaun.
Klingt auf jeden Fall besser als das undurchsichtige Gewaber in meinem Kopf. smile

smile

Bin gespannt.

28.07.2004, 15:13

Irrlicht

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Hallo Cathi,

Das finde ich echt krass, dass du dir noch dazu ueberlegen musst, warum man diese und jene Voraussetzungen verwendet. Man kann sich ja noch ueberlegen, wo es im Beweis verwendet wird, aber sich klarzumachen, ob und wann genau die Voraussetzung sinnvoll ist, ist doch sehr aufwendig. Ich drueck dir auf jeden Fall fest die Daumen fuer deine Diplomarbeit. smile

smile

Haben sich die Leute in dem anderen Forum schon geaeussert? Vielleicht koenntest du uns noch schreiben ob und wo, denn mich wuerde das (mittlerweile) auch interessieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Liebe Gruesse,
Irrlicht

28.07.2004, 15:14

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Irrlicht
aber sich klarzumachen, ob und wann genau die Voraussetzung sinnvol ist, ist doch sehr aufwendig.

Das kommt drauf an. Könnte ja eine zentrale Aufgabe der Diplomarbeit sein, die Modellannahmen zu begründen (vielleicht hat sich die Mühe noch keiner gemacht?).

Gruß vom Ben

28.07.2004, 15:35

Irrlicht

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Hallo Ben,

Sicherlich soll eine Diplomarbeit eine gewisse Herausforderung sein, aber sie sollte eine Herausforderung sein, der man als Student gewachsen sein kann.
Cathis Aufgabe interpretiere ich nicht als
"Die Voraussetzungen beweisen.",
sondern als
"Gilt das Theorem noch, wenn man die Voraussetzung weglaesst?"
oder
"Kann man die Voraussetzung abschwaechen?"
Beides kann unter Umstaenden sehr schwer werden - vor allem dann, wenn der "Erfinder" des Modells nicht genau sagen kann, ob die Voraussetzung abgeschwaecht werden kann. Wenn das schon der "Erfinder" nicht kann/konnte... smile

smile

Liebe Gruesse,
Irrlicht

28.07.2004, 17:56

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dir spricht - verständlicherweise - die Mathematikerin. Sollte das jedoch eine "angewandte Arbeit sein", so könnte durchaus die Interpretation der Voraussetzungen oder die Untersuchung auf Anwendbarkeit des Modells ein wichtiger Teil der Arbeit sein. Die Voraussetzungen "begründen" ist ja auch nicht dasselbe wie beweisen. Dies könnte also ein weniger streng mathematischer Teil der Arbeit sein (was nicht unbedingt heisst, dass hier nicht mathematisch argumentiert wird).

"Kann man die Voraussetzung weglassen oder sie abschwächen?" sind dahingegen wieder klassische, streng mathematische Fragestellungen, aber ich glaube (habe inhaltlich nicht alles nachvollzogen, nur überflogen) darum geht´s hier nicht.

Gruß vom Ben (der denkt man sollte manchmal nicht nur Mathematiker sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

28.07.2004, 19:15

mathemaduenn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Irrlicht,Hallo Ben,
ich war mal bei einer Diplomverteidigung da wurde auch lobend von den Prüfern erwähnt, daß viel Definitionsarbeit zu leisten war. Sprich was muß erfüllt sein damit man so arbeiten kann wie in der Ursprungsarbeit angegeben. Die war im Übrigen von einem Elektrotechniker der eben weniger Wert auf Exaktheit gelegt hat. Frei nach dem Motto warum weiß ich nicht so genau aber es funktioniert.
@cathi
Was ist eigentlich Thema deiner Diplomarbeit?
gruß
mathemaduenn

29.07.2004, 15:06

Cathi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hallo,
also meine Aufgabenstellung geht dann doch eher in die Richtung von Bens Interpretation. Ich glaube, wenn ich tatsächlich das machen müsste, was Irrlicht angenommen hat, bräuchte ich dafür locker das Doppelte der Bearbeitungszeit.

Mein Thema ist die Analyse und Umsetzung des GDV-Aufsichtsmodells zur Solvabilität eines Lebensversicherungsunternehmens im Rahmen des Solvency II-Projekts. :P

Hab mich jetzt noch nicht weiter mit diesem ganzen Quantil-Schmus beschäftigt. Ich treffe mich aber am WE mit meiner Betreuerin und sobald ich irgendwas brauchbares hab, werd ich's hier reinposten, damit es dann irgendwann mal hoffentlich auch anderen Hilfesuchenden nützt, gelle?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.08.2004, 10:35

Cathi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöle

Wink

lang lang ist's her, aber ich hab's nicht vergessen. Wie könnt ich auch. *g*
Es ist tatsächlich so, dass man die Faltung binomialverteilter Variablen nicht richtig herleiten kann, da es ja schon problematisch ist, das Quantil als solches aufzuschreiben. Und die Summe ist nur als Obergrenze anzusehen, womit zumindest verhindert werden kann, dass die Verlustwahrscheinlichkeit steigt.

Tja, soviel dazu.
Danke aber für eure Ideen und Tipps! smile

smile

18.08.2004, 09:52

mathemaduenn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cathi

Zitat:

Original von Cathi
Es ist tatsächlich so, dass man die Faltung binomialverteilter Variablen nicht richtig herleiten kann

Was willst Du denn herleiten? Oder meinst du nur die Ursprungsaufgabe sei nicht lösbar?
gruß
mathemaduenn verwirrt

verwirrt

19.08.2004, 09:49

Cathi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... na ich meine, dass man ja das Quantil der Faltung von 2 normalverteilten Variablen soweit auflösen kann, dass man die Quantile der beiden einzelnen Variablen darin erkennt. So könnte ich also umgekehrt auf der Grundlage der 2 Quantile das gefaltete "herleiten".
Das geht bei den binomialverteilten nicht richtig.

19.08.2004, 10:21

mathemaduenn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cathi,
also doch die Ursprungsaufgabe:
Ja bleibt nur Grenzbetrachtung, oder Einschränkung des Definitionsbereichs der Quantilfunktion auf Werte wo Gleichheit gilt (F(x)=u) oder eben Fehlerbetrachtung . oder..oder..oder

oder..oder..oder

gruß
mathemaduenn

30.05.2005, 22:14

Auch-keine-Mathe-Genie

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RE: Quantil der Faltung der Binomialverteilung
Hallo Cathi!

Ich hoffe, Dich über dieses Forum nochmal zu erwischen.
Ich habe das gleiche DA-Thema wie Du, allerdings bezogen auf den Bereich der Schaden- und Unfallversicherung. Wink

Wink

Ich habe gerade erst begonnen, könnte mir aber vorstellen, demnächst ähnliche Probleme zu haben. Deswegen wäre ich sehr interessiert an einem Kontakt zu Dir!!!

Viele liebe Grüße,
Andrea

30.05.2005, 23:23

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will dir ja nicht die Hoffnung rauben, aber Cathi war zuletzt am 1.09.2004 hier im Board. Du kannst dich mit deinen Fragen auch an uns wenden - wir sind auch nicht ganz inkompetent. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber bitte zuerst hier im Board posten, damit alle Interessierte was davon haben.

13.03.2009, 09:40

amily

Auf diesen Beitrag antworten »

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