Tschebyscheff Polynome aus DGL

14.09.2012, 10:54

10^-13

Tschebyscheff Polynome aus DGL

Meine Frage:
Hi Leue,
weis vielleicht einer von euch wie man auf den Ansatz
$\begin{eqnarray*} \left(1-T_{n}^{2} \right) = \left(1-x^{2} \right)*T_{n} ^{'}(x) \end{eqnarray*}$ für das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ zur herleitung der Tschebyscheffpolynome kommt?

Meine Ideen:
Ich habe gelesen, dass man hierzu den Alternantensatz verwendet.

19.09.2012, 15:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10^-13
$\begin{eqnarray*} \left(1-T_{n}^{2} \right) = \left(1-x^{2} \right)*T_{n} ^{'}(x) \end{eqnarray*}$

Für welche Tschebyscheff-Polynome soll das gelten? Für $\begin{eqnarray*} T_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_1=x \end{eqnarray*}$ ja - für $\begin{eqnarray*} T_2=2x^2-1 \end{eqnarray*}$ (und wohl auch alle nachfolgenden) aber sicher nicht. unglücklich

19.09.2012, 20:32

Mystic

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Ja, das stimmt schon aus Gradgründen nicht, denn links steht ein Polynom vom Grad 2n und rechts ein solches vom Grad n+1... Die Frage ist nur, was wirklich gemeint war, vielleicht das hier:

$\begin{eqnarray*} n^2(1-T_n^2) = \left(1-x^{2} \right)*T_{n} ^{'2}(x) \end{eqnarray*}$

Allerdings wäre dann schon einiges falsch... geschockt

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