komplexe differenzierbarkeit und holomorph

14.09.2012, 12:11

Matheversteher

komplexe differenzierbarkeit und holomorph

Hallo

Es geht darum, dass ich zeigen soll dass die folgende Funktion komplex differenzierbar bzw holomoprh ist. Gegebenenfalls soll ich die Ableitung angeben.

$\begin{eqnarray*} f(x+iy) = x^3+ iy^3 \end{eqnarray*}$

Für komplex diff'bar gilt:

$\begin{eqnarray*} u_x = v_y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u_y = -v_x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x+iy) \end{eqnarray*}$ ist komplex diff'bar für $\begin{eqnarray*} |x|=|y| \end{eqnarray*}$

So nun weis ich aber nicht, wann die Funktion holomorphist. Wie zeige ich das denn jetzt? Und wie berechne ich jetzt die Ableitung? verwirrt

Zu der Ableitung habe ich folgendes in meinem Script stehen:
Ist $\begin{eqnarray*} f=u+iv \end{eqnarray*}$ in C komplex differenzierbar, so ist $\begin{eqnarray*} f'(C)= u_x(C)+iv_x(C) \end{eqnarray*}$ .
Was sagt mir das jetzt?

Ich hoffe mir kann hier jemand behilflich sein.Besten Dank!

14.09.2012, 12:25

Che Netzer

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RE: komplexe differenzierbarkeit und holomorph
Hallo,

Zitat:

Original von Matheversteher
für $\begin{eqnarray*} |x|=|y| \end{eqnarray*}$

Wieso denn nur unter dieser Bedingung?
Die Funktion ist holomorph genau dann, wenn sie reell differenzierbar ist und die genannten Gleichungen gelten.
Überprüfe das doch mal.

mfg,
Ché Netzer

14.09.2012, 13:00

Leopold

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Das stimmt nicht. Matheversteher hat richtig erkannt, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur auf den Punkten der beiden Winkelhalbierenden komplex differenzierbar ist. Das wird durch die reelle Differenzierbarkeit und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen bestimmt.
Holomorph ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ deswegen aber noch lange nicht. Denn dazu müßte die Menge der Stellen komplexer Differenzierbarkeit offen sein.

14.09.2012, 13:17

Che Netzer

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Ah, dann habe ich die Aussage falsch verstanden.
Ich dachte, er hätte reelle Differenzierbarkeit und Cauchy-Riemann-DGLs mit komplexer Differenzierbarkeit für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=\lvert y\rvert \end{eqnarray*}$ ganz allgemein gleichgesetzt.
Gut, da das schon das Ergebnis war, nehme ich die Kritik zurück.

Dann mal weiter.
Wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem ganzen Definitionsbereich (vermutlich $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ )komplex differenzierbar, dann wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph. Das hast du ja schon widerlegt; Leopold hat auch angemerkt, dass es keine Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (auf offene Mengen) gibt, die holomorph wäre.

Zur Bestimmung der Ableitung kannst du die gegebene Formel ja verwenden, wobei $\begin{eqnarray*} C=x\pm\mathrm ix \end{eqnarray*}$ .

14.09.2012, 17:21

Matheversteher

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Die Lösung $\begin{eqnarray*} |x|=|y| \end{eqnarray*}$ hätte ich wohl kenntlicher machen sollen

Also wenn ich dass dann richtig verstehe wäre die Funktion nur holomorph wenn
$\begin{eqnarray*} u_x = v_y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u_y = -v_x \end{eqnarray*}$ unabhängig von x und y sind?!

Zitat:

Original von Che Netzer
Zur Bestimmung der Ableitung kannst du die gegebene Formel ja verwenden, wobei $\begin{eqnarray*} C=x\pm\mathrm ix \end{eqnarray*}$ .

Tut mir leid, dass ich hier Frage aber woher weist du, dass $\begin{eqnarray*} C=x\pm ix \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

14.09.2012, 17:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von Matheversteher
Also wenn ich dass dann richtig verstehe wäre die Funktion nur holomorph wenn
$\begin{eqnarray*} u_x = v_y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u_y = -v_x \end{eqnarray*}$ unabhängig von x und y sind?!

Wenn ich dich richtig verstehe, ja: Eine Funktion ist holomorph, wenn sie auf ihrem gesamten (offenen) Definitionsbereich komplex differenzierbar ist. Wäre sie das z.B. nur auf einer (offenen) Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , könnte man noch sagen, sie wäre auf dieser Teilmenge holomorph.
Zumindest haben wir das immer nur mit offenen Mengen definiert.

Zitat:

Tut mir leid, dass ich hier Frage aber woher weist du, dass $\begin{eqnarray*} C=x\pm ix \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Du hast ja schon erhalten, dass die Funktion nur an Stellen $\begin{eqnarray*} x+\mathrm iy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=\lvert y\rvert \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
Aus der letzten Gleichung folgt also $\begin{eqnarray*} y=\pm x \end{eqnarray*}$ , also ist die Funktion an Stellen der Form $\begin{eqnarray*} x\pm\mathrm ix \end{eqnarray*}$ differenzierbar (mit $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ).
Und diese "Differenzierbarkeitsstelle" ist in der Formel ja das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Du kannst auch allgemein $\begin{eqnarray*} x+\mathrm iy \end{eqnarray*}$ einsetzen, aber dann wird nicht so deutlich, dass das Ergebnis nicht für alle $\begin{eqnarray*} x+\mathrm iy \end{eqnarray*}$ gilt.

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