Determinate

14.09.2012, 16:13

Micha1337

Determinate

Meine Frage:
Also es geht um die Berechnung einer Determinate. Wobei es hier einen Trick geben muss da dies eine Klausuraufgabe damals war. Die Berechnung nach Sarus würde einfach kein Sinn machen da die zahlen sehr groß werden und wir keinen Taschenrechner benutzen dürfen.
11 14 17
A= 12 15 18
13 16 20

Meine Ideen:
Ich möchte eigentlich nur Wissen ob es eine schnelle Möglichkeit gibt ohne Sarus oder Gauß zu benutzen.

14.09.2012, 16:20

Che Netzer

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RE: Determinate
Hallo,

mit Umformungen geht es ziemlich gut: Ziehe jeweils eine Zeile von einer anderen ab, dann geht es mit Sarrus recht schnell.

mfg,
Ché Netzer

14.09.2012, 16:26

lgrizu

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RE: Determinate
So, ich habe einmal auf die Uhr geschaut, wei lange man benötigt, das ganze mit Sarrus zu berechnen, ohne TR

$\begin{eqnarray*} det A =20 \cdot (11 \cdot 15-12 \cdot 14 )+18 \cdot (14 \cdot 13-16 \cdot 11)+17 \cdot (12 \cdot 16-15 \cdot 13) \end{eqnarray*}$ .

Die Kalmmern sind schnell im Kopf ausgerechnet, ich mache die Herangehensweise einmal an einer Klammer klar:

$\begin{eqnarray*} 11 \cdot 15-12 \cdot 14=11 \cdot 15-12 \cdot 15+12=-3 \end{eqnarray*}$

Also, das kann man im Kopf und benötigt zwei bis drei Minuten.....

Edit: zu spät....

14.09.2012, 16:58

Mystic

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RE: Determinate
Ja, man kann sogar die ganze Determinante

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}11 &14 &17\\ 12 &15 &18\\13 &16 &20 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

sehr rasch im Kopf berechnen...

Dazu muss man allerdings wissen, dass eine Determinante ja insbesondere eine Multilinearform in den Zeilenvektoren ist und man sie daher zerlegen kann in

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}11 &14 &17\\ 12 &15 &18\\13 &16 &19 \end{vmatrix} \ + \ \begin{vmatrix}11 &14 &17\\ 12 &15 &18\\0 &0 &1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei der der erste Summand (hoffentlich offensichtlich!) den Wert Null hat und der zweite Sumand nach Entwicklung nach der 3. Zeile ident ist mit

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}11 &14\\12 &15 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ist nun scheinbar Endstation mit der Kopfrechnerei... Jeder denkt, die sind perdu,

$\begin{eqnarray*} 11 \cdot 15 -14 \cdot 12 = (13-2)(13+2)-(13+1)(13-1)=-4-(-1)=-3 \end{eqnarray*}$

aber nein, noch leben sie... Augenzwinkern

14.09.2012, 17:16

Che Netzer

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RE: Determinate
Na dann führe ich meine Rechnung auch mal vollständig vor:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}11&14&17\\12&15&18\\13&16&20\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}11&14&17\\12&15&18\\1&1&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}11&14&17\\1&1&1\\1&1&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}11&14&17\\1&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=11-14=-3\,. \end{eqnarray*}$
Da beschränkt sich der Kopfrechenanteil auf Subtraktionen im Bereich der Zahlen von Eins bis Zwanzig Augenzwinkern

14.09.2012, 17:42

Mystic

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RE: Determinate
Naja, wenngleich die einzelnen Umformungen für sich genommen elementar sind, wäre es vielleicht nicht jedermann's Sache, sie alle im Kopf zu behalten... Ich hätte jedenfalls ein Problem damit... Big Laugh

Der Vorteil meiner Methode - falls man von einem solchen überhaupt reden kann - besteht eben darin, dass man (mit dem richtigen Blick!) sofort sehen kann, dass der Wert der ganzen Determinante gleich dem Wert des 2.Hauptminors

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}11 &14\\12 &15 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ist, ohne da irgendwelche Umformungen im Kopf vornehmen und sich merken zu müssen... Ob man diesen Wert über die eine zweimalige Anwendung der 3. Binomischen Formel oder - nach deiner Methode - so berechnet, dass vorher von der 2.Zeile noch die erste abzieht, ist dann schon egal... Ist aber jetzt nur meine Meinung... Augenzwinkern

14.09.2012, 17:46

Che Netzer

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RE: Determinate

Zitat:

Original von Mystic
Naja, wenngleich die einzelnen Umformungen für sich genommen elementar sind, wäre es vielleicht nicht jedermann's Sache, sie alle im Kopf zu behalten... Ich hätte jedenfalls ein Problem damit... Big Laugh

Naja, in der Klausur sind ja auch noch Schmierzettel erlaubt smile

Ansonsten schmeißt man die Umformungen halt alle zusammen in einen Schritt Big Laugh

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