Rauminhalte von Rotationskörpern

14.09.2012, 16:55

JuliaM

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Rauminhalte von Rotationskörpern

Meine Frage:
Wir haben Aufgaben gerechnet, die grundsätzlich kein Problem gewesen sind. Bei einer der Aufgaben trat jedoch eine Besonderheit auf, wodurch wir alle ein falsches Ergebnis herausbekamen. Die Besonderheit wollte uns unsere Lehrerin jedoch nicht erläutern und so stehen wir vor einem kleinen Problem!

Die Aufgabe ist, das Volumen des entstehenden Drehkörpers zu berechnen, wenn die Fläche zwischen dem Graphen K und der x-Achse über [a;b] um die x-Achse rotiert.

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ + x

a= 1 ; b= 4

Meine Ideen:
Hier ist meine Idee, die jedoch zu einer falschen Lösung führt, da ich die Besonderheit (laut meiner Lehrerin $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ) nicht beachtet habe:

$\begin{eqnarray*} v= \pi \int_1^4 \! ( \frac{1}{x^{2} } + x )^{2} \, dx <br /> <br /> = \pi \int_1^4 \! ( \frac{1}{x^{4} } + 2 \frac{1}{x^{2} }x + x^{2}) \, dx<br /> <br /> = \pi \int_1^4 \! ( {x^{-4} } + \frac{2}{x} + x^{2}) \, dx<br /> <br /> = \pi \left[-\frac{1}{3} x^{-3} + \frac{1}{3} x^{3} \right]_{1}^{4} <br /> <br /> = \pi [(-\frac{1}{3} *4^{-3} + \frac{1}{3} *4^{3}) - (-\frac{1}{3} *1^{-3} + \frac{1}{3} *1^{3})]<br /> <br /> = \pi [21,328 - 0] = 67,004 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass 75,71 herauskommen müssten! Das liegt wohl an dem $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ .
Aber was muss ich damit machen? Wie muss ich damit umgehen um auf die richtige Lösung zu kommen?

Vielen Dank für eine Antwort
Julia

14.09.2012, 17:53

Cheftheoretiker

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RE: Rauminhalte von Rotationskörpern
Hi,

mich würde mal interessieren wo $\begin{eqnarray*} 2\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ abgeblieben ist? Kennst du die Stammfunktion von dem Ausdruck?

14.09.2012, 18:10

JuliaM

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Nun ja, uns wurde gesagt, dass es dabei keine Stammfunktion gibt und es einfach wegfällt. Hat mich auch gewundert, aber ich wüsste nicht wie sonst!

14.09.2012, 18:13

JuliaM

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2x^(-1) = 2/0x^0 ???

Da x^0 1 ist, ist das dann einfach 1? Das wäre das einzige was mir einfällt

verwirrt

aber das kann ja nicht sein. Weil 2/0 geht ja nicht. Und dann wäre das 0*1, also 0! Ohje ich bin verwirrt.

14.09.2012, 18:23

Cheftheoretiker

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Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x}dx=ln(x)+c \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte deine Rechnung auch hinhauen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2012, 18:48

JuliaM

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dankeschön smile

smile

aber wo bekomm ich denn da das c her?

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14.09.2012, 18:52

Cheftheoretiker

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Wir haben hier doch $\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Was ist denn davon die Stammfunktion? smile

smile

14.09.2012, 18:58

JuliaM

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ehm vllt $\begin{eqnarray*} \ln(x) + 2 \end{eqnarray*}$ ??

14.09.2012, 18:59

Cheftheoretiker

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Nein, die 2 ist doch eine konstante. Was passiert denn bei der Integration mit den konstanten? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2012, 19:23

JuliaM

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aah, die wandern in der Rechnung vor das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

14.09.2012, 19:40

JuliaM

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ok, also, wenn ich das dann nochmal rechne mit der 2 vor dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und ln(x), also ln(4) und ln(1), statt dass ich den Part weglasse, dann bekomme ich trotzdem nicht das richtige heraus. Mein Ergebnis ist dann ungefähr 142,719 und nicht 75,71.
Allerdings habe ich das +c nicht beachtet.... verwirrt

verwirrt

14.09.2012, 19:42

Cheftheoretiker

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Schreib doch bitte mal deine Stammfunktion auf, dann kann man mehr sagen. smile

smile

14.09.2012, 19:45

JuliaM

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$\begin{eqnarray*} 2\pi \left[-\frac{1}{3}x^{-3}+\ln(x)+\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{4} \end{eqnarray*}$

14.09.2012, 19:48

Mathe-Maus

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Gestattet einen kurzen Einwurf:
Das C tritt nur auf bei UNBESTIMMTEN Integralen, wenn also keine Grenzen angegeben sind.
Du hast aber Grenzen, somit gibt es bei der Integration kein C (=keine unbekannte Konstante).

Die 2 vor 1/x ist ein Faktor bleibt also bei GENAU diesen Term erhalten und rutscht NICHT ganz nach vorn vor ALLE Terme!

Du hastt alles andere richtig gemacht, nur eben diesen einen Term 2*(1/x) nicht richtig integriert.

... und wieder weg .. Wink

Wink

14.09.2012, 19:54

JuliaM

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also:

$\begin{eqnarray*} \pi \left[-\frac{1}{3}x^{-3}+2\ln(x)+\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{4} \end{eqnarray*}$

JA! Jetzt klappts! Vielen Dank euch beiden! Gott

Gott

smile

)

14.09.2012, 19:58

riwe

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Zitat:

Original von JuliaM
ok, also, wenn ich das dann nochmal rechne mit der 2 vor dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und ln(x), also ln(4) und ln(1), statt dass ich den Part weglasse, dann bekomme ich trotzdem nicht das richtige heraus. Mein Ergebnis ist dann ungefähr 142,719 und nicht 75,71.
Allerdings habe ich das +c nicht beachtet.... verwirrt

verwirrt

du hast doch ein BESTIMMTES integral Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{x} \, dx =ln(a)+c - (ln(b) +c)=ln(a)-ln(b) \end{eqnarray*}$

und der faktor 2 bezieht sich doch NUR auf den logarithmusterm.

damit komst du auf das richtige ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2012, 20:05

Dopap

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riwe meint :

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{x} \, dx =ln(b)+c - (ln(a) +c)=ln(b)-ln(a) \end{eqnarray*}$

( Genzen verdreht )

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