Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!

14.09.2012, 20:10

steviehawk

Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich habe folgende Aussagen über die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ bewiesen, könnt ihr kurz sagen ob sie stimmen??

a) Die Funktion ist Stetig, als Zusammensetzung von stetigen Funktionen für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$

b) Sie ist auch in (0,0) stetig, wenn f(0,0) als 0 definiert ist.

c) die partiellen Ableitungen sind für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ stetig, also ist die Funktion differnzierbar für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$

d) die Funktion ist nicht differenzierbar in (0,0).

die letze Aussage habe ich so gezeigt: Laut einem Satz muss $\begin{eqnarray*} df(x)h = \partial_h(f(x)) \end{eqnarray*}$ gelten, wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ diffbar ist.. Also die Richtungsableitung in Richtung h muss gleich dem Matrix - Vektorprodukt aus JacobiMatrix und Richtunsvektor h sein. Das ist nicht der Fall, also ist die Funktion nicht differenzierbar in (0,0). Die Ungleichheit wurde speziell im Punkt (0,0) gezeigt natürlich..

Meine Ideen:
Kommt ihr auf die selben Aussagen??

Danke!!

14.09.2012, 20:58

Che Netzer

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RE: Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!
Hallo,

ja, ich komme auf die gleichen Aussagen.
Bei der d) solltest du die Behauptung aber vielleicht noch mit einem Beispiel zeigen.

mfg,
Ché Netzer

14.09.2012, 22:09

steviehawk

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RE: Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!
Das hab ich natürlich gemacht Augenzwinkern

So noch eine andere Frage.

Wenn ich den Wert der partiellen Ableitung in (0,0) bestimmen, dann kann ich das ja so machen (über Differenzenquotienten):

$\begin{eqnarray*} \partial_xf(0,0) = \lim_{h \to 0 }\frac{ f(h,0) - f(0,0) }{h} = \lim_{h \to 0 } \frac{\frac{h^3}{h^2} }{h} = \lim_{h \to 0 } 1 = 1 \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} \partial_yf(0,0) = \lim_{h \to 0 }\frac{ f(0,h) - f(0,0) }{h} = \lim_{h \to 0 } \frac{0-0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$

So wenn ich jetzt mal die Partielle Ableitung betrachte, die aus der Funktionsvorschrift ermittelt wurde, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \partial_xf(0,0) = \frac{3x^2}{x^2+y^2} - \frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

mit Limes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,0) \to (0,0)} \frac{3x^2}{x^2+y^2} - \frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

also entspricht nicht dem ermittelten Wert aus dem Differenzenquotieten, also ist die partielle Ableitung nicht stetig oder???

für y folgt:

$\begin{eqnarray*} \partial_yf(0,0) = \frac{-x^32y}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

und der Limes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(0,y) \to (0,0)} \frac{-x^32y}{x^2+y^2} = 0 \end{eqnarray*}$

hier stimmt der Wert überein, diese partielle Ableitung ist doch dann stetig oder??

So nun gibt es ja auch einen Satz, der sagt, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind, dann ist die Funktion in diesem Punkt diff.bar. Hier ist die partielle Ableitung nach x nicht stetig, nach y schon. Ich kann daraus aber noch nicht schließen, dass keine Diffbarkeit vorliegt.

Wenn aber beide stetig wären, was ich ja so wie oben zeigen darf ODER?? dann wäre die Funktion in diesem Punkt auch diffbar.

Danke für die Hilfe!!!

14.09.2012, 22:27

Che Netzer

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RE: Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \partial_xf(0,0) = \frac{3x^2}{x^2+y^2} - \frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \partial_xf(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,0) \to (0,0)} \frac{3x^2}{x^2+y^2} - \frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Naja, bei mir ist $\begin{eqnarray*} 3-2=1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

So nun gibt es ja auch einen Satz, der sagt, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind, dann ist die Funktion in diesem Punkt diff.bar. Hier ist die partielle Ableitung nach x nicht stetig, nach y schon.

Die Stetigkeit hast du noch nicht gezeigt, dazu musst du nämlich z.B.
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,{\color{red}y})\to(0,0)}\partial_xf(x,y) \end{eqnarray*}$
betrachten.
Und die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist auch trotz obiger Korrektur unstetig. (die nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ übrigens auch
$\begin{eqnarray*} \partial_xf \end{eqnarray*}$ ist ja immer noch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert.

Wenn du dann die Stetigkeit richtig nachweisen könntest, dann wäre die Funktion aber tatsächlich (stetig) differenzierbar, ja.

14.09.2012, 23:00

steviehawk

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RE: Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!
Oh paar kleine Tipp Fehler, danke für die Korrektur!

Also wenn ich jetzt die Stetigkeit der partiellen Ableitung nach x in (0,0) zeigen wollen würde, dann müsste ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \partial_xf(x,y) \end{eqnarray*}$ betrachten sagst du ja!

und dann einfach einsetzen?

also: $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \partial_xf(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3x^2}{x^2+y^2} - \frac{2x^4}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

soll ich das dann mit Polarkoordinaten machen?? Oder wie geht das allgemein?? Welchem Wert müsste dieser Grenzwert denn entsprechen, wenn die partiellen Ableitung stetig wäre??

Wenn ich das mit Polarkoordinaten mache, sehe ich, dass der Limes nicht existiert, also kann auch keine Stetigkeit vorliegen!

Das andere ist also Käse, was ich da gemacht habe?? Das mit dem Vergleich von dem Wert aus dem Differenzenquotienten und dem $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,0) \to (0,0)} \end{eqnarray*}$

14.09.2012, 23:06

Che Netzer

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RE: Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen!
Den Wert vom Differentialquotienten solltest du tatsächlich (bei Stetigkeit) erhalten,
also
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}\partial_xf(x,y)\overset!=\partial_xf(0,0)\,. \end{eqnarray*}$
Also einfach die normale Stetigkeit.

Und ja, Polarkoordinaten kannst du wählen.
Oder du setzt zwei Nullfolgen ein und zeigst, dass diese zu einem unterschiedlichen Grenzwert führen.
Bei $\begin{eqnarray*} \partial_y \end{eqnarray*}$ geht das gut: Nimm $\begin{eqnarray*} (\tfrac1n,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\tfrac1n,\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ .
Oder aber nimm nur die zweite und zeige, dass diese nicht auf $\begin{eqnarray*} \partial_yf(0,0) \end{eqnarray*}$ führt.

Ach ja, die Differenzierbarkeit hast du damit übrigens tatsächlich noch nicht widerlegt, aber das hast du ja vorher schon.

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