Wegintegral 2 - Seite 2

Neue Frage »

15.09.2012, 01:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Hast du absichtlich $\begin{eqnarray} t-1 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ geschrieben? Naja, es sieht so aus, als könnten wir bald einen anderen Ausdruck (ohne Betragsstriche!) für $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ schreiben. Also: $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert=\dotso \end{eqnarray}$ ?
15.09.2012, 01:39	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich das nun nach t auflösen? Dann wäre das t= 1 oder?
15.09.2012, 01:42	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du sollst nicht nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ auflösen. Du hast auch gar keine Gleichung, die du auflösen könntest Du sollst vielmehr $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ ohne Betragsstriche (aber immer noch korrekt, also nicht einfach die Striche weglassen) schreiben. Wir wissen jetzt jedenfalls, dass $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ negativ ist. Jetzt soll aber $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ positiv sein. Wie kannst du dazu den Term $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ verändern, damit er positiv wird, aber den Betrag behält?
15.09.2012, 01:44	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
1 - t > 0 so ok?
15.09.2012, 01:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wir sagten doch schon, dass $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ negativ ist, also $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ . Dann kann nicht $\begin{eqnarray} 1-t>0 \end{eqnarray}$ sein. Aber es ist $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert>0 \end{eqnarray}$ . Und wir wollen jetzt diese Betragsstriche loswerden. Wir können sie aber nicht einfach weglassen, weil das, was dazwischen steht, negativ ist. Es soll aber positiv werden. Daher lassen wir die Betragsstriche weg und machen etwas mit dem Term $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ , der übrig bleibt, damit er positiv wird. Welchen Weg kennst du denn, wie man aus einer negativen Zahl eine positive macht?
15.09.2012, 01:51	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
1 - t < 0 -t < 0 -1 t > 1 So ?
Anzeige

15.09.2012, 01:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ haben wir doch angefangen. Und daraus haben wir uns mit viel, viel Mühe $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ erarbeitet. Ich will auf folgendes hinaus: Für $\begin{eqnarray} \lvert-2\rvert \end{eqnarray}$ kann man $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ schreiben. Auf ähnliche Weise wollen wir in $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ die Betragsstriche loswerden. Dazu wissen wir inzwischen, dass $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ negativ ist, genau wie die $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ aus dem obigen Beispiel. Was kann man also ohne Betragsstriche für $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ schreiben?
15.09.2012, 01:56	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube jetzt müsste es stimmen: 1+t > 0 so in ordnung?
15.09.2012, 01:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1+t>0 \end{eqnarray}$ stimmt zwar, aber darauf wollte ich nicht hinaus. $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ ist ja ein eigener Ausdruck, als ganzes. Vielleicht hilft dir eine Substitution: Sei $\begin{eqnarray} z=1-t \end{eqnarray}$ . Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ negativ ist, also $\begin{eqnarray} z<0 \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} \lvert z\rvert \end{eqnarray}$ ? Am Ende soll dann eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert=\dotso \end{eqnarray}$ dastehen und keine Ungleichung.
15.09.2012, 02:01	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll da 1-t =0 stehen ?
15.09.2012, 02:02	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Was aht das eigentlich mit der parametrisierung des 2 punktes zu tun?
15.09.2012, 02:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das würde nur für $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ gelten. Also gut, dann definiere ich dir nochmals den Betrag: $\begin{eqnarray} \lvert x\rvert=\begin{cases}x&\text{falls}\ x\geq0\\-x&\text{falls}\ x<0\,.\end{cases} \end{eqnarray}$ An unserem Beispiel schreibst du $\begin{eqnarray} 1-t \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und wählst den vorliegenden Fall aus. Dann erhältst du eine Gleichung, bei der auf einer Seite $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ steht. Edit: Zur Parametrisierung: Diese Umformung brauchen wir, um anschließend mit $\begin{eqnarray} 1-\lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ weiterzurechnen.
15.09.2012, 02:07	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
\| x-1 \| für t>= 0 x-1 t < 0 Ich galub wenn das nicht stimmt weis ich auch nicht weiter. Wie ist jetzt genau der 2te weg parametrisiert ?
15.09.2012, 02:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist irgendetwas durcheinandergeraten. Dann gehe ich mal einen Schritt weiter ans Verraten: $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert=\begin{cases}1-t&\text{falls}\ 1-t\geq0\\-(1-t)&\text{falls}\ 1-t<0\,.\end{cases} \end{eqnarray}$ Kannst du damit die in diesem Fall vorliegende Gleichung bestimmen? Und die zweite Hälfte des Weges ist mit $\begin{eqnarray} r_2(t)=(t,1-\lvert1-t\rvert) \end{eqnarray}$ parametrisiert, wobei $\begin{eqnarray} t\in(1,2] \end{eqnarray}$ . Um damit jetzt vernünftig rechnen zu können, brauchen wir eine betragsfreie Schreibweise für die zweite Komponente. Daran arbeiten wir gerade. (da $\begin{eqnarray} t\in(1,2] \end{eqnarray}$ können wir benutzen, dass $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ , woraus wir $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ gefolgert haben)
15.09.2012, 02:14	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein das der 2te parametrisierte weg r2 ( t , -2 ) ist ?
15.09.2012, 02:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so wäre die zweite Komponente ja konstant. Wir müssen jetzt $\begin{eqnarray} 1-\lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ umschreiben. Dazu müssen wir als erstes die Betragsstriche loswerden. Das klappt mit meinem letzten Beitrag vielleicht. Versuche also nochmal, mit der oben angegebenen Fallunterscheidung einen anderen Ausdruck für $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ zu finden, wenn $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ (also wenn $\begin{eqnarray} 1-t<0 \end{eqnarray}$ ).
15.09.2012, 02:20	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich: 1-t = -(1-t ) setzen
15.09.2012, 02:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast! Es ist für $\begin{eqnarray} t>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lvert1-t\rvert=-(1-t)\,. \end{eqnarray}$ Falls das jetzt nicht klar ist: Wiederhole unbedingt nochmal die Rechnung mit Beträgen. So, jetzt kannst du auch $\begin{eqnarray} 1-\lvert1-t\rvert \end{eqnarray}$ vereinfachen.
15.09.2012, 02:25	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das 2-t ?
15.09.2012, 02:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Wir haben also $\begin{eqnarray} r_1(t)=(t,t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in[0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_2(t)=(t,2-t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in(1,2] \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du $\begin{eqnarray} \int_rh\cdot\dx=\int_{r_1}h\cdot\dx+\int_{r_2}h\cdot\dx \end{eqnarray}$ berechnen.
15.09.2012, 02:33	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
puuh danke endlich am Ziel. Ich hab die skalarprodukte schon ausgerechnet kommt : 8/3 raus . richtig?
15.09.2012, 02:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wofür denn? Als Endergebnis für die Summe der Integrale? Ich komme da auf einen kleineren Wert. (kann mich in Anbetracht der Uhrzeit aber auch irren...) Wie sah denn deine Rechnung aus?
15.09.2012, 02:46	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^1 \! (t^4 , 0)(1,1) \, dt = 2/3 t^3<br /> = 2/3<br /> <br /> \int_1^2 \! (t^2+(2-t)^2, t^2-(2-t)^2* (1,1) \, dt \end{eqnarray*}$ Sowet richtig? Das ( 2-t)^2 ist doch biomische formel oder?
15.09.2012, 02:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, in der Ableitung der zweiten Weghälfte ist ein Vorzeichenfehler, es ist $\begin{eqnarray} (2-t)'=-1 \end{eqnarray}$ . Und ja, für $\begin{eqnarray} (2-t)^2 \end{eqnarray}$ kannst du die binomische Formel verwenden. Du kannst es aber auch direkt integrieren.
15.09.2012, 02:55	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^1 \! (t^4 , 0)(1,1) \, dt = 2/3 t^3<br /> = 2/3<br /> <br /> \int_1^2 \! (t^2+(2-t)^2, t^2-(2-t)^2* (1,-1) \, dt =<br /> <br /> \int_1^2 \! t^2 (4-4t+t^2); t^2 -(4-4t+t^2)(1,-1)dt \end{eqnarray}$ Jetzt einfach skalarprodukt ausrechnen?
15.09.2012, 02:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf ein fehlendes $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ und fehlende Klammern stimmt soweit alles.
15.09.2012, 03:07	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim zweiten integral kommt bei mir 8 raus. Stimmt das ?
15.09.2012, 03:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir nicht... Die erste Umformung führt das jedenfalls auf $\begin{eqnarray} 2\int_1^2(4-4t+t^2)\mathrm dt\,. \end{eqnarray}$ Bei dir auch? Dann rechne das doch ab hier nochmal nach.
15.09.2012, 03:22	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Skalarprodukte ausgerechnet und bekomme das raus: integral 1 bis 2 2t^2 -8t +8 WARUM HAST DU DIE 2 VOR DEM INTEGRAL GESCHRIEBEN ? Soll ich das auch machen?
15.09.2012, 03:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Konstanten kann man aus dem Integral ziehen. Auf diese Weise kann man im Integral mit kleineren Zahlen rechnen und muss erst am Ende noch mit 2 multiplizieren. Was erhältst du denn jetzt für das Integral?
15.09.2012, 03:31	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bekomme ich 14/3 raus. Stimmts?
15.09.2012, 03:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wofür denn? Für die Summe der Integrale? Da wäre mir eine Ziffer zu viel. Es ist $\begin{eqnarray} \int_1^2(4-4t+t^2)\mathrm dt=4-2(t^2)\big\vert_1^2+\tfrac13(t^3)\big\vert_1^2\,. \end{eqnarray}$ Das ganze dann noch mit Zwei multiplizieren und am Ende zu den zwei Dritteln des ersten Integrals addieren.
15.09.2012, 03:38	hallo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe für das zweite integral 14/3 raus. Ich habe die 2 nicht vor dem Integral genommen daher. 14/3 + 2/3 = 16/3 Richtig?
15.09.2012, 03:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist noch falsch. Geh deine Rechnung nochmal durch, nimm z.B. auch noch meine Umformung oben.

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Wegintegral 2 - Seite 2

Verwandte Themen