Betragsungleichung mit Bruch

15.09.2012, 00:27

gucksi

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Betragsungleichung mit Bruch

Hallo ich brauche eure Hilfe bei einer Betragsungleichung mit Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} < 4 \end{eqnarray*}$ Im Zähler stehen die Betragsstriche

Bin mir aber bei der ganzen Sache total unsicher

Definitionsbereich wäre doch -2 denn wenn für x=-2 wäre würde das heissen -2+2=0

Im Fall 1 nehme ich an dass x > -2 ist (z.B. -1 ->Im Bezug auf den -1+2 = 1 also kann ich dann in diesem Fall die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren ohne dabei das " < " Zeichen umzudrehen, da ich ja mit etwas posetiven multipliziere)
Bis hier hin richtig?
Das würde bedeuten

Fall 1

x > -2

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} < 4 \end{eqnarray*}$ das alles mal den Nenner

$\begin{eqnarray*} |x+1| < 4x+8 \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter??

15.09.2012, 01:12

Kasen75

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Hallo,

wenn du den Fall $\begin{eqnarray*} x > -2 \end{eqnarray*}$ betrachtest musst du noch überlegen was du mit dem Ausdruck in den Betragsstrichen passiert. Soll bei deinem ersten Fall der Ausdruck positiv oder negativ sein?

Bis jetzt stimmt deine Umformung.

Mit freundlichen Grüßen.

15.09.2012, 01:34

gucksi

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Hallo Kasen75

Jetzt fängts an zu hapern..

Im ersten Fall soll der Ausdruck in den Betragsstrichen positiv sein
Das würde doch bedeuten dass ich die Betragsstriche einfach weglassen kann
x+1<4x+8

$\begin{eqnarray*} x > - \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

15.09.2012, 01:45

Kasen75

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Das Ergebnis ist richtig. Da der Ausdruck in den Betragsstrichen $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein soll, musst du das in deiner Fallunterscheidung berücksichtigen.

Du hattest erst $\begin{eqnarray*} x > -2 \end{eqnarray*}$ und jetzt auch noch $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ . Somit gilt insgesamt für die erste Fallunterscheidung, quasi als Schnittmenge, $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt vergleichst du dies erstmal mit dem Ergebnis und bildest wiederum Schnittmenge um die Lösung für die erste Fallunterscheidung anzugeben.

Mit freundllichen Grüßen.

15.09.2012, 01:51

Dopap

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bitte unterlasse es doppelt zu posten. Auf dieselbe Frage hatte ich auch schon geantwortet. Da hier mehr posts vorliegen, kann der andere geschlossen werden.

15.09.2012, 01:55

gucksi

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Ja! Da will ich mich entschuldigen! Ich habe leider ist danach gesehen dass ich meine Frage unter Schulmathematik eingetragen habe(was da eigendlich gar nicht hins soll anstatt Hochschulmathematik

Sorry deswegen (wie lang bist du noch on)??

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15.09.2012, 01:57

Dopap

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das ist jetzt der Thread von Kasen 75.

Keine Ahnung wann der ins Bett geht Big Laugh

Big Laugh

edit--------------------------

ob jemand noch "on" erkennst du unten links am grünen "männchen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2012, 02:00

Kasen75

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Lang genug um ein gutes Stück voranzukommen. Freude

Freude

@Dopap
Irgendwie beruhigend, dass du nicht weißt wann ich heute ins Bett gehe. Big Laugh

Big Laugh

15.09.2012, 02:08

Dopap

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nicht genau, Kasen75, das stimmt, aber bald wird das "Männchen" Klarheit vermitteln ! smile

smile

15.09.2012, 02:10

gucksi

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Dann bin ich total beruhigt dass du noch lang wach bleibst Tanzen

Tanzen

Was hällst du davon wenn wir die nacht gemeinsam verbringen und uns dabei nur mit schönen hochinteressanten Betragsungleichungen zu beschäftigen Big Laugh

Big Laugh

Musst dabei auch gaaannzzz viel Geduld haben
Also legen wir mal los:

Du redest jetzt was $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ Aber ich habe doch vorhin gar nichts von -1 geschrieben und wenn wie muss ich dann da vorgehen um die Schnittgerade zu bilden??

Wie gesagt hochinteressanter Abend

15.09.2012, 02:17

Kasen75

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Nicht Schnittgerade sondern Schnittmenge. Aber dazu später.

Du hast ja gesagt, dass der Ausdruck in den Betragsstrichen positiv (mit der Null) sein soll. So hast du richtigerweise auch die Betragsstriche aufgelöst. Welche Werte kann x denn annehmen, sodass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x+1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

15.09.2012, 02:24

gucksi

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Ok
wenn $\begin{eqnarray*} x + 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ das alles -1
$\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$

Das wäre jetzt meine Antwort zu deiner Frage

15.09.2012, 02:35

Kasen75

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Richtig.

Freude

Du hattest erst angenommen, dass x >-2 sein soll, damit der Nenner positiv ist. Jetzt haben wir noch gesagt, dass $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ ist. Beide Bedingungen müssen erstmal gelten. Wäre x z.B -1,5, dann wäre dies nicht zulässig, weil $\begin{eqnarray*} -1,5 < -1 \end{eqnarray*}$ .

Welchen Bereich auf dem Zahlenstrahl haben denn $\begin{eqnarray*} x >-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ gemeinsam?

15.09.2012, 02:42

gucksi

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In dem Fall hätte ich jetzt diese L = {-2<x<-1}

15.09.2012, 02:54

Kasen75

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Ich habe eher:

$\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ .

Bei deinem Lösungsvorschlag wäre z.B. der Wert -1,5 mit eingeschlossen. Das wäre aber nicht richtig. Außerdem steht bei Dir $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$ . Das widerspricht unserer Definition: $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ (wegen den Betragsstrichen).

Das wäre jetzt der Definitionsbereich für die 1. Fallunterscheidung.

Jetzt schaust die dir deine Lösung an: $\begin{eqnarray*} x > - \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder den gemeinsamen Bereich auf dem Zahlenstrahl von $\begin{eqnarray*} x > - \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

15.09.2012, 03:00

gucksi

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Hier ist es aber auch $\begin{eqnarray*} \geq-1 \end{eqnarray*}$ Wenn nein dann verzeihe mir Gott

Gott

15.09.2012, 03:07

Kasen75

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Sehr gut.

Freude

Damit hast du die Lösung für die erste Fallunterscheidung:
$\begin{eqnarray*} \mathbb L_1=[-1,\infty) \end{eqnarray*}$

Jetzt die zweite Fallunterscheidung:

Der Ausdruck in den Betragsstrichen ist negativ: Wie ist da die Definitionsmenge für x?
Der Nenner ist positiv: Wie ist da die Definitionsmenge für x? Hatten wir schon.

15.09.2012, 03:26

gucksi

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Yeaaaaahhh

Erstmal Hut ab für deine grrrrrrrrrooooooooooooßßßßßßeee Geduld und INSBESONDERE dabei, wie gut du diese Aufgabe mit mir wirklich SCHRITT für SCHRITT löst!!!

Ok Fallunterscheidung 2
|x+1|<0
-(x+1)<0
-x-1<0
-x < 1
x > -1
Als wir den Nenner als positiv angenommen haben hatten wir für x > - $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$
Müssten ich jetzt nicht auch bei fall 2 folgendes hinschreiben
|x+1|<4x+8 Jetzt nehmen wir den Betrag für negativ an. also auch hier ein minus vor die Betragsstriche
-(x+1)<4x+8
-x-1<4x+8 das alles +1 und -4x ergibt
-5x < 9 geteilt durch -5
x > - $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist wieder hoffnung angesagt

15.09.2012, 03:38

gucksi

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Sorryy hab ein Fehler gemacht Im 1. Fall haben wir ja denn nenner für positiv angenommen jetzt tun wir in aber für negativ annehmen daher multipliziere ich ja am anfang mit etwas negativen wodurch ich das Zeichen drehen muss

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$
so muss es sein oder?

15.09.2012, 03:40

Kasen75

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Zitat:

Ok Fallunterscheidung 2
|x+1|<0
-(x+1)<0
-x-1<0
-x < 1
x > -1

Hier war leider die erste (Un-)Gleichung schon nicht richtig. Die linke Ausdruck kann nicht kleiner Null sein. Du kannst es aber auch ganz ohne große Rechnerei machen. Überlege Dir einfach ab wann wird x+1 negativ?

Ich erinnere auch noch mal gerne an meine zweite Frage:

Zitat:

Der Nenner ist positiv: Wie ist da die Definitionsmenge für x? Hatten wir schon.

Das solltest du auch noch mal hinschreiben.

Die (Un-)Gleichung an sich hast du schon mal richtig gelöst. Freude

Freude

Freude

Freude

15.09.2012, 03:43

gucksi

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1.Frage: Ab wann wird x+1 negativ ? Ab dann wenn x = -2 ist (ups da war ja was)

15.09.2012, 03:50

gucksi

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Komm morgen wieder um 14.00 Uhr online bitte sei da auch wieder da meine äuglein schaffen es nicht mehr

VIELLLLENNNN DANK schon mal

15.09.2012, 03:50

gucksi

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und gute nach natürlich

15.09.2012, 03:53

Kasen75

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Wir müssen aufpassen, das wir nicht durcheinander kommen. Besser ist es, wenn du nicht zweimal hintereinander antwortest.

Zitat:

Ab wann wird x+1 negativ

Deine Antwort ist leider nicht richtig.
Nun doch eine kleine Gleichung: x+1<0
Die Lösung ist?

Damit wir Alles zusammenhaben:

Zitat:

Der Nenner ist positiv: Wie ist da die Definitionsmenge für x? Hatten wir schon

Auch Dir gut Nacht. Du kannst ja schon mal die beiden Fragen beantworten.

Bis dann,

Wink

Wink

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