Komplexe Gleichungen

15.09.2012, 10:34

Mixer007

Komplexe Gleichungen

Hallo, ich habe Probleme mit der Berechnung der Folgenden komplexen Gleichung:

Z^3 +(1-2i)Z^2 -(1+i)Z=0

so das ganze kann man ja nun ausklammern.

Z(Z^2 +(1-2i)Z -(1+i)) =0

was die erste Lösung ergibt Z_1=0

so kann ich eigentlich nun die Mitternachtsformel auf den Ausdruck in der Klammer anwenden?

Wenn ich das könnte bekomm ich:
$\begin{eqnarray*} Z= (-(1-2i)\pm \sqrt[]{(1-2i)^2 +4*(1+i)})/(2) \end{eqnarray*}$
so nun wenn ich das ganze umform bekomm ich :

$\begin{eqnarray*} Z= (-(1-2i)\pm ((1-2i) + \sqrt{4*(1+i)}/(2) \end{eqnarray*}$

so aber wie zieh ich denn jetzt die
Wurzel?
Und stimmt es überhaupt, was ich da gerechnet hab?

15.09.2012, 10:46

original

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RE: Komplexe Gleichungen

Zitat:

Original von Mixer007
Hallo, ich habe Probleme

mit der Berechnung der Folgenden komplexen Gleichung: Wink

Z^3 +(1-2i)Z^2 -(1+i)Z=0

Z(Z^2 +(1-2i)Z -(1+i)) =0

was die erste Lösung ergibt Z_1=0 Freude

.... na ja, die Gleichung ist doch nicht komplex , sondern...?

und die quadratische Gleichung, die du noch lösen solltest, sieht doch dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \left(z + \frac{1-2i}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

schaffst du nun z2 und z3 ?

15.09.2012, 10:58

Mixer007

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ähm, ich konnte dir nicht folgen wie du auf dein ergebnis kommst. Woher kommen die 1/4 her?

15.09.2012, 12:15

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Zitat:

Original von Mixer007
ähm, ich konnte dir nicht folgen wie du auf dein ergebnis kommst. Woher kommen die 1/4 her?

ähm,
... falls du irgenwann mal ein Gymnasium besucht hast, dann
hast du dort gewiss was von "quadratischer Ergänzung" erzählt bekommen?

Mittelstufe - oder?

15.09.2012, 12:22

Mixer007

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ja das war mir ja klar, aber trotzdem wie bist du denn auf diese 1/4 gekommen. Das blick ich gerad net durch.

15.09.2012, 12:44

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Zitat:

Original von Mixer007
ja das war mir ja klar, aber trotzdem wie bist du denn auf diese 1/4 gekommen. Das blick ich gerad net durch.

dann gib dir halt mal etwas Mühe und schreibe dir die quadratische Ergänzung selbst mal auf:

$\begin{eqnarray*} z^2+(1-2i)z + .?. = 1+i + .?. \end{eqnarray*}$

und dann kannst du bestimmt auch noch auf der rechten Seite zusammenfassen/vereinfachen ..
.

15.09.2012, 13:51

Mixer007

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nope das raff ich nicht, was du damit meinst

18.09.2012, 18:23

Mixer007

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ja hilft mir denn hier niemand? Big Laugh

18.09.2012, 18:31

HAL 9000

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Das mit der quadratischen Ergänzung schön und gut, aber wir können ja auch bei deinem Originalweg bleiben:

Zitat:

Original von Mixer007
Wenn ich das könnte bekomm ich:
$\begin{eqnarray*} Z= (-(1-2i)\pm \sqrt[]{(1-2i)^2 +4*(1+i)})/(2) \end{eqnarray*}$

Soweit noch richtig, aber der nächste Schritt

Zitat:

Original von Mixer007
so nun wenn ich das ganze umform bekomm ich :

$\begin{eqnarray*} Z= (-(1-2i)\pm ((1-2i) + \sqrt{4*(1+i)}/(2) \end{eqnarray*}$

ist grober Unfug: Es gibt keine Rechenregel der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt{u+v} = \sqrt{u}+\sqrt{v} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Nein, was du als nächstes tun solltest, ist die Vereinfachung des Radikanden $\begin{eqnarray*} (1-2i)^2 +4\cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ . Bring den also zunächst mal in die übliche algebraische Form $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ !

19.09.2012, 18:09

Mixer007

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aah so ok, also muss ich jetzt quadrieren:

das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} Z= (-1+2i)^2 +(1-2i)^2 +4*(1+i) \end{eqnarray*}$

so nun schreib ich das alles aus:

$\begin{eqnarray*} -1+2i +4 +1+2i-4+4+4i \end{eqnarray*}$
und vereinfache:

dann bekomm ich $\begin{eqnarray*} Z=4+8i \end{eqnarray*}$

habe ich nun richtig gerechnet?

20.09.2012, 11:16

HAL 9000

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Nein. Anscheinend muss ich mich wiederholen:

Zitat:

Original von HAL 9000
die Vereinfachung des Radikanden $\begin{eqnarray*} (1-2i)^2 +4\cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ . Bring den also zunächst mal in die übliche algebraische Form $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ !

Der, und nur der Term steht unter der Wurzel.

Du hast eine geradezu fahrlässige Art, mit Termen umzugehen, nach Lust und Laune fügst du einiges dazu oder lässt es weg - furchtbar. unglücklich

EDIT: Und bei den Einzeltermen hast du dich auch noch verrechnet. Es ist

$\begin{eqnarray*} (-1+2i)^2 = (1-2i)^2 = 1-4i+4i^2 = -3-4i \end{eqnarray*}$ .

22.09.2012, 11:28

Mixer007

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also nochmal:

$\begin{eqnarray*} Z=( (-1+2i)^2 +(1-2i)^2+4(1+i))/2 \end{eqnarray*}$

das ist die Quadrierung.

So nun vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} Z= (-3-4i -3-4i +4+4i)/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z = (-1-4i) \end{eqnarray*}$

wenn ich das in den GTR eingebe, kommt nich null raus. Wieso? Hab ich schon wieder einen Fehler gemacht? Wo ist er? verwirrt

22.09.2012, 12:24

Mixer007

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so ich habs nun nochmal durchgerechnet:

$\begin{eqnarray*} z= ((-1+2i) +(1-2i) +4(1+i))/2 \end{eqnarray*}$

so das ganze nun vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} Z= (-1+2i-3-4i+4+4i)/2 = i \end{eqnarray*}$

das komische ist halt, dass wenn ich das per Hand ausrechne, eine richtige Lösung rauskommt. Aber wenn ich das in den Taschenrechner eingeb, kommt was flasches raus. Wieso? verwirrt

womit die dritte Lösung ja Z= -1+i wäre. Wenn ich das in den Taschenrechner eingeb, kommt was richtiges raus.

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