Transformationssatz für Dichte

15.09.2012, 12:09

Juppie

Transformationssatz für Dichte

Hallöchen,

in meinem Skript steht folgender Satz:

Es sei X eine reellwertige ZV mit Dichte f.
$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei eine streng monotone $\begin{eqnarray*} C^{1} \end{eqnarray*}$ Funktion. Daraus folgt die ZV Y=h(x) besitzt die Dichte

$\begin{eqnarray*} g(y)=f(h^{-1}(y)) | (h^{-1})'(y) \end{eqnarray*}$

Ich habe überall im Skript gesucht, aber ich weiß einfach nicht was diese C^1 Funktion sein soll. Weiß das jemand? Und was sagt der Satz in einfachen Worten ausgedrückt eigentlich aus? Ich bräuchte dringend Hilfe.

LG

Juppie

15.09.2012, 12:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Juppie
aber ich weiß einfach nicht was diese C^1 Funktion sein soll.

$\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ ist der Raum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen.

Es geht hier um den sog. Transformationssatz in seiner einfachsten Form, nämlich im eindimensionalen. Übrigens hast du den Betrag nicht richtig geschlossen, es muss

$\begin{eqnarray*} g(y) = f(h^{-1}(y)) \cdot \left| (h^{-1})'(y) \right| \end{eqnarray*}$

heißen.

Und "worum es geht" steht doch eigentlich da: Der Satz ermöglicht es bei gegebener Dichte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Dichte der transformierten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=h(X) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, zumindest für bestimmte Tranformationsfunktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

15.09.2012, 12:25

Juppie

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Danke für die schnelle Antwort und den Hinweis was C^1 bedeutet :-)

Der Satz gibt also einfach an:

Bei gegebender Dichte f von X kann man die Dichte von Y=h(x) berechnen.
Y ist dann eine transformierte ZV.

Ich verstehe noch nicht ganz was der Sinn davon ist und warum Y ne transformierte ZV ist?

15.09.2012, 12:30

HAL 9000

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Einfacher, aber wichtiger Anwendungsfall ist die lineare Transformation $\begin{eqnarray*} h(x) = ax+b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Sie besitzt die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} h^{-1}(y) = \frac{y-b}{a} \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} (h^{-1})'(y) = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall ist dann

$\begin{eqnarray*} f_{aX+b}(y) = f_X\left( \frac{y-b}{a} \right) \cdot \frac{1}{|a|} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Juppie
warum Y ne transformierte ZV ist?

Das "transformiert" ist doch nur eine zusätzliche Charakterisierung. Wenn es dich verwirrt, dann streiche es gedanklich: $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße, die eben mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} Y=h(X) \end{eqnarray*}$ zusammenhängt.

15.09.2012, 12:34

Juppie

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Vielen Dank HAL, das hat mir echt geholfen!

Noch eine Frage:

Wenn dann da steht:
$\begin{eqnarray*} f \in C^{3}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

dann ist das der Raum der 3x stetig diffbaren Funktionen?

15.09.2012, 12:36

HAL 9000

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Ja. Hier eine Übersicht einiger wichtiger Funktionenräume:

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionenr...ktionalanalysis

15.09.2012, 12:38

Juppie

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Vielen Dank!

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