Integrabilitätsbedingung

15.09.2012, 12:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrabilitätsbedingung Meine Frage: Hallo Leute, in unserem Skript steht die Integrabilitäsbedingung: $\begin{eqnarray} \partial_if_k = \partial_kf_i \end{eqnarray}$ bislang wusste ich nicht was die mir eigentlich sagen soll, bis ich auf die Aufgabe gestoßen bin zu prüfen, ob es eine Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ gibt, für die gilt: $\begin{eqnarray} \partial_xf(x,y)=y-3e^{-3x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_yf(x,y) =x+7cos(7y) \end{eqnarray}$ Geh ich nun Recht in der Annahme, dass eine solche Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ immer dann existier, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist?? Meine Ideen: Danke!
15.09.2012, 12:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrabilitätsbedingung Hallo, was ist denn nun $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Meinst du $\begin{eqnarray} \partial_xF(x,y)=\dotso \end{eqnarray}$ ? Dann wäre deine Vermutung richtig. Generell: Für $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ gibt es genau dann eine Funktion $\begin{eqnarray} F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_i=\partial_iF \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} i=1,\dotsc,n \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} f=\begin{pmatrix}\partial_1F\\\vdots\\\partial_nF\end{pmatrix}=\nabla F \end{eqnarray}$ , wenn gilt, dass $\begin{eqnarray} \partial_if_k=\partial_kf_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i,k=1,\dotsc,n \end{eqnarray}$ . (Satz von Schwarz) mfg, Ché Netzer

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