Ableitung

15.09.2012, 16:39

greg118

Ableitung

Meine Frage:
Ich habe hier eine Funktion die ich ableiten soll, aber nicht verstehe wie das Ergebnis zustande kommt. Bräuchte eine ausführlichen Lösungsweg der für Idioten erklärt wird.:-)

f(x)= (-32*x)/((x^2)-1)^2

Lösung

f´(x)= ((96*x^2)+32)/((x^2)-1)^3

Meine Ideen:
Ich würde ja die Quotientenregel anwenden, aber irgendwie komme ich dann nicht annähernd an das richtige ergebniss.

15.09.2012, 16:45

Gast11022013

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Wie würdest du den die Quotientenregel anwenden? Hier brauchst du auch noch die Kettenregel.

Lautet die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{32x}{(x^2-1)^2} \end{eqnarray*}$

Edit: Wenn die Funktion so lautet wie oben angegeben ist deine angegebene Lösung falsch.

15.09.2012, 17:23

greg118

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wieso die kettenregel? ich blick da einfach nicht durch wann ich welche Regel wie anwenden muss!

wolfram.com und mein prof sagen aber beide, dass

f(x)=(-32*x)/((x^2)-1)^2
f´(x)=((96*x^2)+32)/(((x^2)-1)^3)

15.09.2012, 17:28

Gast11022013

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Ups hab oben das Minuszeichen übersehen.

Also

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-32x}{(x^2-1)^2} \end{eqnarray*}$

Hier liegt ein Bruch vor. Also ist die Quotientenregel das erste was einem in den Sinn kommt. Meistens beschränken sich Ableitungen nicht nur auf eine Regel sondern auf mehrere. Hier benötigst du um den Nenner zu differenzieren die Kettenregel.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u}{v} f '(x)=\frac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2} u=-32x v=(x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

Wie lauten u' und v' ?

15.09.2012, 19:53

greg118

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ist das so richtig?
u´=32
und
v´=2(x^2-1)*(2x)

15.09.2012, 19:59

Gast11022013

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Wenn du

u'=-32

meinst, wovon ich mal ausgehe, ist dies richtig.

v' hast du korrekt mit der Kettenregel differenziert. Deshalb handelt es sich hier eben um diesen "Mix" von Quotienten- und Kettenregel.

Jetzt hast du die Ableitungshäpchen schön beisammen und musst lediglich in die Formel für die Quotientenregel einsetzen. Danach zusammenfassen.

Tipp: Zu erst gucken ob du Kürzen kannst.

16.09.2012, 11:15

greg118

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Also wäre es dann

(-32x^2+32-(32x*(x^2-1)*2x)/(x^2-1)^4 ???

16.09.2012, 16:48

Gast11022013

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Nein.

Die Quotientenregel lautet doch:

$\begin{eqnarray*} f '(x)=\frac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

(-32x^2+32-(-32x*(x^2-1)*2x*2)/(x^2-1)^4

Wir hatten ja schon festgestellt, dass die Stückchen aus denen sich unsere Ableitung zusammensetzt

$\begin{eqnarray*} u=-32x u '=-32 v=(x^2-1)^2 v'=2\cdot 2x\cdot (x^2-1) \end{eqnarray*}$

ist.

Demnach:

$\begin{eqnarray*} f '(x)=\frac{-32(x^2-1)^2-(-32x\cdot 2\cdot 2x\cdot (x^2-1)}{(x^2-1)^4} \end{eqnarray*}$

Die Fehler bzw. unterschlagenen Teile (du vergisst mit 2 zu multiplizieren und zu quadrieren.) habe ich in deiner Version rot markiert. Du solltest bevor du anfängst zusammenzufassen erst einmal mit $\begin{eqnarray*} (x^2-1) \end{eqnarray*}$ kürzen.

17.09.2012, 17:50

greg118

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ja super, ich hab es jetzt auch. ich überseh eingach immer zu viel!
vielen dank!

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