Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebesgue) Korrektur

15.09.2012, 20:36

steviehawk

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Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebesgue) Korrektur

Meine Frage:
Hallo Leute, ich versuche gerade ein paar kleiner Beweise zur Messbarkeit. Ich hab zu den Aufgaben leider keine Lösungen, aber vielleicht könnt ihr einen Blick drauf werfen!

1) Sei A und B lebesgue Messbar, dann auch die Vereinigung von A und B.

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ eine Folge messbarer disjunkter Mengen mit $\begin{eqnarray*} A_1 = A , A_2=B; A_3 = \emptyset \end{eqnarray*}$ dann ist auch: $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^n A_i \end{eqnarray*}$ messbar. Es gilt: $\begin{eqnarray*} A \cup B = \cup_{i=1}^n A_i \end{eqnarray*}$

wurde ja irgendwie vorrausgesetzt, dass A und B disjunkt sind, das weiß ich aber nicht !

Meine Ideen:
Danke!

15.09.2012, 20:47

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Hallo,

ihr dürft doch sicher benutzen, dass Komplemente und Vereinigungen messbarer Mengen messbar sind, oder?

mfg,
Ché Netzer

15.09.2012, 21:12

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
das sollte oben schon Vereinigung heißen nicht Schnitt!

15.09.2012, 21:20

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Na dann: Wie habt ihr die Lebesgue-Messbarkeit denn definiert und welche weiteren Hilfsmittel habt ihr schon bewiesen?

16.09.2012, 10:54

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Wir sollen eigentlich nur den Satz:

Sei n eine natürliche Zahl, dann gelten folgende Aussagen:

1) $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \subset L(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$

2) Sei $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} L(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ dann ist auch: $\begin{eqnarray*} \cup_{k=1}^{\infty} A_k \subset L(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$

3) Sei $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} L(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ dann ist auch: $\begin{eqnarray*} \cap_{k=1}^{\infty} A_k \subset L(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$

Also, ich hab mir ja im ersten Beitrag eine solche Folge defniert, die müssen ja garnicht disjunkt sein, damit dieser Satz gilt, also müsste es ja schon stimmen was im ersten Beitrag steht oder?

Für den Schnitt kann man es genau so machen!

16.09.2012, 11:12

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Sollen das wirklich Teilmengensymbole sein? Nicht eher $\begin{eqnarray*} \dots\in L(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ ?

Und sollt ihr diesen Satz zeigen oder benutzen?
Wenn ihr ihn nur benutzen müsst, dann war deine Anwendung tatsächlich richtig.
Edit: Wenn du $\begin{eqnarray*} A_k=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq3 \end{eqnarray*}$ meintest und dann die Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Und welche Folge wählst du dann für Schnitte?

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16.09.2012, 11:46

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ja stimmt, da muss Element von stehen, nicht Teilmenge! Und ja wir sollen diesen Satz verwenden nicht beweisen! Und die Vereinigung sollte nur von i=1 bis i=3 laufen!

16.09.2012, 11:52

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Dann könntest du den Satz aber nicht anwenden, der gilt ja nur für unendliche Vereinigungen.

16.09.2012, 12:39

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Oh stimmt! Dann kann ich mir doch $\begin{eqnarray*} A_k = \emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq 3 \end{eqnarray*}$ definieren, so wie du ja schon gesagt hast!

16.09.2012, 12:43

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ja, für die Schnitte musst du das aber natürlich noch etwas abändern.

16.09.2012, 13:34

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Mh für die Schnitt würde ich es so machen:

Sei $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ eine Folge lebesgue messbarer Mengen mit:

$\begin{eqnarray*} A_1 = A, A_2 = B, A_{k_{k \geq 3}} = \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

dann ist: $\begin{eqnarray*} \cap_{k=1}^{\infty} A_k \end{eqnarray*}$ lebesgue messbar und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \cap_{k=1}^{\infty} A_k = A \cap B \end{eqnarray*}$

wobei natürlich A und B Teilmengen des R^n sind!

passt das?

16.09.2012, 13:38

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sollten aber nicht nur Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sein, sondern auch messbar.
Ansonsten stimmt alles.
Übrigens kannst du auch \bigcup und \bigcap verwenden, das sieht dann etwas schöner aus.

In welchem Zusammenhang behandelt ihr das eigentlich bzw. in welchem Modul?
Hattet ihr den Begriff $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra definiert?

16.09.2012, 13:42

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Wir behandeln das ganze im Modul Analysis 2. Es sind 2 Kapitel mit den Überschriften:

1) Abstrakte Maß - und Integrationstheorie

2) Lebesgue Maß und Integration in R^n

Wir hatten aber im Grunde kaum Übungsaufgaben dazu, daher suche ich im Netz danach!

Bei bedarf kann ich auch den Link zum Skript posten!

Wenn ich den nächsten Beweis habe, dann poste ich hin wieder hier in diesen Beitrag!

16.09.2012, 13:47

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Hm, ich hätte die Themen andersrum angeordnet.
Brauchst du vielleicht noch weitere Aufgaben?

16.09.2012, 13:50

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ja Gerne! Sie sollte aber auch nicht zu krass sein.. Bin zwar ein fleißiger Student, aber gewiss kein Übergflieger, wie man an meinen Frage sicherlich sieht Prost

Prost

16.09.2012, 13:55

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Hattet ihr schon die Monotonie des Lebesgue-Maßes gezeigt? (oder eines allgemeinen Maßes)
Und auch die Formel $\begin{eqnarray*} \lambda(A\setminus B)=\lambda(A)-\lambda(B) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ ?

16.09.2012, 14:33

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Seien $\begin{eqnarray*} B \subset A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ lebesgue messbar. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} A = B \cup (A \setminus B) \end{eqnarray*}$ und es folgt:

$\begin{eqnarray*} \lambda(A) = \lambda(B \cup (A \setminus B)) = \lambda(B) - \lambda(A \setminus B) \end{eqnarray*}$

man sieht sofort: $\begin{eqnarray*} \lambda(A) - \lambda(B) = \lambda( (A \setminus B)) \end{eqnarray*}$

und: $\begin{eqnarray*} \lambda(B) = \lambda(A) - \lambda(A \setminus B) \leq \lambda(A) \end{eqnarray*}$

passt oder??

Ich hab hier mal eine Menge, von der ich das lebesgue Maß bestimmen möchte:

$\begin{eqnarray*} M_1 = ( [3,5) \times [1,2)) \cup ([3,5) \times [2,3)) \end{eqnarray*}$

so ich hab dann im Grunde zu rechnen: 2*1 + 2*1 = 4 oder??

Und wenn ich abgeschlossene Intervalle hab: $\begin{eqnarray*} [2,4] = [2,4) \cup \left\{4\right\} = 2 + 0 = 2 \end{eqnarray*}$

warum muss man bei solchen Rechnungen immer nur die rechte Seite öffnen?? Liegt das an der Definition?

16.09.2012, 14:45

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Passt.

Hattet ihr auch schon, dass Komplemente messbarer Mengen messbar sind?
Wenn ja, dann kannst du auch noch zeigen, dass allgemeine Differenzen messbarer Mengen messbar sind, was in der vorigen Aufgabe unterschlagen wurde.
Oder symmetrische Differenzen.
Ah, und
$\begin{eqnarray*} \lvert\lambda(A)-\lambda(B)\rvert\leq\lambda(A\triangle B)\,. \end{eqnarray*}$

Und ob die Intervalle offen, abgeschlossen, links halboffen oder rechts halboffen sind, spielt überhaupt keine Rolle.

16.09.2012, 14:51

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ich hab noch eine Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass die Menge: $\begin{eqnarray*} S = \left\{(x,y) \in \mathbb R^2 | 0 \leq \leq 1 , y=x\right\} \end{eqnarray*}$

Eine Lebesgue Nullmenge ist.

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda(S) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Dazu soll ich mir genau n Intervall definieren, die eine Intervallüberdeckung der Strecke S darstellen.

Und die Summe der Intervallmaße soll genau 1/n betragen.

So aus der Mengebeschreibung lese ich raus, dass $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ ist und ja im Grunde auch y, da y=x

hab aber noch Probleme wie ich diese Intervalle definiere!

16.09.2012, 14:59

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Dürft ihr denn nicht die Rotationsinvarianz des Lebesgue-Maßes benutzen? traurig

traurig

Aber was versteht ihr denn unter Intervallen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ?
Naja, $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist ja jedenfalls die Winkelhablierende im Einhetsquadrat.
Von daher kannst du tatsächlich erst Intervalle definieren, die $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ überdecken und diese dann quadrieren.
Wie würdest du denn $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Intervalle unterteilen?

16.09.2012, 15:06

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Okay, die einfach Lösung wäre also zu sagen, dass S eine Strecke ist und Strecken, sind die Abzählbare Vereinigung von Punkten. Punkte haben immer Maß Null, also Muss auch das Maß der Strecke Null sein. (mal Salopp gesagt)

Und die Intervallteilung überlege ich mir noch!

vielleicht so? $\begin{eqnarray*} [0,1] = [0,\frac{1}{n}) \cup [\frac{1}{n},\frac{2}{n}) \cup [\frac{2}{n},\frac{3}{n}) \cup ... \cup [\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}] \end{eqnarray*}$

jetzt hat zumindest jedes Intervall die Länge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

EDIT: Klammer verbesser!

16.09.2012, 15:08

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Abzählbare Vereinigung? Die Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar, $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ebenfalls.
Und die Zerlegung von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Intervalle ist recht intuitiv. Die Intervalllängen spielen dabei auch eine Rolle.

16.09.2012, 15:13

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ähm ich meine Überabzählbar! Dann stimmt doch die Begründung oder?

16.09.2012, 15:18

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist auch eine Vereinigung überabzählbar vieler Einpunktmengen...

Ja, die reineditierte Zerlegung stimmt; also einfach eine äquidistante Zerlegung. Aber zumindest das letzte Intervall solltest du abgeschlossen schreiben.
Und daraus kannst du jetzt eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ durch Quadrieren erhalten.
Dann deren Maße aufaddieren und $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachten.

16.09.2012, 15:22

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
mhh dann versteh ich nicht ganz, wie ich den Transformationsatz, bzw. die Invarianz anwenden soll!

16.09.2012, 15:23

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Wenn du die Rotationsinvarianz benutzen darfst, dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda(S)=\lambda\left([0,\sqrt2]\times\{0\}\right) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 15:30

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Also ich hab jetzt:

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^n (\frac{k-1}{n},\frac{k}{n})^2 \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ laufen lasse, haben meine Intervalle alle die Länge Null und so auch ist auch die Summe Null, also ist das Maß der Strecke S Null oder?

16.09.2012, 15:33

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Wie gesagt, du solltest lieber abgeschlossene Mengen benutzen.
Mit der Argumentation kommst du zwar auch auf Null, aber du solltest lieber die Summe der Quadratmaße berechnen und DANN $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich laufen lassen.

16.09.2012, 15:47

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Also:

$\begin{eqnarray*} S = \bigcup_{k=1}^n [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda(S) = \lambda( \bigcup_{k=1}^n [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]^2) = \lambda([0,\frac{1}{n}]^2 + ... + \lambda([\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}]^2) = \lambda([0,\frac{1}{n}] \times [0,\frac{1}{n}] ) + ... = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}+ ... = n \cdot (\frac{1}{n^2}) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und jetzt $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ??

16.09.2012, 15:51

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Die Berechnung stimmt, aber es ist $\begin{eqnarray*} S\subset\dotso \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda(S)\leq\dotso \end{eqnarray*}$ .

Noch ein $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Tipp:
\left und \right erzeugen z.B. $\begin{eqnarray*} \lambda\left(\bigcup_{k=1}^n\left[\frac{k-1}n,\frac kn\right]^2\right) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 15:54

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Das heißt, S ist nur eine Teilmenge meiner Überdeckung?? Also muss das Maß kleiner gleich Null sein, da es aber stets positiv ist, ist es auch Null oder?

Hat den R Maß unendlich??

Und bist du wirklich erst 17?? Wink

Wink

16.09.2012, 15:59

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ja, aus $\begin{eqnarray*} 0\leq\lambda(S)\leq\frac1n \end{eqnarray*}$ folgt im Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lambda(S)=0 \end{eqnarray*}$ .
Das Maß ist allerdings nicht stets positiv, sondern nur nichtnegativ.

Und klar hat $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ das Maß Unendlich; das wäre ja $\begin{eqnarray*} \lambda(\mathbb R)=\lambda(-\infty,\infty)=\infty+\infty=\infty \end{eqnarray*}$ .

Und ja, ich bin erst 17.

16.09.2012, 16:04

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
WOW Respekt, was du alles weißt mit 17, wie lange beschäftigst du dich schon mit solch komplexen Stoff?

16.09.2012, 16:07

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Etwa seit dem Wintersemester 2010/2011, als ich mit dem Schülerstudium begonnen habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Maßtheorie kam natürlich etwas später; im dritten Semester in Ana3; im Semester darauf nochmal in Maß- und Integrationstheorie. Und nächstes Semester nochmal in WT2... unglücklich

unglücklich

)

16.09.2012, 16:11

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Alles klar, dann viel Spaß weiterhin! Wenn ich wieder ne Aufgabe gefunden habe, dann poste ich wieder was! Oder du hast noch eine! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch eine Frage: Entspricht, das Lebesgue Maß einer Menge immer dem lebesgue Integral über dieser Menge mit f = Charakteristische Funktion?

16.09.2012, 16:12

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Wie wäre es hiermit:

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} \lvert\lambda(A)-\lambda(B)\rvert\leq\lambda(A\triangle B)\,. \end{eqnarray*}$

zum Edit: Ja, genau.

16.09.2012, 16:16

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
was heißt das Dreieck?

Noch ne Frage, wenn ich die Menge: $\begin{eqnarray*} [-1,1] \times [0,2] \end{eqnarray*}$ habe und jetzt das Integral über der Menge mit der Funktion $\begin{eqnarray*} 4x^3y - y \end{eqnarray*}$ habe. Dann kommt da -4 raus, das sagt auch Wolfram Alpha, aber im Grunde entspricht doch dieses Integral einem Volumen oder nicht, wie kann das negativ sein?

16.09.2012, 16:19

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Achso, ich dachte, das wäre bekannt. Das ist die symmetrische Differenz.
$\begin{eqnarray*} A\triangle B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\,. \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 16:21

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Was sind denn noch klassische Klausuraufgaben zum Thema Maßtheorie und Lebgesgue Maß??

Nachweiß von Nullmengen, Nachweiß von einem Maß, usw..??

16.09.2012, 16:27

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Hm... Messbarkeit von Funktionen wäre da auch noch interessant.
Z.B. die von
$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}x&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Ansonsten wid zu Maßen eher weniger abgefragt. Kommt aber auf die jeweilige Vorlesung an.

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