Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebesgue) Korrektur - Seite 2

16.09.2012, 16:52

steviehawk

RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}x&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist ja fast überall Null, da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist. Kann ich dann sagen, f(x) = g(x)= 0 fast überall und da g stetig ist, ist g messbar und dann ist auch f messbar??

16.09.2012, 16:56

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Nein, würde man $\begin{eqnarray*} \{\emptyset,\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra des Bildraumes wählen, würde deine Argumentation unangetastet bleiben, aber messbar wäre die Funktion nicht mehr.
Da solltest du ein Messbarkeitskriterium verwenden, dass ihr sicher schon hättet, nämlich dass die Urbilder von $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , stets messbar sind. Von mir aus auch von $\begin{eqnarray*} [t,\infty) \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 17:18

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ach ja, da war was! Aber ich weiß nicht so recht, wie ich das Anwende.

Im Skript steht: Sei $\begin{eqnarray*} (X,M) \end{eqnarray*}$ ein Messraum. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to \overline{ \mathbb R} \end{eqnarray*}$ heißt messbar, falls für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ x \in X | f(x) > t\right\} \in M \end{eqnarray*}$

Das heißt, ja dass das Urbild offen ist, (man kann auch abgeschlossene Def. nehmen) und dann ist die Menge in der Borel - Sigma - Algebra.

Wenn ich ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus den Intervall $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ wähle, dann muss das Urbild ja a sein, also eine rationale Zahl, und die Menge der rationlen Zahlen ist Messbar, hat allerdings Maß Null, aber das spielt ja keine Rolle. Also ist die Uribildmenge gleich die rationale Zahlen und die sind messbar..

so irgendwie?

Wenn ich nur Begründen muss, dass die Urbilder messbar sind, recht es dann zu sagen, das Q und R\Q messbar sind?

16.09.2012, 17:27

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!

Zitat:

Original von steviehawk
Ach ja, da war was! Aber ich weiß nicht so recht, wie ich das Anwende.

Im Skript steht: Sei $\begin{eqnarray*} (X,M) \end{eqnarray*}$ ein Messraum. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to \overline{ \mathbb R} \end{eqnarray*}$ heißt messbar, falls für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ x \in X | f(x) > t\right\} \in M \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles in Ordnung.
Mit Abgeschlossenheit hat das aber nichts zu tun.
Das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(t,\infty) \end{eqnarray*}$ soll messbar sein.
Als erstes musst du dazu das Urbild von $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ bestimmen. (von der gesamten Menge, nicht von einem $\begin{eqnarray*} a\in(t,\infty) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 17:31

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ich kann doch in die Funktion nur einzelne Punkte einsetzen und es kommen doch auch nur solche raus, wie kann ich dann das Urbild von einem Intervall bestimmen?

16.09.2012, 17:34

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Dann sieh dir doch mal die Definition des Urbildes an Augenzwinkern

16.09.2012, 17:42

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ah okay, ich sehe, $\begin{eqnarray*} f^{-1}(t,\infty) = \left\{ x \in \mathbb R | f(x) \in (t,\infty)\right\} \end{eqnarray*}$

Okay, also dann:

$\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}((t,\infty)) = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist messbar!

16.09.2012, 17:44

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
nein, noch nicht ganz.
Mache eine Fallunterscheidung:
$\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\geq0 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Sehe gerade, dass das auch nicht nötig ist.
Aber das Urbild stimmt trotzdem nicht, das ist nämlich nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 17:49

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \setminus 0 \end{eqnarray*}$ ?

16.09.2012, 17:51

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ich merke gerade, dass du doch eine Fallunterscheidung brauchst Hammer

Also als erstes $\begin{eqnarray*} t\geq0 \end{eqnarray*}$ .
Was ist dann das Urbild von $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ ?
Bzw. bist du dir sicher, dass auch negative rationale Zahlen im Urbild liegen?

16.09.2012, 18:32

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Okay, also das Urbild von $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_+ \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} t < 0 \end{eqnarray*}$ ist ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Urbild

16.09.2012, 18:35

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Nein, das ist nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_+ \end{eqnarray*}$ .
Immerhin liegt z.B. Eins nicht im Urbild von $\begin{eqnarray*} (1,\infty) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 18:45

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} U = \left\{ x \in \mathbb Q| x > t \right\} \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 18:50

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Gefällt mir schon besser Augenzwinkern

Oder auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\cap(t,\infty) \end{eqnarray*}$ .
Und für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ kommt noch etwas hinzu.

16.09.2012, 18:55

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Deckt die Definition von mir den Fall nicht auch ab?

16.09.2012, 19:01

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Nicht ganz, da fehlt nämlich noch das Urbild von der Null.

16.09.2012, 19:05

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
okay, also die Null noch mit rein! Und diese Menge ist nun messbar, also ist f messbar!

16.09.2012, 19:20

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Also ich hab irgendwie den Faden verloren! Hammer

16.09.2012, 19:57

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Das Urbild der Null Augenzwinkern

Das ist nämlich nicht nur Null.
Für welche Argumente wird die Funktion denn Null?

16.09.2012, 20:08

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Naja für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist die Funktion ja auch Null!

Wie schreibe ich jetzt das Urbild auf? Das Urbild muss dann messbar sein.. oder zumindest eine eigenschaft haben, woraus die Messbarkeit folgt oder?

16.09.2012, 20:14

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ja, $\begin{eqnarray*} f^{-1}(t,\infty=\begin{cases}\mathbb Q\cap(t,\infty)&t\geq0\\\mathbb R\setminus(\mathbb Q\cap(-\infty,t])&t<0\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Und klar muss das Urbild messbar sein. Wenn es eine Eigenschaft hat, aus der die Messbarkeit folgt, dann ist es auch messbar...

16.09.2012, 20:32

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Also wenn nun dieses Urbild messbar ist, dann folgt daraus, dass die Funktion messbar war!??

Ist das also der übliche Weg?

Ich schaue "einfach" das Urbild des Intervalls $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ an und wenn es eine messbare Menge ist, dann ist die Funktion messbar.

Weil messbare Funktionen messbare Mengen auf messbare Mengen abbilden und das Intervall $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ ist ja messbar.

16.09.2012, 21:59

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ja, wenn man die Messbarkeit einer Funktion nachweisen möchte, zeigt man, dass Urbilder messbarer Mengen messbar sind.

Die Begründung, dass messbare Mengen auf messbare Mengen abgebildet werden, ist aber nicht die Richtige.
Sei z.B. $\begin{eqnarray*} A=\{\emptyset,\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Borel- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Jetzt definiert man $\begin{eqnarray*} f\colon(\mathbb R,A)\to(\mathbb R,B) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ oder so.
Dann werden messbare Mengen auf messbare Mengen abgebildet ( $\begin{eqnarray*} f(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ), aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht messbar, da solche Funktion ( $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,A)\to(\mathbb R,B) \end{eqnarray*}$ ) genau dann messbar sind, wenn sie konstant sind. (weitere Übungsaufgabe für dich, wenn du möchtest. Kam bei uns auch einmal in einer Klausur dran)

17.09.2012, 19:56

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Hey ich hab gerade nochmal den Beweis zur Nullmenge der ersten Winkelhalbierenden im Einheitsquadrat angeschaut!

Mir ist aufgefallen, dass man doch das Maß der Vereinigung nur als Summe der einzelnen Schreiben kann, wenn diese alle disjunkt sind. Wenn ich abgeschlossene Intervalle wähle, dann sind diese doch nicht alles disjunkt!!!

Also warum kann ich das dennoch umschreiben?? Und bitte sag jetzt nicht, der Beweis ist dann doch falsch!!! verwirrt

17.09.2012, 20:12

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Naja, man entweder das Maß von den Überschneidungen abziehen (jeweils $\begin{eqnarray*} \{\tfrac kn\}^2 \end{eqnarray*}$ mit Maß Null) oder man wählt direkt $\begin{eqnarray*} \left[\frac{k-1}n,\frac kn\right)^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[\frac{n-1}n,\frac nn\right]^2 \end{eqnarray*}$ als Überdeckung.
Oder aber man verwendet statt der Additivität die Subadditivität.
$\begin{eqnarray*} \lambda(S)\leq\lambda\left(\bigcup A_n\right)\leq\sum\lambda(A_n)\,, \end{eqnarray*}$
wobei ich jetzt mal die Intervalle und Indizes abgekürzt habe (das zu schreiben dauert aber wohl länger, als sie auszuschreiben verwirrt

). Es war doch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , oder? Oder $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

17.09.2012, 20:37

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ahh Perfekt, vielen Dank! Hammer

18.09.2012, 12:02

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Ich versuche mich mal an dem vorgeschlagenen Beweis:

$\begin{eqnarray*} Sei A = \left\{ \mathbb R, \emptyset \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Borel - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra. Zu zeigen die Funktion: $\begin{eqnarray*} f: \left\{ \mathbb R, A \right\} \to \left\{ \mathbb R, B \right\} \end{eqnarray*}$ Ist genau dann messbar, wenn sie konstant ist:

$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \end{eqnarray*}$ Sei also die Funktion f konstant. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ich betrachte die Urbilder.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) = \left\{ a \in \mathbb R| f(a) \in B \right\} = \left\{ a \in \mathbb R| b \in B \right\} = \begin{cases} \emptyset &\ b \notin B\\ \mathbb R&\ b\in B\end{cases} \end{eqnarray*}$

Die beiden Urbilder, sind in der Sigma - Algebra enthalten, also sind sie messbar, dann ist auch die Funktion messbar.Die die messbaren Menge, messbare Menge als Urbilder haben.

Soweit mal die Hinrichtung!

18.09.2012, 13:28

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} = \left\{ a \in \mathbb R| b \in B \right\} \end{eqnarray*}$

Auf diesen Schritt hätte ich verzichtet, das sieht noch schön aus...
Ansonsten ist die Doppelbelegung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ recht ungünstig, inhaltlich passt aber alles.

Für die Rückrichtung ein Tipp: Es gibt mindestens ein Element im Bildbereich, sonst wäre es ja keine Funktion.

23.01.2013, 11:19

steviehawk

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Was war denn jetzt eigentlich mit dem Volumen auf Seite 3 bzw. dem Integral was negativ wurde??

Gruß stevie! Wink

23.01.2013, 16:02

Che Netzer

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RE: Einige Beweise zur Messbarkeit (Lebsgue) Korrektur!
Von "gewöhnlichen" Integralen kennst du doch sicher auch etwas wie eine orientierte Fläche, oder?
D.h. $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^1x\dx<0 \end{eqnarray*}$ .
Hier ist das genauso; der negative Teil der Funktion überwiegt dann.

Um das tatsächliche Volumen zu berechnen, müsstest du den Betrag der Funktion integrieren.

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