Lagrange

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Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange
Meine Frage:
Hallo leute ich stecke im moment bei dieser aufgabe fest:

Gegeben seien die Funktionen

f: R^2 pfeil R
f(x,y) = e^{x+3y}

R^2 pfeil R

g(x,y) = x^2 +y^2 -10

Bestimmen Sie die Extrema von f unter der Nebenbedingung g(x,y) = 0.





Meine Ideen:
mEIN ANSATZ.

fx = e^{x+3y}

fy = 3*e^{x+3y}

gx = 2x

gy = 2y


e^{x+3y} +lambda*2x= 0

3*e^{x+3y}+ lambda*2y= 0
x^2 +y^2 -10 = 0

KAnn mir jemand helfen das Lgs zu lösen bitte.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde jetzt sowohl bei der Ableitung nach x, als auch bei der Ableitung nach y, die Ausdrücke mit lambda auf die rechte Seite bringen.

Dann die beiden Gleichungen durch einander teilen. Damit erhält man schon mal das Verhältnis von x zu y.

Mit freundlichen Grüßen.
 
 
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

e^{x+3y} = -lambda2x

3*e^{x+3y} = -lambda2y

Wie muss ich weiter vorgehen ?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt die beiden Gleichungen durcheinander teilen.

linke Seite:

rechte Seite: gleiche Vorgehensweise.

Dann nach x oder y auflösen.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Linke seite bleibt

1/3 = 2x/2y

Ich wusste gar nicht das man so vorgehen kann .

Was mache ich als nächstes ?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Es funktioniert. smile

Die rechte Seite kürzen.

Dann nach x oder y auflösen.

Du musst die Lagrange-Funktion dann erst noch nach lambda ableiten.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll ich nach lambda ableiten?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die lagrange-Funktion:



Und die Ableitung ebenfalls Null setzen.

Also:



Die Ableitung ist im Prinzip ganz einfach.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf diese Funktion . Das verstehe ich gar nicht.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eigentlich die Lagrange-Funktion.

L(lambda, x) = f(x,y)+lambda*(g(x,y)-c)

g(x,y) ist hier:
c ist 10
f(x,y) ist hier:

In etwas modifizierter Form steht die Formel auch hier: Link
Am Ende von Seite 12.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir auch dieses Beispiel ansehen. Das ist relativ anschaulich: Link
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die dritte gleichung ist doch die nebenbedingung = 0 oder ?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Absolut korrekt. Freude

Hast du schon nach x oder y aufgelöst?
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

x^2 +y^2 -10 = 0


y^2 = -x^2 +10

Wo setze ich das jetzt ein?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte nicht, dass du die Nebenbedingung nach x auflöst. Sondern: Du hast ja voher mit den Ableitungen nach x und y ein Verhältnis von x und y bestimmt.

Ich schrieb:

Zitat:
Die rechte Seite kürzen.

Dann nach x oder y auflösen.


Hast du das schon gemacht? Und was hast du raus?
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das verhältnis , was mache ich damit?

1/3 = 2x/2y
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Die rechte Seite erstmal kürzen. Bietet sich ja an. Dann nach x oder y auflösen.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

nach x aufgelöst wäre y/3 .

Wo setze ich das ein?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Das setzt du jetzt in deine Ableitung nach ein:

Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann

y^2/9 +y^2 -10 = 0

Aber das hilft mir doch nicht oder ?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch. Du kannst jetzt einen konkreten Wert für y bestimmen. Die beiden ersten Summanden auf der linken Seite haben die "Einheit" . Somit kannst diese problemlos zusammenfassen.

Die -10 kannst du dann noch auf die rechte Seite bringen.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich 10y^2/9 = 10

y1 = wurzel aus 90

y2 = - wurzel aus 90

Richtig?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung stimmt. Freude
Dein Ergebnis stimmt leider nicht.

Ich schreib es mal auf:



Jetzt kannst du erstmal die Gleichung durch 10 teilen.
Dann die Gleichung mit 9 multiplizieren.
Und y bestimmen.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt +- 3 raus?

für y?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut. Freude

Damit

Zitat:
nach x aufgelöst wäre y/3 .


kannst du zu den beiden y-Werten die jeweiligen x-Werte bestimmen.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok dann hätte ich die Punkte ( 1/ 3)

und ( 1/ -3 ) oder?

Wie müsste ich jetzt weiter vorgehen?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst (1/3) und (-1/-3). Freude Freude

Jetzt kannst du jeweils die Punkte in f(x,y) einsetzen und somit die beiden Extrempunkte (x/y/z) angeben.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja da ist mir aus versehen ein fehler unterlaufen .

Hab jetzt die Punkte eingesetzt:

für (1/3) bekomme ich e^{10}

für (-1/-3) bekomme ich e^{-10}

Was sagen mir die werte genau?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Punkte und sind Extrempunkte der Funktion f(x,y) unter der Nebenbedingung g(x,y)

Mehr sagen die Punkte erst einmal nicht.
Man kann die Lagrangemethode für bestimmte Zwecke benutzen. Zum Beispiel die maximale Produktionsmenge bei gegebenen Budget.
Aber auch noch in vielen, vielen ganz anderen Zusammenhängen kann man die Lagrangefunktion verwenden.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss doch jetzt irgendwie gucken ob hochpunkt oder tiefpunkt vorliegt oder ?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht zumindest nichts in der Aufgabenstellung:

Zitat:
Bestimmen Sie die Extrema von f unter der Nebenbedingung g(x,y) = 0.


Zumindest interpretiere ich das so.
Jason008 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine lagrange aufgabe vielleicht kannst du mir dort auch helfen.

Ich poste sie zumindest mal.

Ansonsten danke
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen75

Die Ableitung nach ist NICHT notwendig, deswegen war der Fragesteller auch verunsichert!

Da diese Ableitung GLEICH der Nebenbedingung selbst ist, wird direkt mit ihr gerechnet bzw. sofort in diese eingesetzt.

mY+
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