Existiert ein Isomorphismus?

15.09.2012, 22:11

Gast11022013

Existiert ein Isomorphismus?

Meine Frage:
Überlegen Sie, ob es einen Isomorphismus zwischen der additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}_{>0} \end{eqnarray*}$ geben kann.

Meine Ideen:
Moin, moin! Ich würde das per Widerspruch beweisen:

Gäbe es so einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , wäre dieser insbesondere surjektiv:

$\begin{eqnarray*} \exists~a\in\mathbb{Q}: \varphi(a)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\ni b:=\frac{1}{2}a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \underbrace{\varphi(b)}_{\in\mathbb{Q}_{>0}}\cdot\underbrace{\varphi(b)}_{\in\mathbb{Q}_{>0}}=\varphi(b+b)=\varphi(a)=2 \end{eqnarray*}$

Widerspruch! $\begin{eqnarray*} \left(\nexists~q\in\mathbb{Q}_{>0}: q^2=2\right) \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 06:10

Mystic

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RE: Existiert ein Isomorphismus?
Ja, geht in Ordnung, wenngleich ich mich wundere, wie man eine Frage beweisen kann... Big Laugh

Der Profi würde übrigens das so ausdrücken: Die additive Gruppe der rationalen Zahlen ist teilbar, die multiplikative natürlich nicht...

16.09.2012, 09:50

Gast11022013

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RE: Existiert ein Isomorphismus?

Zitat:

Original von Mystic

Ja, geht in Ordnung, wenngleich ich mich wundere, wie man eine Frage beweisen kann... Big Laugh

Oh, stimmt. Das war wirklich unglücklich formuliert.

Zitat:

Original von Mystic

Der Profi würde übrigens das so ausdrücken: Die additive Gruppe der rationalen Zahlen ist teilbar, die multiplikative natürlich nicht...

Danke für den Hinweis.

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