Extremwerte 2

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16.09.2012, 03:56	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte 2 Meine Frage: Ich habe leider eine weitere Aufgabe bei der ich probleme hab vielleicht kann mir jemand helfen: Sei f [ -1, 1 ] x [ -1,1] pfeil R definiert durch f(x,y) = e^{x^2+y^2} * ( x^2 +y^2 -1 )^2 Bestimmen Sie das globale Maximum und das globale Minimum der Funktionswerte von f. Hab nach x und y abgeleitet: fx = e^{x^2+y^2}4x(x^2 +y^2-1)+2xe^{x^2+y^2} (x^2 +y^2-1) fy = e^{x^2+y^2}4y(x^2 +y^2-1)+2ye^{x^2+y^2} (x^2 +y^2-1) Kann mir jemand sagen wie ich das LGS lösen kann. Das erscheint mir ziemlich schwer, weil ich muss ja fx = 0 fy = 0 setzen. Meine Ideen: keine
16.09.2012, 13:04	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand tips geben wie ich hier vorgehen könnte?
16.09.2012, 15:30	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich werde dir mal bei dem Auflösen nach x helfen: $\begin{eqnarray} f(x) = 4xe^{x^2+y^2}(x^2 +y^2-1)+2xe^{x^2+y^2} * (x^2 +y^2-1) = 0 \end{eqnarray}$ Die Gleichung kann man erstmal zusammenfassen Jetzt formst du die Gleichung so um, dass sie aus 3 Summanden besteht. Auf diese Gleichung solltest du kommen: $\begin{eqnarray} fx = -6xe^{x^2+y^2}+6xy²e^{x^2 +y^2}+6x³e^{x^2+y^2}=0 \end{eqnarray*}$ Diese kann man gut nach 0 lösen (Stichwort: Natürlicher Logarithmus) Gruß, thechus
16.09.2012, 15:38	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Leute ich habe einen fehler bei meinen Ableitungen gefunden . Ich hatte vergessen das quadrat. fx = e^{x^2+y^2}4x(x^2 +y^2-1)+2xe^{x^2+y^2} (x^2 +y^2-1)^2 fy = e^{x^2+y^2}4y(x^2 +y^2-1)+2ye^{x^2+y^2} (x^2 +y^2-1)^2 Dann stimmt wohl deine rechnung nicht oder?
16.09.2012, 15:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte 2 Vergesst das mit den Ableitungen, die braucht man hier nicht. Vielleicht hilft der Hinweis $\begin{eqnarray} x^2+y^2=\lVert(x,y)\rVert^2_2 \end{eqnarray}$ . @thechus: Wo würdest du da eigentlich den Logarithmus benutzen wollen?
16.09.2012, 15:48	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll ich denn dann genau machen Chenetzer? Was meinst du mit deinem Hinweis genau?
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16.09.2012, 15:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion besteht aus zwei Faktoren, die stets nichtnegativ sind. Das Minimum lässt sich damit schnell finden; der rechte Term ist symmetrisch und hat ein Maximum auf dem Rand (bzw. "in den Ecken") und eines im Innern, jeweils mit demselben Wert; von den beiden ist nur eines auch Maximalstelle des linken Faktors. Edit: Der Hinweis soll zeigen, dass man auch $\begin{eqnarray} [0,2]\mapsto\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x\mapsto\mathrm e^x(x-1)^2 \end{eqnarray}$ betrachten kann.
16.09.2012, 15:57	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach.. Der Log. ist Schwachsinn. Den hirnreichen Einfall hatte ich am ende nochmal... Durch e^... teilen hätte es da getan. Das quadrat überfordert mich grad ein wenig Die Ableitung ist wohl auch überflüssig.
16.09.2012, 16:02	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bist du auf diese funktion gekommen chenetzer . DAs verstehe ich gar nicht.
16.09.2012, 16:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Term $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\in[-1,1]^2 \end{eqnarray}$ liegt zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ .
16.09.2012, 16:13	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok aber wieso hast du dann diese funktion auf einmal geschrieben: e^x *(x-1)^2
16.09.2012, 16:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht? Man könnte ja auch $\begin{eqnarray} x^2+y^2\mapsto\mathrm e^{x^2+y^2}(x^2+y^2-1)^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x^2+y^2\in[0,2] \end{eqnarray}$ schreiben. Aber naja...
16.09.2012, 16:28	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid wenn ich nochmal so blöd frage wie bist du auf diese funktion gekommen: e^x *(x-1)^2
16.09.2012, 16:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem ich statt $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ irgendetwas anderes geschrieben habe.
16.09.2012, 16:31	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso schreibt man dafür was anderes?
16.09.2012, 16:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil man weiß, dass der Term $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ kommt. Und da es nur um Minimum und Maximum der Funktionswerte geht, kann man dafür auch irgendetwas anderes schreiben, was aus $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ kommt.
16.09.2012, 16:35	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kriege ich jetzt genau die extremwerte raus?
16.09.2012, 16:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben $\begin{eqnarray} \mathrm e^x\geq0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x-1)^2\geq0 \end{eqnarray}$ . Wird das Minimum Null erreicht? Und wo wird $\begin{eqnarray} (x-1)^2 \end{eqnarray}$ maximal? Und wo $\begin{eqnarray} \mathrm e^x \end{eqnarray}$ ?
16.09.2012, 16:40	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
e^0 = 1 hier ist es maximal oder ? (x-1)^2 = x^2 -2x+1 ist bei 1 = 0
16.09.2012, 16:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst mir also sagen, dass $\begin{eqnarray} \mathrm e^0\leq\mathrm e^x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in[0,2] \end{eqnarray}$ ? Damit wäre die Exponentialfunktion monoton fallend. Und 1=0 hört sich auch nicht gerade toll an. Du meintest wohl, dass der rechte Faktor für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ Null wird. Was sagt das über das globale Minimum aus?
16.09.2012, 16:46	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder stelle ich jetzt eine hessematrix auf oder ich setze diesen Punkt in die Ursprungsfunktion ein und schaue was rauskommt. DAnn kann ich erst über minima oder so was sagen oder?
16.09.2012, 16:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit der Hessematrix solltest du schnell wieder verwerfen. Wenn $\begin{eqnarray} f(x)\geq0 \end{eqnarray}$ auf dem gesamten Definitionsbereich und $\begin{eqnarray} f(1)=0 \end{eqnarray}$ , was kannst du dann über globale Minima sagen? Sieh dir nochmal die eigentliche Definition eines Extremums an; da ist von Ableitungen nicht die Rede.
16.09.2012, 16:57	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste an den Punkt (1/0) ein extremum vorliegen?
16.09.2012, 16:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso gerade $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ ? Wieso nicht auch in $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ ? Oder $\begin{eqnarray} (\tfrac12,\tfrac12) \end{eqnarray}$ ? Und wieso suchst du wieder Extremstellen der ursprünglichen Funktion? Und wen interessieren die Extremstellen denn hier überhaupt??
16.09.2012, 17:01	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil bei 1 die Nullstelle vorliegt?
16.09.2012, 17:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei 1 aus dem Definitionsbereich der neuen Funktion. Die Extremstellen sind aber ziemlich egal; es sollen ja nur Minimum und Maximum der Funktionswerte bestimmt werden.
16.09.2012, 17:04	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was mache ich dann genau weiter?
16.09.2012, 17:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Maximum suchen. Wo wird $\begin{eqnarray} \mathrm e^x \end{eqnarray}$ maximal? Und wo wird $\begin{eqnarray} (x-1)^2 \end{eqnarray}$ maximal?
16.09.2012, 17:13	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie finde ich das raus?
16.09.2012, 17:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie verhält sich denn $\begin{eqnarray} \mathrm e^x \end{eqnarray}$ bei steigendem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? Und wie $\begin{eqnarray} (x-1)^2 \end{eqnarray}$ , wenn man sich von der Eins entfernt?
16.09.2012, 17:17	Jason008	Auf diesen Beitrag antworten »
ehoch unendlich geht gegen unendlich? Die zweite funktion steigt beim steigenden wert gegen unendlich.
16.09.2012, 17:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, aber wir haben ja $\begin{eqnarray} x\in[0,2] \end{eqnarray}$ .

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