Wahrscheinlichkeit in Reihe und Kreis |
| 16.09.2012, 12:50 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wahrscheinlichkeit in Reihe und Kreis Ich habe aktuell eine Aufgabe, welche ich rechnerisch nicht komplett lösen kann. 5 Personen gehen in ein Restaurant essen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person A neben Person B sitzt, Person C aber nicht neben Person D, wenn: a) alle in einer Reihe sitzen b) alle an einem runden Tisch sitzen zu a) G=Anzahl Personen X=Zahl der Personen die nebeneinander sitzen Zuerst die Wahrscheinlichkeit das A neben B sitzt P(A) = (X! * (G - (X - 1))!) / G! P(A) = (2! * 4!) / 5! = 2 / 5 Nun die Wahrscheinlichkeit, dass C nicht neben D sitzt. Ich denke das ist das komplementäre Ereignis zu P(A) - also ist das Ergebnis 3 / 5. Wie komme ich jetzt aber zum Endergebnis? Zeichnerisch habe ich 1 / 5 raus. Es gibt bestimmt auch noch wesentlich kürzere Rechnungen dafür oder? zu b) analog zu a G=Anzahl Personen X=Zahl der Personen die nebeneinander sitzen Zuerst die Wahrscheinlichkeit das A neben B sitzt P(A) = (X! * (G - (X - 1))!) + (X! * (G - (X)!)) / G! P(A) = (2! * 4!) + (2! * 3!) / 5! = 1 / 2 Nun die Wahrscheinlichkeit, dass C nicht neben D sitzt. Ich denke das ist das komplementäre Ereignis zu P(A) - also ist das Ergebnis auch 1 / 2. Auch hier wieder die Frage nach dem Gesamtergebnis. Wäre schön wenn jemand mir hier helfen könnte MFG ha_celine |
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| 16.09.2012, 13:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Ereignis wie die Person auch A zu nennen, führt vielleicht zu Verwirrungen, deswegen bezeichne ich mal ... Person A sitzt neben Person B ... Person C sitzt nicht neben Person D Du willst nun in a) sowie b) die Wahrscheinlichkeiten und berechnen - ich würde die Aufgabenformulierung aber so verstehen, dass dort gesucht ist! |
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| 16.09.2012, 15:07 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo HAL 9000, Danke schonmal für deine Antwort. Du hast Recht U und V ist nicht so verwirrend. Ebenso ist es richtig, das P(U und V) gesucht ist. Ich fand aber keine andere Herangehensweise als meine bisher. Kannst du mir mal etwas ausführlicher auf die Sprünge helfen. Liebe Grüße |
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| 17.09.2012, 11:02 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Plätze seien in der Reihenfolge nummeriert, wie sie nebeneinander stehen. a) Betrachte 2 Fälle: - A und B sitzen auf den Plätzen 1 und 2 bzw. auf den Plätzen 4 und 5. Dann muss E auf dem Platz 4 bzw auf dem Platz 2 sitzen - Aund B sitzen auf den Plätzen 2 und 3 bzw. 3 und 4. Dann muss E auf dem Platz 4 oder 5 bzw. auf dem Platz 1 oder 2 sitzen. b) A sitzt beliebig. B muss auf einem der beiden Nachbarplätze sitzen. E muss auf dem mittleren der 3 noch freien Plätze sitzen. |
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| 17.09.2012, 11:42 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Huggy, Soweit einleuchtend A und B sitzen auf den Plätzen 1 und 2 bzw. auf den Plätzen 4 und 5. Dann muss E auf dem Platz 4 bzw auf dem Platz 3 sitzen Ich denke hier meintest du "Dann muss E auf Platz 4 bzw. Platz 2 sitzen Aber wie ist nun die Berechnung dazu? Ich habe ja meine Lösungsansätze schon mal geschrieben, bin aber nicht wirklich sicher, ob das die richtige Herangehensweise ist. Viele Grüße ha_celine |
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| 17.09.2012, 11:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das war ein Dreckfuhler. Habe es editiert. Die Berechnug kann man ganz elementar ohne Formelkram angehen. Betrachten wir mal den ersten Teil von a). A und B sollen auf den Plätzen 1 und 2 bzw. 4 und 5 sitzen. Dafür gibt es 4 Möglichkeiten, die alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, nämlich 12, 21, 45, 54 . Man muss als nur eine ausrechnen und dann mit 4 multiplzieren. Und die Wahrscheinlichkeit, dass A auf Platz 1 und B auf Platz 2 sitzt, ist doch leicht auszurechnen. Das ist dann noch mit der Wahrscheinlichkeit zu multiplzieren, dass E auf dem richtigen Platz sitzt. |
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| 17.09.2012, 13:01 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Huggy, zu erster Teil von a) Die Wahrscheinlichkeit, dass A auf 1 und B auf 2 sitzt ist (1/5)*(1/4)=1/20 Dann E muss auf Platz 4 sitzen = 1/3 (1/20)*4*(1/3)=4/60=1/15 nun zweiter Teil von a) Die Wahrscheinlichkeit, dass A auf 3 und B auf 4 sitzt ist (1/5)*(1/4)=1/20 Dann E muss auf Platz 1 oder 2 sitzen = 2/3 (1/20)*4*(2/3)=8/60=2/15 Da der erste oder der zweite Teil von a) eintreten darf muss dann Ganze oder verknüpft werden. (1/15) + (2/15) = 3/15 = 1/5 --> 20%ige Wahrscheinlichkeit für a) zu b) A darf beliebig sitzen (5/5); B muss auf den Benachbarten sitzen (2/4) E in der Mitte der drei restlichen Stühle (1/3) (5/5) * (2/4) * (1/3) = 10/60 =1/6 --> 16,6666%ige Wahrscheinlichkeit für b) |
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| 17.09.2012, 13:29 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, korrekt. 
"Ganzheitlich" gesehen könnte man auch so rechnen: Man betrachtet nebeneinander sitzende AB bzw. CD (letzteres aber als auszuschließende Variante) als untrennbare Blöcke beim Permutieren, muss aber noch die Reihenfolge im Block beachten. Damit käme man bei a) auf die Wahrscheinlichkeit . Bei b) geht das auch, aber hier würde man zunächst E festhalten und die Permutation der anderen vier Personen betrachten: . |
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| 17.09.2012, 14:13 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo HAL 9000, Danke für den alternativen Lösungsweg, bloß leider kann ich den jetzt wieder nicht ganz nachvollziehen. Wie kommt man auf die Formel? (dieses hoch 2 ist mir nicht einleuchtend) Grüße ha_celine |
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| 17.09.2012, 14:37 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ja die Wkt, dass sowohl AB als auch CD nebeneinander sitzen. Also kann man zunächst die drei Blöcke AB CD E beliebig permutieren (das ergibt die ), kann dann aber noch innerhalb der Blöcke permutieren, also AB,BA und getrennt davon auch CD,DC. Zwei Varianten bei zwei Paaren ergibt Faktor . |
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| 17.09.2012, 16:41 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, danke Die Formel versteh ich jetzt - woher sie kommt allerdings nicht. |
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| 17.09.2012, 17:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erklär dich mal näher: Permutationen sind doch eine Grundelement der abzählenden Kombinatorik, was verstehst du daran nicht? Oder geht es um ? |
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| 17.09.2012, 18:16 | ha_celine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja es geht um die Formel. Ich such diese Formel in meinen Heften oder im Internet, finde sie aber nicht. |
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| 17.09.2012, 18:22 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Formel ergibt sich direkt aus Das ergibt sich direkt aus der Additivität eines Wahrscheinlichkeitsmaßes und der Tatsache, dass beide Mengen links disjunkt sind. |
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| 20.11.2013, 09:42 | Nebe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moin, kann es hier sein das die Möglichkeiten, dass P(U) auf die Sitze 2&3 sowie auf die Sitze 3&4 platz nehmen nicht berücksichtigt worden sind? Gruß |
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| 20.11.2013, 10:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
P(U) ist eine Wahrscheinlichkeit, die nimmt nirgends Platz - es sind die Leute A,B,C,D, die irgendwo da Platz nehmen. Bitte stelle die Frage so, dass man verstehen oder doch zumindest erahnen kann, was du da meinst. |
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| 20.11.2013, 10:35 | Nebe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei nochmaligem Lesen sehe ich den Ausdrucksfehler, Pardon. Es wurde nur berechnet, dass AB bzw. BA auf den Sitzen 1&2 sowie auf 4&5 platz nehmen. Die können auch auf den Sitzen 2&3 sowie auf den Sitzen 3&4 platz nehmen. Und dieser Teil fehlt noch in der Berechnung. |
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| 20.11.2013, 10:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt nicht. 
Wenn du meinst, diverse Uralt-Threads mit weisen Anmerkungen versehen zu müssen, dann solltest du auch wirklich mal gründlich über die Lösungen da nachdenken: Betrachten wir die 5 Leute in einer Reihe, und die Formel : Im Nenner steht die Anzahl 5! der Möglichkeiten, die 5 Leute A B C D E beliebig zu permutieren - die Basis für die Berechnung einer derartigen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsberechnung. Im Zähler steht die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 Blöcke (1Paar + 3 Einzelpersonen) AB C D E (man beachte die Leerzeichen bzw. deren Fehlen) oder aber BA C D E (deswegen Faktor 2) beliebig zu permutieren. Unter diesen Möglichkeiten ist dann z.B. E C BA D dabei, hier sitzt A auf 4 und B auf 3. Damit sind im Zähler die und nur die Möglichkeiten - und zwar alle die - erfasst, die das Ereignis ... Person A sitzt neben Person B ausmachen, also nicht nur die, wo AB auf den Sitzen 1&2 bzw. 4&5 Platz nehmen. 
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