Projektionsmatrix im 2-dim. |
| 16.09.2012, 15:51 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Projektionsmatrix im 2-dim. Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe aus der Matrizenrechnung und bin mir nicht sicher, wie ich hier weiter vorgehen soll. Die Sonne wirft einen Schatten. Die Uhrzeit und die Position auf der Erde sei so, dass ein 1m hoher Stab (dies könnte man auch als Einheitsvektor betrachten) einen 2m langen Schatten in die x-Richtung wirft. Wir betrachten das Problem also 2-dimensional. Der Schatten eines 1m langen Stabes ist genau so groß wie der Stab. Damit ergibt sich folgende Projektionsmatrix: P = (a) Bestimmen Sie den Schatten eines Stabes, der 3m lang ist und so schräg steht, dass er nur 1,5m in die Höhe ragt. Bestimmen Sie die x Komponente des Stabes mit Hilfe des Pythagoras und ermitteln Sie anschließend den Schatten. (b) Gaussverfahren! Ermitteln Sie möglichen Objekte und deren Position für Schatten, der 3m lang ist. Meine Ideen: zu a) Ich habe also erstmal die fehlende Komponente mit dem Satz des Pythagoras bestimmt. Ich hätte dann ja einen Vektor, der folgendermaßen lautet: Dann habe ich mir überlegt, wenn der 1-m-hohe Stab einen Schatten von 2 m wirft, dann wurde der Einheitsvektor um 2 gestreckt, sodass der "Schattenvektor" eben P = lautet. Das selbe wollte ich auch mit meinem Vektor machen (Multiplikation mit 2). Jetzt habe ich nur das Problem, dass ich ja keine Einheitsmatrix mehr habe und mein y-Wert ja eigentlich 0 lauten müsste, weil der Schatten ja auf der x-Achse liegt und y=0 ist. Wie schaffe ich es also, dass der y-Wert 0 wird? Muss ich schon hier vorher das Gaußverfahren anwenden? Habe ich bis hierhin denn richtig gerechnet, oder habe ich einen Fehler gemacht? zu b) Rechnerisch bin ich bis zu dieser Aufgabe noch nicht vorgedrungen. Trotzdem stellt sich mir jetzt schon die Frage, welche Objekte und welche Position gemeint sind... Vielleicht habt ihr ja schonmal ein paar Hinweise für mich. Ich bedanke mich schonmal ganz ganz herzlich für eure Hilfe. LG LovePhysiqs |
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| 16.09.2012, 16:22 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. der "schattenwurf" wird doch representiert durch linksmultiplikation mit deiner matrix. mit dieser intention hast du sie doch zumindest konstruiert. also der schatten eines vektors v ist einfach A*v, wenn A deine matrix ist. bei b) bist du auf der suche nach v, sodass A*v=(3,0) (oder im prinzip auch (-3,0), aber das würde nicht mehr der anschauung entsprechen). lg |
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| 16.09.2012, 16:33 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. Erstmal vielen Dank für deinen Post! Also muss ich jetzt einfach die Projektionsmatrix aus der Aufgabenbeschreibung mit meinen ermittelten Vektor multiplizieren und habe dann meine Länge des Schattens? Ich hab glaube ich etwas falsch verstanden, denn die Matrix aus der Aufgabe bezieht sich ja auf einen 1-m-hohen Stab und einen 2-m-langen Schatten... 
Ich glaube, da habe ich etwas nicht richtig verstanden. |
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| 16.09.2012, 16:56 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. achso, der erste teil war teil der aufgabenstellung. dachte, das hast du selbst gemacht. also fürs verständnis: der schattenwurf ist eine lineare abbildung. dazu kannst du eine matrix berechnen, die diese abbildung representiert (wie ich vorher geschrieben hab). da der IR^2 2-dimensional ist, reicht es, die abbildung für 2 basis-vektoren zu kennen, hier haben sie (0,2) und (1,0) genommen. da jeder vektor dieses raumes linearkombination der beiden ist, kennt man dann auch die abbildung für beliebige vektoren. ich weiß jetzt nicht wie wichtig es ist dass du verstehst wie dann die matrix entsteht, denn sie wurde euch ja vorgegeben.. jedenfalls hast du dann die matrix als lineare abbildung, und wenn du sie anwendest bekommst du den (schatten)vektor eines (stab)vektors, der hier natürlicherweise in einer komponente immer =0 ist, denn der schatten soll ja flach auf dem boden liegen. soweit erstmal klar? lg |
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| 16.09.2012, 17:06 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. Ja, soweit habe ich das verstanden. Wie die Matrix in der Aufgabestellung entstanden ist, habe ich auch verstanden. Die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) wurden genommen und es wurde beschrieben, wie der Schatten aussieht. (1,0) bleibt so wie er ist, denn er liegt ja auf der x-Achse und wirft keinen Schatten. (0,1) wirft einen 2-m-langen Schatten, dieser Vektor wurde also um 2 gestreckt und wird so zu (2,0), denn auch dieser liegt jetzt auf der x-Achse. =) |
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| 16.09.2012, 17:14 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. ach ja stimmt, ich hatte versehentlich (0,2) anstatt (0,1) geschrieben. na wenn du soweit alles verstanden hast, dann is ja gut 
lg |
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| 16.09.2012, 17:19 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. Trotzdem stelle ich mir immernoch die Frage, wie ich einen Vektor behandle, der eben keine 0 im y-Wert hat. =) Ich weiß nicht, wie ich jetzt die Länge des Schattens des 3-m-Stabes berechnen soll. |
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| 16.09.2012, 17:32 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. genauso wie ichs beschrieben hab: den schatten von v bekommst du durch A*v. was die länge eines vektors ist solltest du dann nur noch wissen. lg |
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| 16.09.2012, 17:46 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. Oki, also rechne ich jetzt folgendermaßen: * = Dann ist das Ergebnis jetzt also die Länge meines Schattens? Mich wundert es, dass ich die vorgegebene Projektionsmatrix zur Berechnung nehme, denn die hat ja eigentlich nichts mit Aufgabe a zu tun, oder? *verwirrt ist* Intuitiv hätte ich nämlich einfach mit 2 multipliziert, weil der Einheitsvektor in der Aufgabe nämlich auch um 2 gestreckt wurde. Ist die Aufgabe denn jetzt richtig berechnet? |
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| 16.09.2012, 18:13 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Projektionsmatrix im 2-dim.
naja, die länge des "ergebnisvektors" ist die länge des schattens.
wie kommst du darauf? die projektionsmatrix ist das , worum sich im prinzip alles dreht in dieser aufgabe
aber was genau hättest du mit 2 multipliziert?? intuition ist ja nicht schlecht, ber auch erst wirklich gut, wenn du die zusammenhänge siehst. ich hab mal ne skizze angehängt, dort siehst du wie mans intuitiv machen könnte. du denkst dir anstatt des schiefen stabes einen gerade stab, der 1,5 hoch ist und dessen spitze an der selben stelle wie die des schiefen ist. da der neue gerade ist, also (0, 1,5), ist die länge seines schattens genau 2mal so lang wie er, also ergibt sich die länge des gesuchten schattens aus der länge des schiefen stabs in x-richtung (2,6) + der länge des schattens des gedachten stabs. und genau diese überlegungen vereint die multiplikation mit der projektionsmatrix in sich: A*(2,6 , 1,5) = A*(2,6 , 0) + A*(0 , 1,5) = (2,6 , 0) + (2*1,5 , 0) = (2,6 + 2*1,5 , 0). alles klar soweit? lg |
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| 16.09.2012, 18:56 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Projektionsmatrix im 2-dim. OMG, erstmal vielen vielen Dank, dass du dir die Mühe mit der Zeichnung gemacht hast! Die hat mir wirklich super klargemacht, wie das alles abläuft. Ich hätte nur im ersten Moment vermutet, dass sich durch die Verschiebung des Stabes auch der Winkel verändert, mit dem das Sonnenlicht auf die Oberkante auftrifft, sodass es zu einer Verkürzung des Schattens oder so kommt. Aber jetzt, wo du mir das erklärt hast, ist es ganz klar. Danke! 
Hättest du zu der zweiten Aufgabe vllt. auch noch ein paar Tipps? Was meint mein Lehrer mit Objekten und möglichen Positionen? |
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| 16.09.2012, 19:15 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Projektionsmatrix im 2-dim.
nope, dann wäre die abbildung nicht mehr linear (denk ich mal, zumindest würde das dieser abbildung nicht entsprechen). zur 2. aufgabe hatte ich im 1. post schon geschrieben - es geht darum, das gleichungssystem A*v=(3,0) (und (-3,0), den fall hatte ich vorher erst für überflüssig gehalten, aber ist er nicht) zu lösen, also alle vektoren mit 3m langen schatten zu finden.
mit objekten sind sicherlich die stäbe oder was auch immer gemeint, also vektoren allgemein. dass man verschiedene positionen finden soll ist etwas verwirrend vielleicht, da ja nur von stäben die rede ist, die im ursprung angebunden sind. würde man jetzt vektoren anders interpretieren, also z.b. (1,1) als den senkrechten, 1 hohen stab, der 1 rechts vom ursprung steht, so müsste man auch die abbildung verändern, sodass sie wieder die schattenlänge representiert. aber ich denke es ist gemeint alle vektoren die das besagte gleichungssystem erfüllen zu finden, und dann zu sagen: sie (die stäbe) können beliebig in x-richtung (also auf der erdoberfläche) verschoben werden, so bleibt ihr (intuitiver) schatten gleich lang, wird dann aber nicht mehr durch die abbildung dargestellt. ist das halbwegs verständlich
hoffentlich. lg |
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| 18.09.2012, 00:01 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich grüble schon die ganze Zeit, aber ich habe nicht mal eine Idee, wie ich da anfangen soll... 
Also ich werde ja sicherlich die Projektionsmatrix aus der Aufgabestellung brauchen und dann noch den Vektor, den ich berechnet habe? Und dann muss ich den Gauß-Algorithmus anwenden? Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich da am besten anfange? Das wäre sehr nett! Ich weiß auch gar nicht, wie ich da mehrere Ergebnisse rausbekommen soll... Tut mir Leid, wenn es etwas zäh mir mir ist... LG LovePhysiqs |
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| 18.09.2012, 00:46 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber du verstehst doch dass alle vektoren v gesucht sind, für die A*v=(3,0) (oder (-3,0)) gilt? dazu brauchst du noch nicht mal gauß zu machen, weil A ja schon so einfach vorliegt. du hast einfach zu lösen. die zweite zeile sagt dir , also zu vernachlässigen. mit der ersten bekommst du -> das ist also die eigenschaft, die diese vektoren erfüllen müssen, damit sie den 3-schatten (nach rechts) werfen. für die, die den schatten "nach links" werfen, musst du nun das gleiche gleichungssystem, nur mit -3 anstatt 3 untersuchen. lg |
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| 19.09.2012, 23:28 | LovePhysiqs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, die Mathestunde ist vorbei und ich habe endlich des Rätsels Lösung. =) Ich habe gestern noch ein bisschen rumgegoogelt und dabei das Gaussverfahren mit mehreren Lösungen für eine Matrix gefunden. Und das war auch das, was mein Lehrer sehen wollte. Es ging um die Parameterform. Ich danke dir trotzdem ganz doll für deine Hilfe, deine Erklärungen haben mir wirklich sehr viel gebracht und die Zeichnung ist einfach nur klasse. 
Vielen Dank und lieben Gruß LovePhysiqs |
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