Sättigungsgrenze bei exponentiellem Wachstum

03.02.2007, 13:05

+ZiRCONiUM+

Sättigungsgrenze bei exponentiellem Wachstum

Hi,

ich habe ein Problem mit der Errechnung der Sättigungsgrenze bei beschränktem exponnentiellen Wachstum. verwirrt

Betrag am Anfang: 200000L
Jeden Tag verdunsten 5% Wasser.
Fliessen aber 2000L dazu

die 5% werden immer vom B(T) Wert abgezogen dann +2000...
Nun, dass man bei 40.000 keine Abnahme mehr hat, habe ich auch selber mit dem Taschenrechner rausgefunden, nur mit der Erklärung des Lehrers komme ich leider nicht klar. böse

Habe in LaTeX nicht das Zeichen für dieses Dreieck vor B gefunden (ist das Zeichen für Vektor oder?)

$\begin{eqnarray*} \vartriangle B = B(t+1)-B(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t)+2000-0,05*B(t)-B(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2000-0,05*B(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}*(\frac{2000}{\frac{1}{20}}-B(t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{20}*(40000-B(t)) \end{eqnarray*}$

S=40000

Die vorletzte Zeile bereitest mir Kopfschmerzen. Hammer

Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende! smile

03.02.2007, 14:54

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sättigungsgrenze bei exponnentiellem Wachstum
Welche 10%??? Ich dachte es verdunsten 5%?

$\begin{eqnarray*} B(0) = 200.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(1) = 200.000 \cdot 0.95 + 2.000 = 192.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(2) = 192.000 \cdot 0.95 + 2.000 = 184.400 \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} B(t+1) = B(t) \cdot 0.95 + 2.000 \end{eqnarray*}$

Für das Delta gilt dann

$\begin{eqnarray*} \vartriangle B_{t+1} = B(t+1)-B(t) = B(t) \cdot 0.95 + 2.000 - B(t) = 2.000 - 0,05\cdot B(t) = 0,05 \cdot(40.000 - B(t)) \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzt ihr einfach schon, dass gilt (gezeigt habt ihr das durch diese Rechnung noch nicht!):

$\begin{eqnarray*} \lim _{t \to \infty} \vartriangle B_{t+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt wird dann Null, wenn mind. ein Faktor Null wird. also ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} B(t) = 40.000 \end{eqnarray*}$

03.02.2007, 20:00

+ZiRCONiUM+

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sättigungsgrenze bei exponnentiellem Wachstum

Zitat:

Original von tigerbine
Welche 10%??? Ich dachte es verdunsten 5%?

Sry, Tippfehler

Für das Delta gilt dann

$\begin{eqnarray*} \vartriangle B_{t+1} = B(t+1)-B(t) = B(t) \cdot 0.95 + 2.000 - B(t) = 2.000 - 0,05\cdot B(t) = 0,05 \cdot(40.000 - B(t)) \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzt ihr einfach schon, dass gilt (gezeigt habt ihr das durch diese Rechnung noch nicht!):

$\begin{eqnarray*} \lim _{t \to \infty} \vartriangle B_{t+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt wird dann Null, wenn mind. ein Faktor Null wird. also ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} B(t) = 40.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.000 - 0,05\cdot B(t) = 0,05 \cdot(40.000 - B(t)) \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich einfach nicht. -.-
Ich kann doch nicht einfach so das 0,05 mit der 2000 vertauschen. verwirrt

Und das danach verstehe ich erst recht nicht. verwirrt

EDIT: Ich habs! 2000:0,05 gibt ja 40000 und dann kann ich das ja klammern weil 0,05*40000 wieder 2000 gibt =))

03.02.2007, 20:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sättigungsgrenze bei exponnentiellem Wachstum
Genau, ausklammern war das Stichwort Wink

03.02.2007, 23:37

+ZiRCONiUM+

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand vll noch paar Übungen zum Ausklammern für mich?

04.02.2007, 02:12

inf1nity

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wusste heute Nacht nicht was ich anfangen sollte da dachte ich mir bauste mal ne Funktionsvorschrift die dir den Wert des Wassers zurück gibt an einem gewählten Tag. (Mathe Programme rechnen einem die Summe ja schnell aus Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} f(t)=200000\cdot 0.95^t+\sum_{k=0}^{t-1}~2000\cdot 0.95^k \end{eqnarray*}$

Bevor sie im Mülleimer verschwindet dachte ich mir hinterlässte se hier Hammer

Variante 2 (das ist nicht wirklich approximiert -> Taschenrechner gibt immer glatte Werte aus Big Laugh

)

$\begin{eqnarray*} f(t)=160000\cdot e^{-0.05129329439\cdot t}+40000 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} t\to\infty \end{eqnarray*}$ geht der Exponentialausdruck gegen 0 weshalb gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}~f(t)=40000 \end{eqnarray*}$

Und weils so schön ist noch der Plot:

(Musste den Wertebereich anpassen weil er mir keine Zahl mit mehr als 4 stellen an der linken Seite angezeigt hat. Daher gilt 100=10000 (NUR für den Wertebereich))

Gruß inf1nity

Neue Frage »

Antworten »

Sättigungsgrenze bei exponentiellem Wachstum

Verwandte Themen