Elegante Notation für Max/Min Element in Vektorraum bzgl. einer Dimension

16.09.2012, 16:36

loxy

Elegante Notation für Max/Min Element in Vektorraum bzgl. einer Dimension

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich versuche für meine DA eine elegante Notation für die Beschreibung einer Menge zu finden. Folgendes Beispiel soll das Problem verdeutlichen:

Man hat eine Menge T von Vektoren, z.b.

$\begin{eqnarray*} p = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in T \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Aus dieser Menge T soll jetzt das kleinste Element bzgl. einer Dimension ausgewählt werden. Wie kann man das vernünftig notieren?

Meine Ideen:
Ich dachte an sowas wie:

$\begin{eqnarray*} p^* = max(T) = \left\{ p=(p_1,p_2,p_3)^T \in T | \forall t \in T: p_1 \leq t_1 \right\} \end{eqnarray*}$

Macht das Sinn? Bei dieser Definition könnte es ja mehrere Elemente mit dieser Eigenschaft geben. Außerdem ist nicht ganz klar, was t1 sein soll. Hat jemand einen Verbesserungsvorschlag, oder eine elegantere Definition auf Lager?

Außerdem: Kann die max-Funktion mit einem Index versehen werden, oder besser, direkt darunter schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} max \\ x \end{matrix} (T) \end{eqnarray*}$ ,

sodass man die Komponente, die man vergleichen will variabel hält (in Bezug auf spätere Definitionen)

Danke im Voraus!
Kersten

16.09.2012, 17:12

weisbrot

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RE: Elegante Notation für Max/Min Element in Vektorraum bzgl. einer Dimension

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p^* = max(T) = \left\{ p=(p_1,p_2,p_3)^T \in T | \forall t \in T: p_1 \leq t_1 \right\} \end{eqnarray*}$

ne, das macht noch nicht wirklich viel sinn. du hast da irgendein element t_1 ausgezeichnet, es ist aber überhaupt nicht klar woher das kommt.. ich denke du bist ein bisschen mit den variablen durcheinander.
von mir aus könnte man so definieren (mit index für die betrachtete dimension): $\begin{eqnarray*} {\max }_i (T) = \{(x_1,...,x_n)\in T | \forall (t_1,...,t_n)\in T : t_i\leq x_i\} \end{eqnarray*}$ . das ist dann aber nicht notwendig einelementig, also kein eindeutiges max. lg

16.09.2012, 17:15

chrizke

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Die Frage ist erstmal, was du damit anfangen willst. Denn wie du schon richtig festgestellt hast, muss dieses "kleinste Element" in deinem Fall nicht unbedingt eindeutig sein, je nach T noch nicht mal existieren.

Um das Problem mit dem $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ zu umgehen, könntest du auf den k-ten Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e^k \end{eqnarray*}$ zurückgreifen und das Ganze dann so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{max}_k(T) := \{p\in T\ |\ \forall t\in T : p^Te^k\leq t^Te^k\} \end{eqnarray*}$

Es soll sich hier aber wohl eher wenn dann um $\begin{eqnarray*} \min \end{eqnarray*}$ handeln oder?

16.09.2012, 17:22

Che Netzer

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Wie wäre es denn einfach mit

Zitat:

Wähle ein $\begin{eqnarray*} p\in T \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ (in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ) minimal ist.

Wenn denn klar ist, dass $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ die erste Koordinate ist. Ansonsten "... $\begin{eqnarray*} p=(p_1,p_2,p_3)^{\mathrm T}\in T \end{eqnarray*}$ ...".

16.09.2012, 18:08

loxy

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Vielen Dank für eure nützlichen Hinweise! Die Antwort von weisbrot finde ich schon sehr gut. Die Lösung mit dem Einheitsvektor ist auch elegant.

Zur Information: Die Menge T ist endlich und es gibt auf jeden Fall ein solches Element. Ich studiere eigentlich Informatik, und die Menge T beschreibt eine endliche Menge von quaderförmigen Objekte (immer parallel zur Grundfläche/Boden ausgerichtet), die durch Vektoren t kodiert sind. Das unterste Objekt beschreibt eine Palette und diese hat den kleinsten Wert bzgl. des Abstandes zur Bodenfläche.

Die (eure) mathematische Definition sollte doch dann reichen, auch wenn es nach dieser mehrere solcher Objekte geben kann, oder? Oder kann das noch irgendwie eingeschränkt werden? Dazu müsste man doch eine Totalordnung definieren, aber nur auf bestimmten Dimensionen...

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