Anwendung der Cauchyschen Integralformel

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16.09.2012, 16:39	bem	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung der Cauchyschen Integralformel Hallo zusammen, ich weiß nicht wie ich die Cauchysche Integralformel anwenden soll: $\begin{eqnarray} f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i} \int_{c} \! \frac{f(z)}{z-z_{0}} \, dz \end{eqnarray}$ Auch wenn alles vorgegeben ist, weiß ich einfach nicht was ich machen soll, wie z.B. bei dieser Lsg. einer Teilaufgabe: $\begin{eqnarray} \int_{c_{2}} \! \frac{1}{z+1} \, dz = 2\pi i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_{0}=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{2}:\|z\|=1.5 \end{eqnarray*}$ Ich komme nicht einmal auf diese einfach ausschauende Lsg. und bin völlig verzweifelt, weil ich diese Aufg. in der Klausur bei meinem jetzigen Wissensstand nicht lösen kann. Hier im Forum ist auch eine Seite, durch die ich auch nicht weitergekommen bin: http://www.matheboard.de/archive/328603/1/thread.html. Ich hoffe auf eure Hilfe. LG
16.09.2012, 16:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung der Cauchyschen Integralformel Hallo, in dieser Anwendung ist $\begin{eqnarray} f(z)=1 \end{eqnarray}$ (konstant). Insbesondere ist auch $\begin{eqnarray} f(-1)=1 \end{eqnarray}$ . Dann hast du ein Integral der Form $\begin{eqnarray} \int_{c_2}\frac{\overbrace{f(z)}^{=1}}{z-\underbrace{z_0}_{=-1}}\mathrm dz\,. \end{eqnarray}$ Hilft dir diese Schreibweise weiter? mfg, Ché Netzer
16.09.2012, 17:08	bem	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ché, die Schreibweise hilft mir auch nicht weiter , im Skript ist diese auch gegeben. Ich weiß nicht wie ich damit rechnen soll. Wie kann denn $\begin{eqnarray} f(-1)=1 \end{eqnarray}$ sein, wenn bei -1 eine Singularität vorliegt. Ich dachte $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{z+1} \end{eqnarray}$ . LG
16.09.2012, 17:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es wird ja über $\begin{eqnarray} \frac{f(z)}{z-z_0} \end{eqnarray}$ integriert. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ darf dabei sogar keine Polstellen haben. Jetzt müssen wir $\begin{eqnarray} \frac{f(z)}{z-z_0}=\frac1{z+1} \end{eqnarray}$ setzen und das dann in die Formel einsetzen bzw. $\begin{eqnarray} 2\pi\mathrm if(z_0) \end{eqnarray}$ bestimmen. Wie müssen denn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ gewählt werden, damit obige Gleichung gilt?
16.09.2012, 17:35	bem	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(-1)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{0}=-1 \end{eqnarray}$ . Und die Lsg. ist dann $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ . Ich versuch dann noch andere Aufgaben so zu Lsg. Vielen Dank
16.09.2012, 17:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist sogar konstant $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , nicht nur in $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ .
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16.09.2012, 17:52	bem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin jetzt verwirrt. Vllt. hätte ich die komplette Aufgabe nehmen sollen. Also nochma: Man berechne ggf. mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel die folgenden Kurvenintegrale (alle auftretenden Kurven seien positiv orientiert): $\begin{eqnarray} \int_{c_{2}} \! \frac{z^2-2z+2}{z^3-z^2+2} \, dz = 2\pi i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_{2}: \|z\|=1.5 \end{eqnarray}$ Lsg.: die Singularitäten: Zwei hebbare Singularitäten: $\begin{eqnarray} z_{1} = 1+i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{2} = 1-i \end{eqnarray}$ und eine nicht hebbare Singularität bei: $\begin{eqnarray} z_{0} = -1 \end{eqnarray}$ Nach dem Kürzen der hebbaren Sigularitäten erhält man: $\begin{eqnarray} \frac{1}{z+1} \end{eqnarray}$ Und die Lsg. ist $\begin{eqnarray} \int_{c_{2}} \! \frac{1}{z+1} \, dz = 2\pi i \end{eqnarray}$ . Mein Problem liegt bei der Lösung.
16.09.2012, 17:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, die Lösung hättest du jetzt verstanden Wie man auf $\begin{eqnarray} z_0=-1 \end{eqnarray}$ kommt und auf $\begin{eqnarray} f(z)\equiv1 \end{eqnarray}$ .
16.09.2012, 19:13	bem	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2\pi i f(z_{0})=\int_{c_2}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz\,. \end{eqnarray}$ Dann ist f(z)=1 und $\begin{eqnarray} z_0 = -1 \end{eqnarray}$ Aber ich kann ja $\begin{eqnarray} z_0 = -1 \end{eqnarray}$ nicht in f(z) einsetzen, weil $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ ein Pol von f(z) ist. Ich verstehe einfach nicht den Sinn dabei. Edit: f(z) ist immer 1, aber ich verstehe nicht den Sinn. Ich melde mich gleich nochmal.
16.09.2012, 19:47	bem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das jetzt bei anderen Aufg. angewendet. Soweit ich das nun verstanden habe, muss man nur schauen welche Werte $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ haben, um danach je nachdem entweder die Cauchysche Integralformel oder die verallgemeinerte Cauchysche Integralformel anzuwenden. Danke für die Hilfe
16.09.2012, 20:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ ist keine Polstelle. Welchen Sinn verstehst du denn nicht. Du musst eine (holomorphe!) Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} \frac{f(z)}{z+1}=\frac1{z+1}\,. \end{eqnarray}$ Dass $\begin{eqnarray} z_0=-1 \end{eqnarray}$ ist anscheinend kein Problem mehr. Aber $\begin{eqnarray} f(z)\equiv1 \end{eqnarray}$ ist die einzige Funktion, die die obige Gleichung erfüllt.

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